Całkowanie numeryczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Całkowanie numerycznemetoda numeryczna[1] polegająca na przybliżonym obliczaniu całek oznaczonych. Termin kwadratura numeryczna, często po prostu kwadratura, jest synonimem całkowania numerycznego, w szczególności w odniesieniu do całek jednowymiarowych. Dwu- i wielowymiarowe całkowania nazywane są czasami kubaturami, choć nazwa kwadratura odnosi się również do całkowania w wyższych wymiarach.

Proste metody całkowania numerycznego polegają na przybliżeniu całki za pomocą odpowiedniej sumy ważonej wartości całkowanej funkcji w kilku punktach. Aby uzyskać dokładniejsze przybliżenie dzieli się przedział całkowania na niewielkie fragmenty. Ostateczny wynik jest sumą oszacowań całek w poszczególnych podprzedziałach. Najczęściej przedział dzieli się na równe podprzedziały, ale bardziej wyszukane algorytmy potrafią dostosowywać krok do szybkości zmienności funkcji.

Metoda prostokątów[edytuj | edytuj kod]

Integration rectangle.png

Najprostsza z metod kwadraturowych polega na zastosowaniu wzoru

w którym jest liczbą podprzedziałow o długości

Metoda ta ma trzy warianty:

  • lewych prostokątów, gdy
  • średnich prostokątów, gdy - ten wariant daje najlepsze przybliżenie,
  • prawych prostokątów, gdy

Istnieje oczywiście wariant ogólny, gdy

Metoda trapezów[edytuj | edytuj kod]

Calkowanie numeryczne-metoda trapezow.png

Metoda trapezów polega na tym, że całkowaną funkcję aproksymujemy liniowo w każdym z podprzedziałów o długości Dzięki temu otrzymujemy po wprowadzeniu oznaczenia

Oszacowanie błędu tej metody wynosi

gdzie:

Metoda parabol (Simpsona)[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Metoda Simpsona.
Integration simpson.png

Ta metoda wymaga podzielenia przedziału całkowania na parzystą liczbę podprzedziałów, tzn.

Stosując kwadratową interpolację Lagrange'a na dwu sąsiadujących podprzedziałach otrzymujemy

Przy całkowaniu funkcji na przedziale błąd metody wynosi

Metoda Gaussa[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Kwadratury Gaussa.

Istotne podwyższenie dokładności wzorów kwadraturowych można uzyskać stosując metodę Gaussa[1]. Jej istota polega na minimalizacji błędu kwadratury przez optymalny wybór położenia węzłów oraz wartości wag we wzorze kwadraturowym

(a)

w którym

Dzięki zastosowanemu we wzorze (a) odwzorowaniu dowolnego przedziału na standardowy przedział wzór ten jest uniwersalny ponieważ unikalne wartości można stablicować raz na zawsze.

Obliczenie wartości można przeprowadzić żądając, aby całkowanie procedurą Gaussa jednomianów dawało wyniki ścisłe

(b)

to znaczy aby było dla

Po rozpisaniu otrzymujemy, trudny do rozwiązania, nieliniowy układ równań

(c)

określający wartości

W poniższej tabeli zestawiono[2] obliczone wartości parametrów dla wielomianów stopni

1 0
2
3 0
4
5 0
6
7 0
8


1
2
3
4
5
6
7
8


Cytowany w literaturze[1] sposób rozwiązania układu równań (c) polega na spostrzeżeniu, że dla dowolnie przyjętych wartości liczbowych macierz współczynników pierwszych równań tego układu, jest macierzą Vandermonde'a. Dzięki temu wiadomo, że istnieje jednoznacznie określone rozwiązanie Kwestią otwartą pozostaje jednak wyznaczenie optymalnych wartości

W tym celu warunek (b) modyfikuje się do postaci obowiązującej dla wielomianów stopnia

(d)

gdzie jest wielomianem stopnia

Całka we wzorze (d) zeruje się, gdy wielomiany są ortogonalne z jednomianami dla przy Dokładnie taką własność[3] mają wielomiany Legendre'a. Dla nich mamy wtedy zamiast (d)

(e)

Ten warunek jest spełniony tożsamościowo dla dowolnych wartości gdy są pierwiastkami wielomianu Legendre'a -tego stopnia, wtedy bowiem

Metody losowe[edytuj | edytuj kod]

Do przybliżonego obliczania całki oznaczonej można również wykorzystać metody probabilistyczne. Należy pamiętać jednak, że wynik takiego całkowania jest też zmienną losową.

Idea opiera się na policzeniu pola pod wykresem funkcji dla i odjęciu pola nad wykresem dla

  • probabilistyczna
jest losowo wybierane z przedziału
określa liczność próbki.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykład – metoda prostokątów[edytuj | edytuj kod]

Spróbujmy scałkować funkcję na przedziale od 0 do 1. Ponieważ da się ją scałkować analitycznie, znamy dokładny wynik i możemy łatwo obliczać błąd przybliżenia różnych metod całkowania. Z dokładnością do 10 miejsc dziesiętnych prawidłowy wynik wynosi:

Całkowanie numeryczne za pomocą zasady punktu środkowego da nam wynik:

co daje błąd  0,0361115771 (błąd względny 4,3%) – niewielki jak na tak prostą metodę, jednak oczywiście niezadowalający do wielu zastosowań.

Żeby uzyskać lepsze przybliżenia możemy podzielić przedział całkowania:

z błędem bezwzględnym  0,0088296604 lub względnym 1%.

Dzieląc przedział całkowania na więcej fragmentów, możemy uzyskać lepsze przybliżenie:

Liczba
części
Wynik Błąd
bezwzględny względny
1 0,8775825619 0,0361115771 4,29%
2 0,8503006452 0,0088296604 1,05%
4 0,8436663168 0,0021953320 0,26%
8 0,8420190672 0,0005480824 0,07%
0,8414709848 0 0%

Przykład 2[edytuj | edytuj kod]

Całkowanie numeryczne przebiegów czasowych. Spróbujmy scałkować spróbkowany przebieg na przedziale od 0 do [s]. Oznaczmy częstotliwość próbkowania przebiegu przez [Hz].

Do obliczeń wykorzystamy metodę prostokątów. Średnica podziału wynosi 1. Niech oznacza próbkę po całkowaniu. Każdy wyraz można obliczyć jako sumę częściową:

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c B.P. Demidowicz, I.A. Maron, Metody numeryczne, cz.2, PWN, Warszawa 1965
  2. B. Olszowski, Wybrane metody numeryczne, Wyd. Politechniki Krakowskiej, Kraków 2007
  3. Ш.Е. Микеладзе, Численные методы математического аналза, Гостехиздат, 1953, гл. XIII, XVIII

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]