Wzór trapezów

Wzór trapezów – jeden z wzorów służących do przybliżonego obliczania całek oznaczonych w sensie Riemanna. Idea wzoru opiera się na geometrycznej interpretacji całki oznaczonej z funkcji nieujemnej jako pola pod wykresem funkcji.

Jeżeli przedział całkowania $[a,b]$ podzielony zostanie punktami $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1}$ na $n$ równych części o długościach $(b-a)/n,$ i w figurę ograniczoną na prostymi $x=a,$ $x=b,$ osią odciętych oraz wykresem funkcji $y=f(x)$ wpiszemy trapezy jak pokazano na rysunku poniżej,

to pola kolejnych trapezów wynoszą:

${\frac {b-a}{n}}\cdot {\frac {f(x_{0})+f(x_{1})}{2}},\ {\frac {b-a}{n}}\cdot {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}},\ \dots ,{\frac {b-a}{n}}\cdot {\frac {f(x_{n-1})+f(x_{n})}{2}},$

gdzie dla jednolitości oznaczono $a=x_{0}$ i $b=x_{n}.$

Suma pól trapezów jest w przybliżeniu równa polu całego obszaru, czyli:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{{2}{n}}}\left(f(x_{0})+f(x_{n})+2f(x_{1})+\ldots +2f(x_{n-1})\right).$

Ten właśnie wzór nazywany jest wzorem trapezów.

W przypadku funkcji ciągłej na przedziale $[a,b],$ wzór trapezów pozwala obliczać jej całkę oznaczoną na tym przedziale z dowolną dokładnością, wystarczy w tym celu wziąć za $n$ odpowiednio dużą liczbę. Błąd przybliżenia daje się oszacować w przypadku funkcji, która ma na przedziale $[a,b]$ ciągłą drugą pochodną:

$|R_{n}|\leqslant \left|{\frac {(b-a)^{3}}{12n^{2}}}K\right|,$

gdzie $K$ oznacza największą wartość funkcji $|f''(x)|$ w przedziale $[a,b].$

Obecnie wzór trapezów ma znaczenie wyłącznie historyczne – dostępne programy do całkowania numerycznego stosują dokładniejsze metody, a użycie komputera pozwala ograniczyć czasochłonne ręczne rachunki.

Zobacz też

• metoda trapezów
• wzór parabol Simpsona
• wzór prostokątów