Model Isinga

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Model Isinga jest modelem matematycznym wykorzystywanym w mechanice statystycznej do badań nad przejściami fazowymi. Został stworzony w roku 1920 przez Wilhelma Lenza jako model ferromagnetyka.

Definicja[edytuj]

Model Isinga opisany jest za pomocą układu dyskretnych zmiennych s (spinów), które przyjmują wartości +1 lub -1 zlokalizowane na każdym węźle sieci. Energia oddziaływania pary spinów przyjmuje jedną z dwóch wartości zależną od ich wzajemnej orientacji (zgodnej lub przeciwnej).

Hamiltonian modelu Isinga w zewnętrznym polu[edytuj]

Energię modelu Isinga uwzględniającego oddziaływania między spinami zlokalizowanych w najbliżej sąsiadujących węzłach oraz z zewnętrznym polem magnetycznym można przedstawić w postaci hamiltonianu

gdzie sumowanie w pierwszym członie odbywa się po wszystkich sąsiadujących ze sobą parach spinów zlokalizowanych w węzłach . Parametr jest całką wymiany i przyjmuje następujące wartości zależne od charakteru oddziaływań między spinami

- ferromagnetyczne (ustawia spiny w jednym kierunku, przeciwnym do zewnętrznego pola),
- antyferromagnetyczne,
- para spinów nie oddziałuje ze sobą.

jest energią spinu i w zewnętrznym polu magnetycznym.

Ścisłe rozwiązanie tego modelu dla przypadku jednowymiarowego uzyskał Ernst Ising w roku 1925. Układ dwuwymiarowy przy zerowym polu magnetycznym analitycznie rozwiązał Lars Onsager w roku 1944. Przypadek dwuwymiarowy w niezerowym polu zewnętrznym pozostaje nie rozwiązany (2011), czyli postać analityczna energii swobodnej dla 2D modelu Isinga w dowolnym zewnętrznym polu magnetycznym jest nadal nieznana.

Namagnesowanie[edytuj]

Określmy wartość namagnesowania m jako

Przy czym ferromagnetyzm występuje gdy dla zerowego zewnętrznego pola magnetycznego

Dla ferromagnetyzmu ma miejsce spontaniczne złamanie symetrii, tzn. w zerowym zewnętrznym polu magnetycznym układ sam wyróżnia jeden z kierunków

Suma statystyczna w modelu Isinga[edytuj]

(Aby obliczyć średnią z operatora A zależnego od można dodać do hamiltonianu człon , a następnie obliczyć średnią i pochodną w granicy dla zmierzającym do zera. )

Namagnesowanie jest więc równe:

Ostatecznie więc namagnesowanie

Gdy J = 0, tzn. dla układu nieoddziałujących spinów w polu magnetycznym suma statystyczna jest równa:

Dla takiej sumy statystycznej namagnesowanie jest równe

Model Isinga w jednym wymiarze[edytuj]

W układzie jednowymiarowym można nałożyć periodyczne warunki brzegowe .

Hamiltonian dla takiego układu:

Statystyczna suma stanów:

gdzie:

Możliwe sa cztery "warianty" M:

Wracając więc do sumy statystycznej

Macierz M można przedstwić w postaci gdzie jest macierzą diagonalną, a

jest macierzą diagonalną, jest więc postaci:

Natomiast


Wyznaczenie wartości własnych dla M:

Wybierając największą wartość własną macierzy:

otrzymujemy że suma statystyczna jest równa:

Jeśli to:

Faza stabilna jest określona przez największą wartość własną. Przejście fazowe (np. między fazą ferro i paramagnetyczną) zachodzi wtedy, gdy zrównują się wartości własne.

Namagnesowanie w takim wypadku jest równe:

Czyli ostatecznie namagnesowanie:

Bez zewnętrznego pola magnetycznego

Dla (czyli braku zewnętrznego pola magnetycznego) , czyli nie ma ferromagnetyzmu w układzie jednowymiarowym.