Model Isinga

Model Isinga jest modelem matematycznym wykorzystywanym w mechanice statystycznej do badań nad przejściami fazowymi. Został stworzony w roku 1920 przez Wilhelma Lenza jako model ferromagnetyka.

Definicja

Model Isinga opisany jest za pomocą układu dyskretnych zmiennych s (spinów), które przyjmują wartości +1 lub -1 zlokalizowane na każdym węźle sieci. Energia oddziaływania pary spinów przyjmuje jedną z dwóch wartości zależną od ich wzajemnej orientacji (zgodnej lub przeciwnej).

Hamiltonian modelu Isinga w zewnętrznym polu

Energię modelu Isinga uwzględniającego oddziaływania między spinami zlokalizowanych w najbliżej sąsiadujących węzłach oraz z zewnętrznym polem magnetycznym można przedstawić w postaci hamiltonianu

$H= - \frac{1}{2} \sum_{\langle i,j\rangle} J_{ij} S_i S_j - \sum_i h_i S_i\,$

gdzie sumowanie w pierwszym członie odbywa się po wszystkich sąsiadujących ze sobą parach spinów zlokalizowanych w węzłach $i,j$. Parametr $J_{ij}$ jest całką wymiany i przyjmuje następujące wartości zależne od charakteru oddziaływań między spinami

$J_{ij} > 0$ - ferromagnetyczne (ustawia spiny w jednym kierunku, przeciwnym do zewnętrznego pola),

$J_{ij} < 0$ - antyferromagnetyczne,

$J_{ij} = 0$ - para spinów nie oddziałuje ze sobą.

$h$ jest energią spinu i w zewnętrznym polu magnetycznym.

Ścisłe rozwiązanie tego modelu dla przypadku jednowymiarowego uzyskał Ernst Ising w roku 1925. Układ dwuwymiarowy przy zerowym polu magnetycznym analitycznie rozwiązał Lars Onsager w roku 1944. Przypadek dwuwymiarowy w niezerowym polu zewnętrznym nadal pozostaje nie rozwiązany (2011), postać analityczna dla energii swobodnej dla 2D modelu Isinga w dowolnym zewnętrznym polu magnetycznym jest nadal nie znana. Nikomu jeszcze nie udało się znaleźć analityczne rozwiązanie w postaci jawnej dla 2D MI w dowolnym polu zewnętrznym.

Namagnesowanie

Określmy wartość namagnesowania m jako

$m= {1 \over N} \sum _i \langle S_i \rangle$

Przy czym ferromagnetyzm występuje gdy $m \neq 0$ dla zerowego zewnętrznego pola magnetycznego

Dla ferromagnetyzmu ma miejsce spontaniczne złamanie symetrii, tzn w zerowym zewnętrznym polu magnetycznym układ sam wyróżnia jeden z kierunków

Suma statystyczna w modelu Isinga

$Z = \sum _{S_1, S_2, \ldots , S_N} \exp [ -\beta H (S_1, S_2, \ldots , S_N) ]$

(Aby obliczyć średnią z operatora A zależnego od $S_1, \ldots , S_N$ można dodać do hamiltonianu człon $+ \alpha A$, a następnie obliczyć średnią i pochodną w granicy dla $\alpha$ zmierzającym do zera. )

$\langle A(S_1, S_2, \ldots , S_N) \rangle = {1 \over Z } \sum _{S_1, \ldots , S_N} A(S_1, S_2, \ldots , S_N) \exp [ -\beta H (S_1, S_2, \ldots , S_N) ]$

Namagnesowanie jest więc równe:

$m= kT {1 \over N} {\partial \over \partial h} \ln Z = kT {1 \over N} {\partial \over \partial h} \ln \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp \left [ \beta J \sum _{<i,j>} S_i, S_j + \beta h \sum _i S_i \right ] = kT {1 \over N} {\sum _{S_1, \ldots , S_N} \left [ \exp (- \beta H ) \beta \sum _i S_i \right ] \over Z} = {1 \over N } \sum _i \langle S_i \rangle$

