Model Isinga

Model Isinga jest modelem matematycznym wykorzystywanym w mechanice statystycznej do badań nad przejściami fazowymi. Został stworzony w roku 1920 przez Wilhelma Lenza jako model ferromagnetyka.

Definicja

Model Isinga opisany jest za pomocą układu dyskretnych zmiennych s (spinów), które przyjmują wartości +1 lub -1 zlokalizowane na każdym węźle sieci. Energia oddziaływania pary spinów przyjmuje jedną z dwóch wartości zależną od ich wzajemnej orientacji (zgodnej lub przeciwnej).

Hamiltonian modelu Isinga w zewnętrznym polu

Energię modelu Isinga uwzględniającego oddziaływania między spinami zlokalizowanych w najbliżej sąsiadujących węzłach oraz z zewnętrznym polem magnetycznym można przedstawić w postaci hamiltonianu

$H=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }J_{ij}S_{i}S_{j}-\sum _{i}h_{i}S_{i}\,$$H=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }J_{ij}S_{i}S_{j}-\sum _{i}h_{i}S_{i}\,$

gdzie sumowanie w pierwszym członie odbywa się po wszystkich sąsiadujących ze sobą parach spinów zlokalizowanych w węzłach $i,j$$i,j$. Parametr $J_{ij}$$J_{{ij}}$ jest całką wymiany i przyjmuje następujące wartości zależne od charakteru oddziaływań między spinami

$J_{ij}>0$$J_{{ij}}>0$ - ferromagnetyczne (ustawia spiny w jednym kierunku, przeciwnym do zewnętrznego pola),

$J_{ij}<0$$J_{{ij}}<0$ - antyferromagnetyczne,

$J_{ij}=0$$J_{{ij}}=0$ - para spinów nie oddziałuje ze sobą.

$h$$h$ jest energią spinu i w zewnętrznym polu magnetycznym.

Ścisłe rozwiązanie tego modelu dla przypadku jednowymiarowego uzyskał Ernst Ising w roku 1925. Układ dwuwymiarowy przy zerowym polu magnetycznym analitycznie rozwiązał Lars Onsager w roku 1944. Przypadek dwuwymiarowy w niezerowym polu zewnętrznym pozostaje nie rozwiązany (2011), czyli postać analityczna energii swobodnej dla 2D modelu Isinga w dowolnym zewnętrznym polu magnetycznym jest nadal nieznana.

Namagnesowanie

Określmy wartość namagnesowania m jako

$m={1 \over N}\sum _{i}\langle S_{i}\rangle$$m={1 \over N}\sum _{i}\langle S_{i}\rangle$

Przy czym ferromagnetyzm występuje gdy $m\neq 0$$m\neq 0$ dla zerowego zewnętrznego pola magnetycznego

Dla ferromagnetyzmu ma miejsce spontaniczne złamanie symetrii, tzn. w zerowym zewnętrznym polu magnetycznym układ sam wyróżnia jeden z kierunków

Suma statystyczna w modelu Isinga

$Z=\sum _{S_{1},S_{2},\ldots ,S_{N}}\exp[-\beta H(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{N})]$$Z=\sum _{{S_{1},S_{2},\ldots ,S_{N}}}\exp[-\beta H(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{N})]$

(Aby obliczyć średnią z operatora A zależnego od $S_{1},\ldots ,S_{N}$$S_{1},\ldots ,S_{N}$ można dodać do hamiltonianu człon $+\alpha A$$+\alpha A$, a następnie obliczyć średnią i pochodną w granicy dla $\alpha$$\alpha$ zmierzającym do zera. )

$\langle A(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{N})\rangle ={1 \over Z}\sum _{S_{1},\ldots ,S_{N}}A(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{N})\exp[-\beta H(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{N})]$$\langle A(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{N})\rangle ={1 \over Z}\sum _{{S_{1},\ldots ,S_{N}}}A(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{N})\exp[-\beta H(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{N})]$

