Prostokąt

Przykład prostokąta – na czerwono zaznaczono jego kąty. Wszystkie są kątami prostymi

Dwa prostokąty, których część wspólna (intersekcja) też jest prostokątem

Prostokąt – czworokąt, który ma wszystkie wewnętrzne kąty proste (stąd również jego nazwa). Jest to uogólnienie kwadratu – prostokąt nie musi mieć równych boków.

Istnieją też inne, równoważne definicje prostokąta, np. oparte na szerszych pojęciach jak równoległobok czy trapez prostokątny.

Podstawowe własności

Równość wszystkich czterech kątów – czyli bycie prostokątem – to gwarancja (warunek wystarczający) równości przekątnych: $\sphericalangle ABC=\sphericalangle BCD=$$\sphericalangle CDA=\sphericalangle DAB$ $\Rightarrow$ $|AC|=|BD|$

• Przekątne prostokąta są równej długości.
  • Twierdzenie odwrotne nie zachodzi. Inne czworokąty z równymi przekątnymi to np. trapezy równoramienne.
• Przekątne prostokąta przecinają się w połowie.
  • Twierdzenie odwrotne nie zachodzi. Inne czworokąty o tej własności przekątnych to np. romby i szerzej wszystkie równoległoboki.
• Kąt między przekątnymi jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy prostokąt jest kwadratem.
• Każdy prostokąt jest czworokątem cyklicznym.

Podstawowe wzory

Oznaczenia:

$a,b$ – długości boków prostokąta;

$d$ – długość przekątnej;

$\alpha$ – mniejszy z kątów między przekątnymi;

$w_{p},$ $h_{p}$ – szerokość i wysokość określone proporcjonalnie (np. 16, 9; 4, 3).

Długość przekątnej:

$d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Obwód:

${\begin{aligned}L&=2(a+b)=\\&=2a+2b.\end{aligned}}$

Pole powierzchni:

${\begin{aligned}P&=ab=\\&={\frac {1}{2}}d^{2}\sin \alpha =\\&=d^{2}{\frac {w_{p}\cdot h_{p}}{w_{p}^{2}+h_{p}^{2}}}.\end{aligned}}$

Symetrie

• Jeśli prostokąt nie jest kwadratem, to ma dokładnie dwie (2) osie symetrii.
• Każdy prostokąt ma środek symetrii, bo jest równoległobokiem – to własność wszystkich takich figur.
• Jeśli prostokąt nie jest kwadratem, to jego symetrie tworzą grupę czwórkową Kleina $(V_{4}\cong C_{2}^{2})$. Nie jest to jednak jedyny taki czworokąt – analogiczną grupę symetrii ma dowolny romb niebędący kwadratem.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Rectangle, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2025-07-11].