Kwadratury Gaussa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kwadratury Gaussa – metody całkowania numerycznego polegające na takim wyborze wag i węzłów interpolacji aby wyrażenie

najlepiej przybliżało całkę

gdzie jest dowolną funkcją określoną na odcinku , a jest tzw. funkcją wagową spełniającą warunki

  1. ,
  2. jest skończona,
  3. Jeżeli jest wielomianem takim, że , to jeśli , mamy wtedy .

Określmy iloczyn skalarny z wagą

Powiemy, że dwa wielomiany są ortogonalne względem tego iloczynu skalarnego jeśli .

Wszystkie kwadratury Gaussa wywodzą się z twierdzenia udowodnionego przez niego:

a) Jeżeli są pierwiastkami n-tego wielomianu ortogonalnego oraz są rozwiązaniami układu równań:

to dla każdego wielomianu stopnia nie większego niż 2n-1 zachodzi

Ponadto .

b) Jeżeli dla pewnego ciągu węzłów oraz ciągu wag dla dowolnego wielomianu stopnia nie większego niż 2n-1 zachodzi warunek (*), to oraz z dokładnością do kolejności.

c) Dla dowolnego ciągu węzłów oraz ciągu wag nie istnieje wielomian stopnia 2n, dla którego nie zachodzi warunek (*).

Najczęściej spotykane rodzaje kwadratur Gaussa[edytuj]

Kwadratury z przedziału z wagą nazywamy kwadraturami Gaussa-Legendre'a

gdzie to pierwiastki n-tego wielomianu Legendre'a.

Kwadratury z wagą nazywamy kwadraturami Gaussa-Czebyszewa

gdzie to pierwiastki n-tego wielomianu Czebyszewa.

Kwadratury z wagą nazywamy kwadraturami Gaussa-Hermite'a

gdzie to pierwiastki n-tego wielomianu Hermite'a.

Kwadratury z wagą nazywamy kwadraturami Gaussa-Laguerre'a

gdzie to pierwiastki n-tego wielomianu Laguerre'a.

Kwadratury z wagą nazywamy kwadraturami Gaussa-Jacobiego

.

Zobacz też[edytuj]