Namagnesowanie jest więc równe:

$m=kT{1 \over N}{\partial \over \partial h}\ln Z=kT{1 \over N}{\partial \over \partial h}\ln \sum _{S_{1},\ldots ,S_{N}}\exp \left[\beta J\sum _{<i,j>}S_{i}S_{j}+\beta h\sum _{i}S_{i}\right]=kT{1 \over N}{\sum _{S_{1},\ldots ,S_{N}}\left[\exp(-\beta H)\beta \sum _{i}S_{i}\right] \over Z}={1 \over N}\sum _{i}\langle S_{i}\rangle$$m=kT{1 \over N}{\partial \over \partial h}\ln Z=kT{1 \over N}{\partial \over \partial h}\ln \sum _{S_{1},\ldots ,S_{N}}\exp \left[\beta J\sum _{<i,j>}S_{i}S_{j}+\beta h\sum _{i}S_{i}\right]=kT{1 \over N}{\sum _{S_{1},\ldots ,S_{N}}\left[\exp(-\beta H)\beta \sum _{i}S_{i}\right] \over Z}={1 \over N}\sum _{i}\langle S_{i}\rangle$

Ostatecznie więc namagnesowanie

$m={1 \over N}\sum _{i}\langle S_{i}\rangle =kT{1 \over N}{\partial \over \partial h}\ln Z$$m={1 \over N}\sum _{i}\langle S_{i}\rangle =kT{1 \over N}{\partial \over \partial h}\ln Z$

Gdy J = 0, tzn. dla układu nieoddziałujących spinów w polu magnetycznym suma statystyczna jest równa:

$Z=\sum _{S_{1},\ldots ,S_{N}}\exp(-\beta H)=\sum _{S_{1},\ldots ,S_{N}}\exp \left(\beta h\sum _{i}S_{i}\right)=\left[\sum _{S_{i}}\left(\exp(\beta hS_{i})\right)\right]^{N}=\left[\exp(\beta h)+\exp(-\beta h)\right]^{N}=\left[2\cosh(\beta h)\right]^{N}$$Z=\sum _{{S_{1},\ldots ,S_{N}}}\exp(-\beta H)=\sum _{{S_{1},\ldots ,S_{N}}}\exp \left(\beta h\sum _{i}S_{i}\right)=\left[\sum _{{S_{i}}}\left(\exp(\beta hS_{i})\right)\right]^{N}=\left[\exp(\beta h)+\exp(-\beta h)\right]^{N}=\left[2\cosh(\beta h)\right]^{N}$

Dla takiej sumy statystycznej namagnesowanie jest równe

$m={1 \over N}kT{\partial \over \partial h}\ln \left[2\cosh \beta h)\right]^{N}=kT{\left[\exp(\beta h)-\exp(-\beta h)\right] \over 2\cosh(\beta h)}=\tanh(\beta h)$$m={1 \over N}kT{\partial \over \partial h}\ln \left[2\cosh \beta h)\right]^{N}=kT{\left[\exp(\beta h)-\exp(-\beta h)\right] \over 2\cosh(\beta h)}=\tanh(\beta h)$

Model Isinga w jednym wymiarze

W układzie jednowymiarowym można nałożyć periodyczne warunki brzegowe $S_{N+1}=S_{1}$$S_{{N+1}}=S_{{1}}$.

Hamiltonian dla takiego układu:

$H=-J\sum _{i}S_{i}S_{i+1}-h\sum _{i}S_{i}=-J\sum _{i}S_{i}S_{i+1}-{1 \over 2}h\sum _{i}S_{i}-{1 \over 2}h\sum _{i}S_{i+1}=-\sum _{i}\left(JS_{i}S_{i+1}+{1 \over 2}h(S_{i}+S_{i+1})\right)=$$H=-J\sum _{i}S_{i}S_{{i+1}}-h\sum _{i}S_{i}=-J\sum _{i}S_{i}S_{{i+1}}-{1 \over 2}h\sum _{i}S_{i}-{1 \over 2}h\sum _{i}S_{{i+1}}=-\sum _{i}\left(JS_{i}S_{{i+1}}+{1 \over 2}h(S_{i}+S_{{i+1}})\right)=$

