Model Isinga

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Model Isinga jest modelem matematycznym wykorzystywanym w mechanice statystycznej do badań nad przejściami fazowymi. Został stworzony w roku 1920 przez Wilhelma Lenza jako model ferromagnetyka.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Model Isinga opisany jest za pomocą układu dyskretnych zmiennych s (spinów), które przyjmują wartości +1 lub -1 zlokalizowane na każdym węźle sieci. Energia oddziaływania pary spinów przyjmuje jedną z dwóch wartości zależną od ich wzajemnej orientacji (zgodnej lub przeciwnej).

Hamiltonian modelu Isinga w zewnętrznym polu[edytuj | edytuj kod]

Energię modelu Isinga uwzględniającego oddziaływania między spinami zlokalizowanych w najbliżej sąsiadujących węzłach oraz z zewnętrznym polem magnetycznym można przedstawić w postaci hamiltonianu

H= - \frac{1}{2} \sum_{\langle i,j\rangle} J_{ij} S_i S_j - \sum_i h_i S_i\,

gdzie sumowanie w pierwszym członie odbywa się po wszystkich sąsiadujących ze sobą parach spinów zlokalizowanych w węzłach i,j. Parametr J_{ij} jest całką wymiany i przyjmuje następujące wartości zależne od charakteru oddziaływań między spinami

J_{ij} > 0 - ferromagnetyczne (ustawia,
J_{ij} < 0 - antyferromagnetyczne,
J_{ij} = 0 - para spinów nie oddziałuje ze sobą.

h jest energią spinu i w zewnętrznym polu magnetycznym.

Ścisłe rozwiązanie tego modelu dla przypadku jednowymiarowego uzyskał Ernst Ising w roku 1925. Układ dwuwymiarowy przy zerowym polu magnetycznym analitycznie rozwiązał Lars Onsager w roku 1944. Przypadek dwuwymiarowy w niezerowym polu zewnętrznym nadal pozostaje nie rozwiązany (2011), postać analityczna dla energii swobodnej dla 2D modelu Isinga w dowolnym zewnętrznym polu magnetycznym jest nadal nie znana. Nikomu jeszcze nie udało się znaleźć analityczne rozwiązanie w postaci jawnej dla 2D MI w dowolnym polu zewnętrznym.

Namagnesowanie[edytuj | edytuj kod]

Określmy wartość namagnesowania m jako

 m= {1 \over N} \sum _i  \langle S_i \rangle

Przy czym ferromagnetyzm występuje gdy  m \neq 0 dla zerowego zewnętrznego pola magnetycznego


Dla ferromagnetyzmu ma miejsce spontaniczne złamanie symetrii, tzn w zerowym zewnętrznym polu magnetycznym układ sam wyróżnia jeden z kierunków


Suma statystyczna w modelu Isinga[edytuj | edytuj kod]

Z = \sum _{S_1, S_2, \ldots , S_N} \exp [ -\beta H (S_1, S_2, \ldots , S_N) ]


(Aby obliczyć średnią z operatora A zależnego od  S_1, \ldots , S_N można dodać do hamiltonianu człon  + \alpha A , a następnie obliczyć średnią i pochodną w granicy dla  \alpha zmierzającym do zera. )

 \langle A(S_1, S_2, \ldots , S_N) \rangle = {1 \over Z } \sum _{S_1, \ldots , S_N}  A(S_1, S_2, \ldots , S_N) \exp [ -\beta H (S_1, S_2, \ldots , S_N) ]

Namagnesowanie jest więc równe:

 m= kT {1 \over N} {\partial \over \partial h} \ln Z = kT {1 \over N} {\partial \over \partial h} \ln \sum _{S_1, \ldots , S_N}  \exp \left [ \beta J \sum _{<i,j>} S_i, S_j + \beta h \sum _i S_i \right ] = kT {1 \over N} {\sum _{S_1, \ldots , S_N} \left [ \exp (- \beta H ) \beta \sum _i S_i \right ] \over Z}  = {1 \over N } \sum _i \langle S_i \rangle