Ostatecznie więc namagnesowanie

$m= {1 \over N} \sum _i \langle S_i \rangle = kT {1 \over N} {\partial \over \partial h} \ln Z$

Gdy J= 0, tzn dla pojedynczego spinu w polu magnetycznym suma statystyczna jest równa:

$Z = \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp(- \beta H) = \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp \left ( \beta h \sum _i S_i \right ) = \left [ \sum _{S_i} \left ( \exp (\beta h S_i ) \right ) \right ] ^N = \left [ \exp (\beta h ) + \exp (- \beta h ) \right ] ^N = \left [ 2 \cosh (\beta h) \right ] ^N$

Dla takiej sumy statystycznej namagnesowanie jest równe

$m = {1 \over N} kT {\partial \over \partial h } \ln \left [2 \cosh \beta h ) \right ] ^N = kT { \left [ \exp (\beta h ) - \exp (- \beta h ) \right ] \over 2 \cosh (\beta h ) } = \tanh (\beta h)$

Model Isinga w jednym wymiarze

W układzie jednowymiarowym nałożone są periodyczne warunki brzegowe

Hamiltonian dla takiego układu:

$H = -J \sum _i S_i S_{i+1} -h \sum _i S_i = -J \sum _i S_i S_{i+1} - {1 \over 2} h \sum _i S_i - {1 \over 2} h \sum _i S_{i+1} = - \sum _i \left ( J S_i S_{i+1} + {1 \over 2} h (S_i + S_{i + 1}) \right ) =$

$= - \left (J s_1 S_2 + {1 \over 2} h (S_1 + S_2) + J s_2 S_3 + {1 \over 2} h (S_2 + S_3) + J s_3 S_4 + {1 \over 2} h (S_3 + S_4) + \ldots + J s_N S_1 + {1 \over 2} h (S_N + S_1) \right ) =$

Statystyczna suma stanów:

$Z= \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp (- \beta H) = \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp \left [\beta \sum _i \left ( J S_i S_{i+1} + {1 \over 2} h (S_i + S_{i + 1}) \right ) \right ] =$

$= \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp \left [\beta \left (J s_1 S_2 + {1 \over 2} h (S_1 + S_2) + J s_2 S_3 + {1 \over 2} h (S_2 + S_3) + J s_3 S_4 + {1 \over 2} h (S_3 + S_4) + \ldots + J s_N S_1 + {1 \over 2} h (S_N + S_1) \right ) \right ] =$

$= \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp \left [\beta \left (J s_1 S_2 + {1 \over 2} h (S_1 + S_2)\right ) \right ] \exp \left [\beta \left (J s_2 S_3 + {1 \over 2} h (S_2 + S_3)\right ) \right ] \exp \left [\beta \left (J s_3 S_4 + {1 \over 2} h (S_3 + S_4)\right ) \right ] \ldots \exp \left [\beta \left (J s_N S_1 + {1 \over 2} h (S_N + S_1)\right ) \right ]=$

$= \sum _{S_1, \ldots , S_N} M_{S_1, S_2} M_{S_2, S_3} \ldots M_{S_N, S_1} = (*)$

gdzie:

$M_{S_1, S_2} = M_{S_2, S_3} = \ldots = M_{S_N, S_1} = M_{S_i, S_{i+1}} = M = \exp \left [\beta \left (J s_i S_{i+1} + {1 \over 2} h (S_i + S_{i+1})\right ) \right ]$

Możliwe sa cztery "warianty" M:

$\begin{matrix} & \begin{matrix} s_i = -1 & s_i = +1\end{matrix}\\ \begin{matrix} s_{i+1} = -1 \\ s_{i+1} = +1\end{matrix} & \begin{bmatrix} e^{\beta (J - h)} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta (J + h)} \end{bmatrix} \end{matrix}$