$=-\left(Js_{1}S_{2}+{1 \over 2}h(S_{1}+S_{2})+Js_{2}S_{3}+{1 \over 2}h(S_{2}+S_{3})+Js_{3}S_{4}+{1 \over 2}h(S_{3}+S_{4})+\ldots +Js_{N}S_{1}+{1 \over 2}h(S_{N}+S_{1})\right)=$$=-\left(Js_{1}S_{2}+{1 \over 2}h(S_{1}+S_{2})+Js_{2}S_{3}+{1 \over 2}h(S_{2}+S_{3})+Js_{3}S_{4}+{1 \over 2}h(S_{3}+S_{4})+\ldots +Js_{N}S_{1}+{1 \over 2}h(S_{N}+S_{1})\right)=$

Statystyczna suma stanów:

$Z=\sum _{S_{1},\ldots ,S_{N}}\exp(-\beta H)=\sum _{S_{1},\ldots ,S_{N}}\exp \left[\beta \sum _{i}\left(JS_{i}S_{i+1}+{1 \over 2}h(S_{i}+S_{i+1})\right)\right]=$$Z=\sum _{{S_{1},\ldots ,S_{N}}}\exp(-\beta H)=\sum _{{S_{1},\ldots ,S_{N}}}\exp \left[\beta \sum _{i}\left(JS_{i}S_{{i+1}}+{1 \over 2}h(S_{i}+S_{{i+1}})\right)\right]=$

$=\sum _{S_{1},\ldots ,S_{N}}\exp \left[\beta \left(Js_{1}S_{2}+{1 \over 2}h(S_{1}+S_{2})+Js_{2}S_{3}+{1 \over 2}h(S_{2}+S_{3})+Js_{3}S_{4}+{1 \over 2}h(S_{3}+S_{4})+\ldots +Js_{N}S_{1}+{1 \over 2}h(S_{N}+S_{1})\right)\right]=$$=\sum _{{S_{1},\ldots ,S_{N}}}\exp \left[\beta \left(Js_{1}S_{2}+{1 \over 2}h(S_{1}+S_{2})+Js_{2}S_{3}+{1 \over 2}h(S_{2}+S_{3})+Js_{3}S_{4}+{1 \over 2}h(S_{3}+S_{4})+\ldots +Js_{N}S_{1}+{1 \over 2}h(S_{N}+S_{1})\right)\right]=$

$=\sum _{S_{1},\ldots ,S_{N}}\exp \left[\beta \left(Js_{1}S_{2}+{1 \over 2}h(S_{1}+S_{2})\right)\right]\exp \left[\beta \left(Js_{2}S_{3}+{1 \over 2}h(S_{2}+S_{3})\right)\right]\exp \left[\beta \left(Js_{3}S_{4}+{1 \over 2}h(S_{3}+S_{4})\right)\right]\ldots \exp \left[\beta \left(Js_{N}S_{1}+{1 \over 2}h(S_{N}+S_{1})\right)\right]=$$=\sum _{{S_{1},\ldots ,S_{N}}}\exp \left[\beta \left(Js_{1}S_{2}+{1 \over 2}h(S_{1}+S_{2})\right)\right]\exp \left[\beta \left(Js_{2}S_{3}+{1 \over 2}h(S_{2}+S_{3})\right)\right]\exp \left[\beta \left(Js_{3}S_{4}+{1 \over 2}h(S_{3}+S_{4})\right)\right]\ldots \exp \left[\beta \left(Js_{N}S_{1}+{1 \over 2}h(S_{N}+S_{1})\right)\right]=$

