Równanie różniczkowe Laplace’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie różniczkowe Laplace’a to równanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu postaci:

gdzie funkcja jest klasy . Znak oznacza operator Laplace’a. Dla w kartezjańskim układzie współrzędnych, równanie ma więc postać:

.

Alternatywne zapisy równania to:

czyli laplasjan jako dywergencja gradientu, a także:

gdzie to operator nabla.

Nazwa równania pochodzi od nazwiska Pierre Simon de Laplace’a, który sformułował je w XVIII wieku.

Interpretacja fizyczna[edytuj]

Równanie to wyraża następującą własność pola potencjalnego: dywergencja (rozbieżność) wektorowego pola potencjalnego (czyli gradientu potencjału), pod nieobecność źródła jest równa zeru. Opisuje ono zatem wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. potencjał grawitacyjny poza punktami źródeł pola (czyli bez punktów materialnych), potencjał prędkości cieczy przy braku źródeł. Równanie Laplace’a jest szczególnym przypadkiem równania Poissona, wyrażającego analogiczny związek w przypadku istnienia źródeł pola.

Równanie Laplace’a występuje m.in.[1]:

  • w elektrostatyce – potencjał elektrostatyczny V pod nieobecność ładunku elektrycznego spełnia równanie Laplace’a,
  • w termodynamice – opisuje przepływ statyczny ciepła,
  • w mechanice płynów – opisuje przepływ bezwirowy cieczy,
  • w elektrodynamice – opisuje przepływ prądu w ośrodkach rozciągłych,
  • w mechanice – opisuje odkształcenia membran sprężystych.

Interpretacja matematyczna[edytuj]

Równanie Laplace’a jest równaniem eliptycznym. Funkcję spełniającą równanie różniczkowe Laplace’a nazywamy funkcją harmoniczną.

Rozwiązania[edytuj]

Wzór Poissona dla półprzestrzeni[edytuj]

Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej rozwiązaniem równania Laplace’a w półprzestrzeni spełniającym na brzegu dla warunek jest:

gdzie jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.

Wzór Poissona dla kuli[edytuj]

Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej rozwiązaniem równania Laplace’a w (hiper-)kuli spełniającym na (hiper-)sferze warunek jest:

gdzie jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Feynmana wykłady z fizyki. Wyd. III. T. II. Cz. 1. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1974, s. 121.

Bibliografia[edytuj]