Ostatecznie więc namagnesowanie

 m= {1 \over N} \sum _i  \langle S_i \rangle = kT {1 \over N} {\partial \over \partial h} \ln Z

Gdy J= 0, tzn dla pojedynczego spinu w polu magnetycznym suma statystyczna jest równa:

 Z = \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp(- \beta H) = \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp \left ( \beta h \sum _i S_i \right ) = \left [ \sum _{S_i} \left ( \exp (\beta h S_i ) \right )  \right ] ^N = \left [ \exp (\beta h ) + \exp (- \beta h ) \right ] ^N = \left [ 2 \cosh (\beta h)  \right ] ^N


Dla takiej sumy statystycznej namagnesowanie jest równe

 m = {1 \over N} kT {\partial \over \partial h } \ln \left [2 \cosh \beta h ) \right ] ^N = kT { \left [ \exp (\beta h ) - \exp (- \beta h ) \right ] \over 2 \cosh (\beta h ) } = \tanh (\beta h)

Model Isinga w jednym wymiarze[edytuj | edytuj kod]

W układzie jednowymiarowym nałożone są periodyczne warunki brzegowe

Hamiltonian dla takiego układu:

 H = -J \sum _i S_i S_{i+1} -h \sum _i S_i = -J \sum _i S_i S_{i+1} - {1 \over 2} h \sum _i S_i - {1 \over 2} h \sum _i S_{i+1} =  - \sum _i \left ( J S_i S_{i+1} + {1 \over 2} h (S_i + S_{i + 1}) \right ) =

 = - \left (J s_1 S_2 + {1 \over 2} h (S_1 + S_2) + J s_2 S_3 + {1 \over 2} h (S_2 + S_3) + J s_3 S_4 + {1 \over 2} h (S_3 + S_4) + \ldots + J s_N S_1 + {1 \over 2} h (S_N + S_1) \right ) =


Statystyczna suma stanów:

 Z= \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp (- \beta H) = \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp \left [\beta \sum _i \left ( J S_i S_{i+1} + {1 \over 2} h (S_i + S_{i + 1}) \right ) \right ] =

 = \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp \left [\beta \left (J s_1 S_2 + {1 \over 2} h (S_1 + S_2) + J s_2 S_3 + {1 \over 2} h (S_2 + S_3) + J s_3 S_4 + {1 \over 2} h (S_3 + S_4) + \ldots + J s_N S_1 + {1 \over 2} h (S_N + S_1) \right ) \right ] =

 = \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp \left [\beta \left (J s_1 S_2 + {1 \over 2} h (S_1 + S_2)\right ) \right ] \exp \left [\beta \left (J s_2 S_3 + {1 \over 2} h (S_2 + S_3)\right ) \right ] \exp \left [\beta \left (J s_3 S_4 + {1 \over 2} h (S_3 + S_4)\right ) \right ] \ldots \exp \left [\beta \left (J s_N S_1 + {1 \over 2} h (S_N + S_1)\right ) \right ]=

 = \sum _{S_1, \ldots , S_N} M_{S_1, S_2} M_{S_2, S_3} \ldots M_{S_N, S_1} = (*)

gdzie:

 M_{S_1, S_2} = M_{S_2, S_3} = \ldots = M_{S_N, S_1} = M_{S_i, S_{i+1}} = M = \exp \left [\beta \left (J s_i S_{i+1} + {1 \over 2} h (S_i + S_{i+1})\right ) \right ]


Możliwe sa cztery "warianty" M:


\begin{matrix}
  & \begin{matrix} s_i = -1 & s_i = +1\end{matrix}\\
\begin{matrix} s_{i+1} = -1 \\ s_{i+1} = +1\end{matrix} & 
  \begin{bmatrix}
  e^{\beta (J - h)} & e^{-\beta J} \\
  e^{-\beta J} & e^{\beta (J + h)}
  \end{bmatrix}
\end{matrix}

