Całkowanie numeryczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Całkowanie numerycznemetoda numeryczna polegająca na przybliżonym obliczaniu całek oznaczonych. Termin kwadratura numeryczna, często po prostu kwadratura, jest synonimem całkowania numerycznego, w szczególności w odniesieniu do całek jednowymiarowych. Dwu- i wyżejwymiarowe całkowania nazywane są czasami kubaturami, choć wyraz kwadratura również niesie to znaczenie dla całkowania w wyższych wymiarach.

Proste metody całkowania numerycznego polegają na przybliżeniu całki za pomocą odpowiedniej sumy ważonej wartości całkowanej funkcji w kilku punktach. Aby uzyskać dokładniejsze przybliżenie dzieli się przedział całkowania na niewielkie fragmenty. Ostateczny wynik jest sumą oszacowań całek w poszczególnych podprzedziałach. Najczęściej przedział dzieli się na równe podprzedziały, ale bardziej wyszukane algorytmy potrafią dostosowywać krok do szybkości zmienności funkcji.

Metoda prostokątów[edytuj]

Integration rectangle.png

Prawdopodobnie najprostszym wzorem jest metoda punktu środkowego (midpoint rule):

Jeśli funkcja zmienia się w niewielkim stopniu na przedziale , reguła taka da dobre przybliżenie całki.

Metoda trapezów[edytuj]

Calkowanie numeryczne-metoda trapezow.png

Metoda trapezów polega na tym, że figurę ABCD zastępujemy figurą złożoną z trapezów wpisanych, tzn. krzywą aproksymujemy linią łamaną w nią wpisaną. Przedział całkowania dzielimy przy tym na równych części o długościach:

.

Punktami podziału (końcami części) są wówczas:

Wówczas pole figury złożonej z trapezów wynosi

gdzie

– wartości funkcji w punktach podziału.

Stąd otrzymujemy wzór przybliżony w metodzie trapezów:

Oszacowanie błędu tej metody wynosi

gdzie

Metoda parabol (Simpsona)[edytuj]

 Osobny artykuł: Metoda Simpsona.
Integration simpson.png

Wymaga podzielenia przedziału całkowania na parzystą liczbę podprzedziałów, tzn.

dla uproszczenia oznaczamy:

oraz

wykonując całkowanie wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a z 3 kolejnych punktów otrzymujemy wzór Simpsona:

dla całego przedziału (a,b) otrzymujemy:

Metody losowe[edytuj]

Do przybliżonego obliczania całki oznaczonej można również wykorzystać metody probabilistyczne. Należy pamiętać jednak, że wynik takiego całkowania jest też zmienną losową.

Idea opiera się na policzeniu pola pod wykresem funkcji dla i odjęciu pola nad wykresem dla

  • probabilistyczna

jest losowo wybierane z przedziału
określa liczność próbki.

Przykłady[edytuj]

Przykład – metoda prostokątów[edytuj]

Spróbujmy scałkować funkcję na przedziale od 0 do 1. Ponieważ da się ją scałkować analitycznie, znamy dokładny wynik i możemy łatwo obliczać błąd przybliżenia różnych metod całkowania. Z dokładnością do 10 miejsc dziesiętnych prawidłowy wynik wynosi:

Całkowanie numeryczne za pomocą zasady punktu środkowego da nam wynik:

co daje błąd 0,0361115771 (błąd względny 4,3%) – niewielki jak na tak prostą metodę, jednak oczywiście niezadowalający do wielu zastosowań.

Żeby uzyskać lepsze przybliżenia możemy podzielić przedział całkowania:

Z błędem bezwzględnym 0,0088296604 lub względnym 1%.

Dzieląc przedział całkowania na więcej fragmentów możemy uzyskać lepsze przybliżenie:

Liczba części Wynik Błąd
bezwzględny względny
1 0,8775825619 0,0361115771 4,29%
2 0,8503006452 0,0088296604 1,05%
4 0,8436663168 0,0021953320 0,26%
8 0,8420190672 0,0005480824 0,07%

Przykład 2[edytuj]

Całkowanie numeryczne przebiegów czasowych. Spróbujmy scałkować spróbkowany przebieg na przedziale od 0 do [s]. Oznaczmy częstotliwość próbkowania przebiegu przez [Hz].

Do obliczeń wykorzystamy metodę prostokątów. Średnica podziału wynosi 1. Niech oznacza próbkę po całkowaniu. Każdy wyraz można obliczyć jako sumę częściową:

Zobacz też[edytuj]