Podziały metaliczne

Złoty i srebrny podział oraz definiujące je prostokąty.

Podziały metaliczne to dodatnie pierwiastki równania kwadratowego

$M(n)_{\pm }^{2}-nM(n)_{\pm }-1=0$.

Prostokąt definiujący srebrny podział.

Każdy prostokąt zawiera w sobie co najmniej jeden kwadrat o krawędzi $h$ równej krótszej krawędzi prostokąta. Jeżeli prostokąt zawiera $n$ takich kwadratów a mniejszy prostokąt ma te same proporcje, co można zapisać zależnością jego krawędzi $nh+d$ oraz $h$

$M(n)\doteq {\frac {nh+d}{h}}={\frac {h}{d}}$,

spełniają one podział metaliczny; złoty podział dla $n=1$, srebrny podział dla $n=2$, brązowy podział dla $n=3$ i tak dalej. Rozwiązanie tej relacji z uwagi na $n$ prowadzi do powyższego równania kwadratowego, którego pierwiastki to

$M(n)_{\pm }={\frac {n\pm {\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$,

Ponieważ zakłada się, że krawędzie prostokąta definiującego to liczby nieujemne, zwykle rozważane są jedynie dodatnie pierwiastki $M(n)_{+}$ tego równania.

Własności

Podziały metaliczne mają ciekawe własności. Na przykład

1. $M(n)_{-}M(n)_{+}=-1$,
2. $M(n)_{-}+M(n)_{+}=n$,
3. $-M(-n)_{-}=M(n)_{+}$, lub
4. $M(n)_{\pm }=\pm e^{{\text{arcsinh}}(\pm n/2)}$.

Gdy $n$ zmierza do nieskończoności, czynnik $+4$ w pierwiastku zanika i $M(n)_{\pm }\approx \{n,0\}$ dla dużych $n$.

Ponadto

$M(n)_{\pm }^{k}=A_{k}M(n)_{\pm }+A_{k-1}$,

gdzie współczynniki $A_{k}$ są definiowane rekurencyjnie przez $A_{0}\doteq 0$, $A_{1}\doteq 1$ oraz $A_{k}=nA_{k-1}+A_{k-2}$.

Dowód Widzimy, że zależność ta jest prawdziwa dla $k=1$. Definicja rekurencji implikuje $A_{2}=n$.

Mnożąc równanie definiujące przez $M(n)_{\pm }^{k-2}$ mamy

$M(n)_{\pm }^{k}-nM(n)_{\pm }^{k-1}-M(n)_{\pm }^{k-2}=0$.

Stąd

${\begin{aligned}M(n)_{\pm }^{k}&=nM(n)_{\pm }^{k-1}+M(n)_{\pm }^{k-2}=&&{\text{(równanie definiujące)}}\\&=n\left(A_{k-1}M(n)_{\pm }+A_{k-2}\right)+\left(A_{k-2}M(n)_{\pm }+A_{k-3}\right)=&&{\text{(hipoteza rekurencyjna)}}\\&=\left(nA_{k-1}+A_{k-2}\right)M(n)_{\pm }+\left(nA_{k-2}+A_{k-3}\right)=\\&=A_{k}M(n)_{\pm }+A_{k-1}\end{aligned}}$.

Ponadto dla wymiernych $n\neq \{0,\pm 2\}$ podziały metaliczne definiowane są przez trójki pitagorejskie.

Kąty metaliczne

Złoty kąt

Koncepcję podziałów metalicznych można rozszerzyć na kąty metaliczne jako

${\frac {n(2\pi -\varphi )+\varphi }{2\pi -\varphi }}={\frac {2\pi -\varphi }{\varphi }}$,

co dla $n=1$ sprowadza się do złotego kąta $\varphi (1)_{-}\approx 2,399963$ (137,507764°). Rozwiązanie powyższej relacji z uwagi na $\varphi$ prowadzi do równania kwadratowego

$n\varphi (n)_{\pm }^{2}-2\pi (n+2)\varphi (n)_{\pm }+4\pi ^{2}=0$,

którego pierwiastki to

${\frac {\varphi (n)_{\pm }}{\pi }}={\frac {n+2\pm {\sqrt {n^{2}+4}}}{n}}$.

W porównaniu do podziałów metalicznych, zarówno iloczyny

${\frac {\varphi (n)_{-}\varphi (n)_{+}}{\pi ^{2}}}={\frac {4}{n}}$,

jak i sumy kątów metalicznych

${\frac {\varphi (n)_{-}+\varphi (n)_{+}}{\pi }}=2{\frac {n+2}{n}}$,

są zależne od $n$, przy czym $\lim _{n\to \pm \infty }\varphi (n)_{-}\varphi (n)_{+}=0$ a $\lim _{n\to \pm \infty }\varphi (n)_{-}+\varphi (n)_{+}=2\pi$.

Zobacz też

• ciąg Fibonacciego
• złoty podział
• srebrny podział
• złota funkcja
• złoty kąt