Wracając więc do sumy statystycznej

 Z= (*) = Tr (M^N)=Tr(M \cdot M \cdot M \cdot \ldots \cdot M )= (**)

Macierz M można przedstwić w postaci  M= U^{\dagger} M^D U gdzie  M^D jest macierzą diagonalną, a  UU^{\dagger} =1

 Z = (**) = Tr (U^{ \dagger } M^D U U^{ \dagger } M^D U U^{\dagger} \ldots M^D U) = Tr (U^{\dagger} (M^D)^N U) = (***)


 M^D jest macierzą diagonalną, jest więc postaci:

 M^D = 
\left ( 
\begin{matrix}  
\lambda _1 && 0 \\ 0 && \lambda _2 
\end{matrix} 
\right )

Natomiast  (M^D)^N = 
\left ( 
\begin{matrix}  
{\lambda _1}^N && 0 \\ 0 && {\lambda _2}^N 
\end{matrix} 
\right )


Wyznaczenie wartości własnych dla M:

 
\det M = 
\det \left ( 
\begin{matrix}
{\exp(\beta J + \beta h) - \lambda} && {\exp (-\beta J)} \\ {\exp (-\beta J )} && {\exp ( \beta J - \beta h) - \lambda} 
\end{matrix}
\right ) = 
\left ( \exp {(\beta J + \beta h)} - \lambda \right ) 
\left ( \exp {(\beta J - \beta h)} - \lambda \right ) - \exp (2 \beta J ) 
=

 =  2 \sinh (2 \beta J ) - \lambda 2 \exp (\beta J ) \cosh (\beta h) + \lambda ^2

 \lambda _1 = \exp (\beta J )  \left [ \cosh (\beta h) + \sqrt {\cosh^2 (\beta h ) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J) } \right ]

 \lambda _2 = \exp (\beta J )  \left [ \cosh (\beta h) - \sqrt {\cosh^2 (\beta h ) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J) } \right ]


Wybierając największą wartość własną macierzy:

 \lambda _1 > \lambda _2


otrzymujemy że suma statystyczna jest równa:

 Z = (***) = {\lambda _1} ^N + {\lambda _2} ^N = {\lambda _1} ^N \cdot \left (  1 + \left ( \frac {\lambda _2} { \lambda _1} \right )^N \right )

Jeśli  \lambda_2 < \lambda_1 to: \left( \frac {\lambda_2} { \lambda_1} \right)^N <<1


 Z = {\lambda _1} ^N

Faza stabilna jest określona przez największą wartość własną. Przejście fazowe (np. między fazą ferro i paramagnetyczną) zachodzi wtedy, gdy zrównują się wartości własne.


Namagnesowanie w takim wypadku jest równe:


m = \frac {1}{N} kY \frac {\partial} { \partial h} \ln Z = 
\frac {1}{\beta} \frac {\partial }{\partial h} \ln \exp (\beta h) \cdot 
\left [ 
\cosh (\beta h) + \sqrt { \cosh ^2 (\beta h) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J)}
\right ]=


= \frac {1}{\beta} \frac {1}{\lambda _1} \exp (\beta J) \cdot 
\left [ 
\beta \sinh (\beta h) + \frac {2 \beta \sinh (\beta h) \cosh (\beta h)} {2 \sqrt {\cosh ^2 (\beta h) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J)}}
\right ]=

 
= \frac { \exp (\beta J) \sinh (\beta h) } {\lambda _1} \cdot 
\left [
\frac {\sqrt {\cosh ^2 (\beta h) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J)} + \cosh (\beta h)} {\sqrt {\cosh ^2 (\beta h) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J)}}
\right ] =

Czyli ostatecznie namagnesowanie:

 m = \frac {\sinh (\beta h)} {\sqrt {\cosh ^2 (\beta h) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J)}}

Bez zewnętrznego pola magnetycznego

Dla  h=0 (czyli braku zewnętrznego pola magnetycznego)  m=0 , czyli nie ma ferromagnetyzmu w układzie jednowymiarowym.