Przestrzeń rzutowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń rzutowa – modyfikacja przestrzeni geometrycznej poprzez dołączenie do zbioru punktów przestrzeni wszystkich kierunków tej przestrzeni. W tak powiększonej przestrzeni każde dwie różne proste rzutowe leżące na jednej płaszczyźnie rzutowej posiadają punkt wspólny właściwy lub niewłaściwy zwany punktem w nieskończoności.

W szerszym ujęciu: jest to przestrzeń euklidesowa En, do której dołączono wszystkie kierunki tej przestrzeni, oznaczana symbolem Pn. Przestrzeń P1 jest homeomorficzna z okręgiem[a], przestrzeń P2 jest homeomorficzna ze wstęgą Möbiusa, w której brzeg wklejono koło (dysk), i tworzy płaszczyznę rzutową rzeczywistą.

Definicja formalna[edytuj]

Niech będzie ciałem oraz niech będzie iloczynem kartezjańskim kopii tego ciała, n≥1.

Niech będzie relacją 2-argumentową w zbiorze zdefiniowaną następująco:

   wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego    zachodzi 

Relacja jest równoważnością.

Zbiór klas abstrakcji relacji czyli zbiór nazywa się przestrzenią rzutową wymiaru n-1 i jest oznaczany Pn-1.

Zgodnie z definicją, P0 jest zbiorem jednoelementowym czyli punktem.

Uwagi

  1. takie stwierdzenie wymaga uprzedniego rozszerzenia topologii na przestrzeń Pn.

Bibliografia[edytuj]