Odcinek koła

Odcinek koła zaznaczany zielonym kolorem

Odcinek koła – figura geometryczna, część koła ograniczona cięciwą wyznaczającą kąt środkowy $\theta$ okręgu oraz łukiem okręgu ograniczonym przez ramiona tego kąta. Parametry odcinka koła: długość cięciwy $c$ i wysokość (strzałka łuku) $h$ powiązane są ze sobą wzorem

$h=R-{\sqrt {R^{2}-(c/2)^{2}}},$

gdzie $R$ jest promieniem koła.

Pole odcinka koła

Niech $R$ będzie długością promienia koła. Wówczas długość łuku $s=R\theta ,$ gdzie miara kąta $\theta$ jest wyrażona w radianach. Pole odcinka koła wynosi

$P={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right).$

Wyprowadzenie wzoru

Pole odcinka koła stanowi różnicę pola wycinka koła ograniczonego ramionami kąta $\theta$ oraz pola trójkąta ograniczonego tymi ramionami i cięciwą. Pole wycinka koła wynosi $\pi R^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right).$ Pole trójkąta o ramionach długości $R$ i kącie $\theta$ między tymi ramionami wynosi

${\frac {1}{2}}R^{2}\sin(\theta ).$

Zatem pole odcinka koła jest ostatecznie równe

$R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {1}{2}}\sin(\theta )\right)={\frac {R^{2}}{2}}(\theta -\sin(\theta )).$

Wzory

Wzory na pole i obwód odcinka koła

	$\theta$ w stopniach	$\theta$ w radianach
Pole odcinka koła	$P={\frac {\pi R^{2}\theta }{360}}-{\frac {R^{2}\sin {\theta }}{2}}$	$P={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)$
Obwód odcinka koła	$l={\frac {\theta }{180}}\pi R+2R\sin {\frac {\theta }{2}}$	$l=\theta R+2R\sin {\frac {\theta }{2}}$

Bibliografia

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Circular Segment, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).