$=\sum _{S_{1},\ldots ,S_{N}}M_{S_{1},S_{2}}M_{S_{2},S_{3}}\ldots M_{S_{N},S_{1}}=(*)$$=\sum _{{S_{1},\ldots ,S_{N}}}M_{{S_{1},S_{2}}}M_{{S_{2},S_{3}}}\ldots M_{{S_{N},S_{1}}}=(*)$

gdzie:

$M_{S_{1},S_{2}}=M_{S_{2},S_{3}}=\ldots =M_{S_{N},S_{1}}=M_{S_{i},S_{i+1}}=M=\exp \left[\beta \left(Js_{i}S_{i+1}+{1 \over 2}h(S_{i}+S_{i+1})\right)\right]$$M_{{S_{1},S_{2}}}=M_{{S_{2},S_{3}}}=\ldots =M_{{S_{N},S_{1}}}=M_{{S_{i},S_{{i+1}}}}=M=\exp \left[\beta \left(Js_{i}S_{{i+1}}+{1 \over 2}h(S_{i}+S_{{i+1}})\right)\right]$

Możliwe sa cztery "warianty" M:

${\begin{matrix}&{\begin{matrix}s_{i}=-1&s_{i}=+1\end{matrix}}\\{\begin{matrix}s_{i+1}=-1\\s_{i+1}=+1\end{matrix}}&{\begin{bmatrix}e^{\beta (J-h)}&e^{-\beta J}\\e^{-\beta J}&e^{\beta (J+h)}\end{bmatrix}}\end{matrix}}$${\begin{matrix}&{\begin{matrix}s_{i}=-1&s_{i}=+1\end{matrix}}\\{\begin{matrix}s_{{i+1}}=-1\\s_{{i+1}}=+1\end{matrix}}&{\begin{bmatrix}e^{{\beta (J-h)}}&e^{{-\beta J}}\\e^{{-\beta J}}&e^{{\beta (J+h)}}\end{bmatrix}}\end{matrix}}$

Wracając więc do sumy statystycznej

$Z=(*)=Tr(M^{N})=Tr(M\cdot M\cdot M\cdot \ldots \cdot M)=(**)$$Z=(*)=Tr(M^{N})=Tr(M\cdot M\cdot M\cdot \ldots \cdot M)=(**)$

Macierz M można przedstwić w postaci $M=U^{\dagger }M^{D}U$$M=U^{{\dagger }}M^{D}U$ gdzie $M^{D}$$M^{D}$ jest macierzą diagonalną, a $UU^{\dagger }=1$$UU^{{\dagger }}=1$

$Z=(**)=Tr(U^{\dagger }M^{D}UU^{\dagger }M^{D}UU^{\dagger }\ldots M^{D}U)=Tr(U^{\dagger }(M^{D})^{N}U)=(***)$$Z=(**)=Tr(U^{{\dagger }}M^{D}UU^{{\dagger }}M^{D}UU^{{\dagger }}\ldots M^{D}U)=Tr(U^{{\dagger }}(M^{D})^{N}U)=(***)$

$M^{D}$$M^{D}$ jest macierzą diagonalną, jest więc postaci:

$M^{D}=\left({\begin{matrix}\lambda _{1}&&0\\0&&\lambda _{2}\end{matrix}}\right)$$M^{D}=\left({\begin{matrix}\lambda _{1}&&0\\0&&\lambda _{2}\end{matrix}}\right)$

Natomiast $(M^{D})^{N}=\left({\begin{matrix}{\lambda _{1}}^{N}&&0\\0&&{\lambda _{2}}^{N}\end{matrix}}\right)$$(M^{D})^{N}=\left({\begin{matrix}{\lambda _{1}}^{N}&&0\\0&&{\lambda _{2}}^{N}\end{matrix}}\right)$

Wyznaczenie wartości własnych dla M:

$\det M=\det \left({\begin{matrix}{\exp(\beta J+\beta h)-\lambda }&&{\exp(-\beta J)}\\{\exp(-\beta J)}&&{\exp(\beta J-\beta h)-\lambda }\end{matrix}}\right)=\left(\exp {(\beta J+\beta h)}-\lambda \right)\left(\exp {(\beta J-\beta h)}-\lambda \right)-\exp(2\beta J)=$$\det M=\det \left({\begin{matrix}{\exp(\beta J+\beta h)-\lambda }&&{\exp(-\beta J)}\\{\exp(-\beta J)}&&{\exp(\beta J-\beta h)-\lambda }\end{matrix}}\right)=\left(\exp {(\beta J+\beta h)}-\lambda \right)\left(\exp {(\beta J-\beta h)}-\lambda \right)-\exp(2\beta J)=$

$=2\sinh(2\beta J)-\lambda 2\exp(\beta J)\cosh(\beta h)+\lambda ^{2}$$=2\sinh(2\beta J)-\lambda 2\exp(\beta J)\cosh(\beta h)+\lambda ^{2}$

$\lambda _{1}=\exp(\beta J)\left[\cosh(\beta h)+{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}\right]$$\lambda _{1}=\exp(\beta J)\left[\cosh(\beta h)+{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}\right]$

$\lambda _{2}=\exp(\beta J)\left[\cosh(\beta h)-{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}\right]$$\lambda _{2}=\exp(\beta J)\left[\cosh(\beta h)-{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}\right]$

Wybierając największą wartość własną macierzy:

$\lambda _{1}>\lambda _{2}$$\lambda _{1}>\lambda _{2}$

otrzymujemy że suma statystyczna jest równa:

$Z=(***)={\lambda _{1}}^{N}+{\lambda _{2}}^{N}={\lambda _{1}}^{N}\cdot \left(1+\left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{N}\right)$$Z=(***)={\lambda _{1}}^{N}+{\lambda _{2}}^{N}={\lambda _{1}}^{N}\cdot \left(1+\left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{N}\right)$

Jeśli $\lambda _{2}<\lambda _{1}$$\lambda _{2}<\lambda _{1}$ to: $\left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{N}<<1$$\left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{N}<<1$

$Z={\lambda _{1}}^{N}$$Z={\lambda _{1}}^{N}$

Faza stabilna jest określona przez największą wartość własną. Przejście fazowe (np. między fazą ferro i paramagnetyczną) zachodzi wtedy, gdy zrównują się wartości własne.

Namagnesowanie w takim wypadku jest równe:

$m={\frac {1}{N}}kY{\frac {\partial }{\partial h}}\ln Z={\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial h}}\ln \exp(\beta h)\cdot \left[\cosh(\beta h)+{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}\right]=$$m={\frac {1}{N}}kY{\frac {\partial }{\partial h}}\ln Z={\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial h}}\ln \exp(\beta h)\cdot \left[\cosh(\beta h)+{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}\right]=$

$={\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{\lambda _{1}}}\exp(\beta J)\cdot \left[\beta \sinh(\beta h)+{\frac {2\beta \sinh(\beta h)\cosh(\beta h)}{2{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}}}\right]=$$={\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{\lambda _{1}}}\exp(\beta J)\cdot \left[\beta \sinh(\beta h)+{\frac {2\beta \sinh(\beta h)\cosh(\beta h)}{2{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}}}\right]=$

$={\frac {\exp(\beta J)\sinh(\beta h)}{\lambda _{1}}}\cdot \left[{\frac {{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}+\cosh(\beta h)}{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}}\right]=$$={\frac {\exp(\beta J)\sinh(\beta h)}{\lambda _{1}}}\cdot \left[{\frac {{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}+\cosh(\beta h)}{{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}}}\right]=$

Czyli ostatecznie namagnesowanie:

$m={\frac {\sinh(\beta h)}{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}}$$m={\frac {\sinh(\beta h)}{{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}}}$

Bez zewnętrznego pola magnetycznego

Dla $h=0$$h=0$ (czyli braku zewnętrznego pola magnetycznego) $m=0$$m=0$, czyli nie ma ferromagnetyzmu w układzie jednowymiarowym.