Koło

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy figury geometrycznej. Zobacz też: inne znaczenia.
Brzeg koła (okrąg) z pokazaną średnicą, cięciwą i promieniem

Kołozbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od ustalonego punktu na tej płaszczyźnie, nazywanego środkiem koła, jest mniejsza lub równa długości promienia koła.

Równoważna definicja: część płaszczyzny ograniczona przez pewien okrąg; okrąg ten zawiera się w kole i jest zarazem jego brzegiem.

Koło w układzie współrzędnych kartezjańskich jest opisane wzorem:

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\leqslant r^2,

gdzie

r>0\; - promień koła,
(x_0,\ y_0) - współrzędne środka koła.

Pojęcia związane z kołem[edytuj | edytuj kod]

Koło otwarte to koło bez brzegu czyli ograniczającego je okręgu. Pojęcie to często pojawia się w analizie matematycznej w teorii funkcji zmiennej zespolonej. "Zwykłe" koło dla odróżnienia nazywa się wtedy kołem domkniętym.

Cięciwa koła to odcinek o końcach na brzegu koła.

Promień koła to:

  • odcinek z jednym końcem na brzegu koła, a drugim w środku koła;
  • długość tego odcinka.

Średnica koła to:

  • cięciwa przechodząca przez środek koła;
  • długość tej cięciwy, czyli podwojona wartość promienia koła.

Podstawowe wzory[edytuj | edytuj kod]

Wycinek i odcinek koła

W poniższych wzorach:

\pi=3,14159265\dots jest jedną ze stałych matematycznych, szerzej opisana w artykule Pi;
r\, to promień koła.
S=\pi r^2 \approx 3,14\ r^2. \,
L=2\pi r \approx 6,28\ r. \,
S=\frac {\alpha}{360} \pi r^2 =\frac{r^2\varphi}{2}.
  • Pole odcinka koła o kącie środkowym α° lub φ radianów :
S=\frac {\alpha}{360} \pi r^2 -\frac{r^2 \sin\alpha^\circ}{2}=\frac{r^2 \varphi}{2} - \frac{r^2 \sin\varphi}{2}.
  • Długość łuku okręgu, na którym wspiera się kąt środkowy α° lub φ radianów:
L=\frac {\alpha\pi r}{180} = r\varphi.

Dwuwymiarowe koło w przestrzeni trójwymiarowej[edytuj | edytuj kod]

Koło o środku w punkcie O(s_x,\ s_y,\ s_z) i promieniu r, zanurzone w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej, może być zdefiniowane jako część wspólna kuli o środku w O i płaszczyzny przechodzącej przez O. Opisuje je układ:

\left\{ \begin{array}{*{35}l}
   A(x-s_{x})+B(y-s_{y})+C(z-s_{z})=0,  \\
   (x-s_{x})^{2}+(y-s_{y})^{2}+(z-s_{z})^{2}\leqslant r^{2},  \\
\end{array} \right.

gdzie r>0 oraz A, B i C nie są równocześnie zerem.

Dwuwymiarowe koło w przestrzeni wielowymiarowej[edytuj | edytuj kod]

Koło zanurzone w przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej o środku w punkcie O(s_1,s_2,...,s_n) i promieniu r może być zdefiniowane jako część wspólna n-wymiarowej kuli o środku w O i n-2 hiperpłaszczyzn przechodzących przez O. Każde koło w przestrzeni wielowymiarowej może zatem być opisane układem n-2 równań i jednej nierówności:

\left\{ \begin{array}{*{35}l}
   a_{1,1} (x_{1}-s_{1})+a_{1,2} (x_{2}-s_{2})+\ldots +a_{1,n} (x_{n}-s_{n})=0  \\
   a_{2,1} (x_{1}-s_{1})+a_{2,2} (x_{2}-s_{2})+\ldots +a_{2,n} (x_{n}-s_{n})=0  \\
   \ldots   \\
   a_{n-2,1} (x_{1}-s_{1})+a_{n-2,2} (x_{2}-s_{2})+\ldots +a_{n-2,n} (x_{n}-s_{n})=0  \\
   (x_{1}-s_{1})^{2}+(x_{2}-s_{2})^{2}+\ldots (x_{n}-s_{n})^{2}\leqslant r^{2}  \\
\end{array} \right.

Jednak nie każdy układ tej postaci generuje koło; np. jeśli dwa spośród tych równań będą liniowo zależne, zbiorem rozwiązań układu nie będzie koło, a np. trójwymiarowa kula.

Uogólnienie koła na przestrzenie metryczne[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie koła może być uogólnione na dowolną przestrzeń metryczną. Jest to wówczas zbiór elementów tej przestrzeni odległych od jakiegoś elementu przestrzeni zwanego środkiem koła nie bardziej niż na zadaną odległość (promień) zgodnie z obowiązującą w danej przestrzeni metryką.

Dla dowolnych przestrzeni metrycznych:

K_{\bar{x}_{0}}(r) = \{ \bar{x}: \rho(\bar{x}_{0},\bar{x}) \leqslant r \},

gdzie

\rho(\bar{x}_{0},\bar{x}) - metryka przestrzeni.

Takie uogólnienie nazywamy kulą.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]