Wracając więc do sumy statystycznej

$Z= (*) = Tr (M^N)=Tr(M \cdot M \cdot M \cdot \ldots \cdot M )= (**)$

Macierz M można przedstwić w postaci $M= U^{\dagger} M^D U$ gdzie $M^D$ jest macierzą diagonalną, a $UU^{\dagger} =1$

$Z = (**) = Tr (U^{ \dagger } M^D U U^{ \dagger } M^D U U^{\dagger} \ldots M^D U) = Tr (U^{\dagger} (M^D)^N U) = (***)$

$M^D$ jest macierzą diagonalną, jest więc postaci:

$M^D = \left ( \begin{matrix} \lambda _1 && 0 \\ 0 && \lambda _2 \end{matrix} \right )$

Natomiast $(M^D)^N = \left ( \begin{matrix} {\lambda _1}^N && 0 \\ 0 && {\lambda _2}^N \end{matrix} \right )$

Wyznaczenie wartości własnych dla M:

$\det M = \det \left ( \begin{matrix} {\exp(\beta J + \beta h) - \lambda} && {\exp (-\beta J)} \\ {\exp (-\beta J )} && {\exp ( \beta J - \beta h) - \lambda} \end{matrix} \right ) = \left ( \exp {(\beta J + \beta h)} - \lambda \right ) \left ( \exp {(\beta J - \beta h)} - \lambda \right ) - \exp (2 \beta J ) =$

$= 2 \sinh (2 \beta J ) - \lambda 2 \exp (\beta J ) \cosh (\beta h) + \lambda ^2$

$\lambda _1 = \exp (\beta J ) \left [ \cosh (\beta h) + \sqrt {\cosh^2 (\beta h ) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J) } \right ]$

$\lambda _2 = \exp (\beta J ) \left [ \cosh (\beta h) - \sqrt {\cosh^2 (\beta h ) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J) } \right ]$

Wybierając największą wartość własną macierzy:

$\lambda _1 > \lambda _2$

otrzymujemy że suma statystyczna jest równa:

$Z = (***) = {\lambda _1} ^N + {\lambda _2} ^N = {\lambda _1} ^N \cdot \left ( 1 + \left ( \frac {\lambda _2} { \lambda _1} \right )^N \right )$

Jeśli $\lambda_2 < \lambda_1$ to: $\left( \frac {\lambda_2} { \lambda_1} \right)^N <<1$

$Z = {\lambda _1} ^N$

Faza stabilna jest określona przez największą wartość własną. Przejście fazowe (np. między fazą ferro i paramagnetyczną) zachodzi wtedy, gdy zrównują się wartości własne.

Namagnesowanie w takim wypadku jest równe:

$m = \frac {1}{N} kY \frac {\partial} { \partial h} \ln Z = \frac {1}{\beta} \frac {\partial }{\partial h} \ln \exp (\beta h) \cdot \left [ \cosh (\beta h) + \sqrt { \cosh ^2 (\beta h) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J)} \right ]=$

$= \frac {1}{\beta} \frac {1}{\lambda _1} \exp (\beta J) \cdot \left [ \beta \sinh (\beta h) + \frac {2 \beta \sinh (\beta h) \cosh (\beta h)} {2 \sqrt {\cosh ^2 (\beta h) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J)}} \right ]=$

$= \frac { \exp (\beta J) \sinh (\beta h) } {\lambda _1} \cdot \left [ \frac {\sqrt {\cosh ^2 (\beta h) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J)} + \cosh (\beta h)} {\sqrt {\cosh ^2 (\beta h) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J)}} \right ] =$

Czyli ostatecznie namagnesowanie:

$m = \frac {\sinh (\beta h)} {\sqrt {\cosh ^2 (\beta h) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J)}}$

Bez zewnętrznego pola magnetycznego

Dla $h=0$ (czyli braku zewnętrznego pola magnetycznego) $m=0$, czyli nie ma ferromagnetyzmu w układzie jednowymiarowym.