Model Isinga – model matematyczny wykorzystywany w mechanice statystycznej do badań nad przejściami fazowymi. Został stworzony w roku 1920 przez Wilhelma Lenza jako model ferromagnetyka.
Model Isinga opisany jest za pomocą układu dyskretnych zmiennych
(spinów), które przyjmują wartości +1 lub −1 zlokalizowane na każdym węźle sieci. Energia oddziaływania pary spinów przyjmuje jedną z dwóch wartości zależną od ich wzajemnej orientacji (zgodnej lub przeciwnej).
Hamiltonian modelu Isinga w zewnętrznym polu[edytuj | edytuj kod]
Energię modelu Isinga uwzględniającego oddziaływania między spinami zlokalizowanych w najbliżej sąsiadujących węzłach oraz z zewnętrznym polem magnetycznym można przedstawić w postaci hamiltonianu

gdzie sumowanie w pierwszym członie odbywa się po wszystkich sąsiadujących ze sobą parach spinów zlokalizowanych w węzłach
Parametr
jest całką wymiany i przyjmuje następujące wartości zależne od charakteru oddziaływań między spinami
– ferromagnetyczne (ustawia spiny w jednym kierunku, przeciwnym do zewnętrznego pola),
– antyferromagnetyczne,
– para spinów nie oddziałuje ze sobą,
gdzie
jest energią spinu
w zewnętrznym polu magnetycznym.
Ścisłe rozwiązanie tego modelu dla przypadku jednowymiarowego uzyskał Ernst Ising w roku 1925. Układ dwuwymiarowy przy zerowym polu magnetycznym analitycznie rozwiązał Lars Onsager w roku 1944. Przypadek dwuwymiarowy w niezerowym polu zewnętrznym pozostaje nie rozwiązany (2011), czyli postać analityczna energii swobodnej dla 2D modelu Isinga w dowolnym zewnętrznym polu magnetycznym jest nadal nieznana.
Określmy wartość namagnesowania
jako

przy czym ferromagnetyzm występuje, gdy
dla zerowego zewnętrznego pola magnetycznego.
Dla ferromagnetyzmu ma miejsce spontaniczne złamanie symetrii, tzn. w zerowym zewnętrznym polu magnetycznym układ sam wyróżnia jeden z kierunków.
Suma statystyczna w modelu Isinga[edytuj | edytuj kod]
![{\displaystyle Z=\sum _{S_{1},S_{2},\dots ,S_{N}}\exp[-\beta H(S_{1},S_{2},\dots ,S_{N})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee834c4314c3288b4f472ecf15e73281db013853)
(Aby obliczyć średnią z operatora A zależnego od
można dodać do hamiltonianu człon
a następnie obliczyć średnią i pochodną w granicy dla
zmierzającym do zera)
![{\displaystyle \langle A(S_{1},S_{2},\dots ,S_{N})\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}A(S_{1},S_{2},\dots ,S_{N})\exp[-\beta H(S_{1},S_{2},\dots ,S_{N})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757703ce90f86262e53e5ba6b921ab36cd10aee4)
Namagnesowanie jest więc równe:
![{\displaystyle m=kT{\frac {1}{N}}{\frac {\partial }{\partial h}}\ln Z=kT{\frac {1}{N}}{\frac {\partial }{\partial h}}\ln \sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp \left[\beta J\sum _{<i,j>}S_{i}S_{j}+\beta h\sum _{i}S_{i}\right]=kT{\frac {1}{N}}{\frac {\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\left[\exp(-\beta H)\beta \sum _{i}S_{i}\right]}{Z}}={\frac {1}{N}}\sum _{i}\langle S_{i}\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d031c5cbf22f7ae5bde154245232f5901ff2d765)
Ostatecznie więc namagnesowanie

Gdy J = 0, tzn. dla układu nieoddziałujących spinów w polu magnetycznym suma statystyczna jest równa:
![{\displaystyle Z=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp(-\beta H)=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp \left(\beta h\sum _{i}S_{i}\right)=\left[\sum _{S_{i}}\left(\exp(\beta hS_{i})\right)\right]^{N}=\left[\exp(\beta h)+\exp(-\beta h)\right]^{N}=\left[2\cosh(\beta h)\right]^{N}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9be82936dd3c6af9b06b8da1acbff8d0253404d)
Dla takiej sumy statystycznej namagnesowanie jest równe
![{\displaystyle m={\frac {1}{N}}kT{\frac {\partial }{\partial h}}\ln \left[2\cosh \beta h)\right]^{N}=kT{\frac {\left[\exp(\beta h)-\exp(-\beta h)\right]}{2\cosh(\beta h)}}=\operatorname {tgh} (\beta h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41bacbbf5908972e62508963f38b91b76736550a)
Model Isinga w jednym wymiarze[edytuj | edytuj kod]
W układzie jednowymiarowym można nałożyć periodyczne warunki brzegowe
Hamiltonian dla takiego układu:

Statystyczna suma stanów:
![{\displaystyle {\begin{aligned}Z&=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp(-\beta H)=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp \left[\beta \sum _{i}\left(JS_{i}S_{i+1}+{\frac {1}{2}}h(S_{i}+S_{i+1})\right)\right]\\&=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp \left[\beta \left(Js_{1}S_{2}+{\frac {1}{2}}h(S_{1}+S_{2})+Js_{2}S_{3}+{\frac {1}{2}}h(S_{2}+S_{3})+Js_{3}S_{4}+{\frac {1}{2}}h(S_{3}+S_{4})+\ldots +Js_{N}S_{1}+{\frac {1}{2}}h(S_{N}+S_{1})\right)\right]\\&=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp \left[\beta \left(Js_{1}S_{2}+{\frac {1}{2}}h(S_{1}+S_{2})\right)\right]\exp \left[\beta \left(Js_{2}S_{3}+{\frac {1}{2}}h(S_{2}+S_{3})\right)\right]\exp \left[\beta \left(Js_{3}S_{4}+{\frac {1}{2}}h(S_{3}+S_{4})\right)\right]\ldots \exp \left[\beta \left(Js_{N}S_{1}+{\frac {1}{2}}h(S_{N}+S_{1})\right)\right]\\&=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}M_{S_{1},S_{2}}M_{S_{2},S_{3}}\ldots M_{S_{N},S_{1}}=(*),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24cc98d9bfb7cdb233845237cb9bb1d705b734d7)
gdzie:
![{\displaystyle M_{S_{1},S_{2}}=M_{S_{2},S_{3}}=\ldots =M_{S_{N},S_{1}}=M_{S_{i},S_{i+1}}=M=\exp \left[\beta \left(Js_{i}S_{i+1}+{\frac {1}{2}}h(S_{i}+S_{i+1})\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb6bdc63317ec0eaa979c893d9a78793a89be69)
Możliwe są cztery „warianty” M:

Wracając więc do sumy statystycznej

Macierz M można przedstawić w postaci
gdzie
jest macierzą diagonalną, a

jest macierzą diagonalną, jest więc postaci:

Natomiast
Wyznaczenie wartości własnych dla M:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\det M&=\det \left({\begin{matrix}{\exp(\beta J+\beta h)-\lambda }&{\exp(-\beta J)}\\{\exp(-\beta J)}&{\exp(\beta J-\beta h)-\lambda }\end{matrix}}\right)\\[.5em]&=\left(\exp {(\beta J+\beta h)}-\lambda \right)\left(\exp {(\beta J-\beta h)}-\lambda \right)-\exp(2\beta J)\\[.5em]&=2\sinh(2\beta J)-\lambda 2\exp(\beta J)\cosh(\beta h)+\lambda ^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e45ce485f30df5597cfe4e23f8837b76877d0620)
![{\displaystyle \lambda _{1}=\exp(\beta J)\left[\cosh(\beta h)+{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102a69dd999dab60b5874305ce6d469cdaeb00c1)
![{\displaystyle \lambda _{2}=\exp(\beta J)\left[\cosh(\beta h)-{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f18a8d4ee405ea750f5abafd61b5a245154107e)
Wybierając największą wartość własną macierzy:

otrzymujemy że suma statystyczna jest równa:

Jeśli
to:

Faza stabilna jest określona przez największą wartość własną. Przejście fazowe (np. między fazą ferro i paramagnetyczną) zachodzi wtedy, gdy zrównują się wartości własne.
Namagnesowanie w takim wypadku jest równe:
![{\displaystyle {\begin{aligned}m&={\frac {1}{N}}kY{\frac {\partial }{\partial h}}\ln Z\\[.5em]&={\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial h}}\ln \exp(\beta h)\cdot \left[\cosh(\beta h)+{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}\right]\\[.5em]&={\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{\lambda _{1}}}\exp(\beta J)\cdot \left[\beta \sinh(\beta h)+{\frac {2\beta \sinh(\beta h)\cosh(\beta h)}{2{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}}}\right]\\[.5em]&={\frac {\exp(\beta J)\sinh(\beta h)}{\lambda _{1}}}\cdot \left[{\frac {{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}+\cosh(\beta h)}{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/215216f84122062f08093f682907633f534ab6a4)
Czyli ostatecznie namagnesowanie:

Bez zewnętrznego pola magnetycznego
Dla
(czyli braku zewnętrznego pola magnetycznego)
czyli nie ma ferromagnetyzmu w układzie jednowymiarowym.