Równanie różniczkowe Laplace’a

Pierre Simon de Laplace, twórca równania

Równanie różniczkowe Laplace’a – równanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu postaci:

$\Delta u(x)=0,$

gdzie funkcja $u:{\mathcal {U}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ jest klasy $C^{2}({\mathcal {U}}).$ Znak $\Delta$ oznacza operator Laplace’a. Dla $n=3,$ w kartezjańskim układzie współrzędnych, równanie ma więc postać:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,y,z)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}u(x,y,z)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}u(x,y,z)=0.$

Alternatywne zapisy równania to:

$\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,u=0,$

czyli laplasjan jako dywergencja gradientu, a także:

$\nabla ^{2}u=0,$ gdzie $\nabla$ to operator nabla.

Nazwa równania pochodzi od nazwiska Pierre’a Simona de Laplace’a, który sformułował je w XVIII wieku.

Interpretacja fizyczna

Równanie to wyraża następującą własność pola potencjalnego: dywergencja (rozbieżność) wektorowego pola potencjalnego (czyli gradientu potencjału), pod nieobecność źródła jest równa zeru. Opisuje ono zatem wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. potencjał grawitacyjny poza punktami źródeł pola (czyli bez punktów materialnych), potencjał prędkości cieczy przy braku źródeł. Równanie Laplace’a jest szczególnym przypadkiem równania Poissona, wyrażającego analogiczny związek w przypadku istnienia źródeł pola.

Równanie Laplace’a występuje m.in.:

• w elektrostatyce – potencjał elektrostatyczny V pod nieobecność ładunku elektrycznego spełnia równanie Laplace’a,
• w termodynamice – opisuje przepływ statyczny ciepła,
• w mechanice płynów – opisuje przepływ bezwirowy cieczy,
• w elektrodynamice – opisuje przepływ prądu w ośrodkach rozciągłych,
• w mechanice – opisuje odkształcenia membran sprężystych.

Interpretacja matematyczna

Równanie Laplace’a jest równaniem eliptycznym. Funkcję spełniającą równanie różniczkowe Laplace’a nazywamy funkcją harmoniczną.

Rozwiązania

Wzór Poissona dla półprzestrzeni

Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej $g\colon \mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R}$ rozwiązaniem równania Laplace’a w półprzestrzeni $\mathbb {R} _{+}^{n}=\{x=(x_{1},\dots ,x_{n}):x_{n}>0\}$ spełniającym na brzegu $\partial \mathbb {R} _{+}^{n}=\{x=(x_{1},\dots ,x_{n}):x_{n}=0\}$ dla $y\in \mathbb {R} ^{n-1}$ warunek $u(y,0)=g(y)$ jest:

$u(x)={\frac {2x_{n}}{n\alpha (n)}}\int _{\partial \mathbb {R} _{+}^{n}}{\frac {g(y)}{|x-(y,0)|^{n}}}dy,$

gdzie $\alpha (n)$ jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.

Wzór Poissona dla kuli

Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej $g:\mathbb {S} ^{n-1}(0,r)\to \mathbb {R}$ rozwiązaniem równania Laplace’a w (hiper-)kuli $K^{n}(0,r)$ spełniającym na (hiper-)sferze $\partial K^{n}(0,r)=S^{n-1}(0,r)$ warunek $u(y)=g(y)$ jest:

$u(x)={\frac {r^{2}-|x|^{2}}{n\alpha (n)r}}\int _{S^{n-1}(0,r)}{\frac {g(y)}{|x-y|^{n}}}dS(y),$

gdzie $\alpha (n)$ jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.

Zobacz też

• laplasjan, dywergencja, nabla
• równanie różniczkowe Poissona
• funkcja harmoniczna

Bibliografia

• Richard Phillips Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Feynmana wykłady z fizyki. Wyd. III. T. II. Cz. 1. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1974.

Literatura dodatkowa

• Lawrence C. Evans: Równania różniczkowe cząstkowe. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002.

Linki zewnętrzne

• Laplace equation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].