Wstęga Möbiusa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wstęga Möbiusa zrobiona z paska papieru

Wstęga Möbiusa – dwuwymiarowa zwarta rozmaitość topologiczna, nieorientowalna z brzegiem, którą można uzyskać sklejając taśmę końcami przy odwróceniu jednego z końców o kąt 180°. Opisana przez niemieckiego matematyka Augusta Möbiusa i Johanna Benedicta Listinga w 1858 roku.

Symbol recyklingu w kształcie wstęgi Möbiusa

Błędnie uznaje się, że symbol nieskończoności pochodzi od wstęgi Möbiusa; symbol ten był w użyciu od ponad dwustu lat, gdy Möbius i Listing odkryli wstęgę.

Stylizowane przedstawienie wstęgi Möbiusa jest symbolem recyklingu.


Definicje[edytuj]

Należy złączyć krawędzie czerwone tak, aby strzałki miały ten sam zwrot.
Wykres parametryczny

Wstęga Möbiusa może być zdefiniowana jako kwadrat [0,1] × [0,1], w którym górna i dolna krawędź są utożsamione przez relację (x,0) ~ (1-x,1) dla 0 ≤ x ≤ 1, jak pokazuje to rysunek po prawej.


Innym sposobem jest następująca parametryzacja podzbioru  :

gdzie oraz . W ten sposób tworzy się wstęga Möbiusa o szerokości 1, której środkowe koło leżące na płaszczyźnie x-y ma promień 1 i jest wyśrodkowane w punkcie (0,0,0). Parametr u przebiega dookoła wstęgi a parametr v od jednej krawędzi do drugiej.

W cylindrycznym układzie współrzędnych (r,θ,z) nieograniczona wersja wstęgi Möbiusa może być przedstawiona jako równanie

Własności topologiczne[edytuj]

Wstęgę Möbiusa można zanurzyć w przestrzeni trójwymiarowej. Jej nieorientowalność oznacza, że ma tylko jedną stronę, tzn. jest powierzchnią jednostronną. Posiada tylko jedną krawędź homeomorficzną z okręgiem. „Zaklejenie” tej krawędzi (niemożliwe w przestrzeni trójwymiarowej) kołem daje płaszczyznę rzutową, „zaklejenie” tej krawędzi inną wstęgą Möbiusa daje butelkę Kleina.

Charakterystyka Eulera tej powierzchni jest równa 0.

Rozcinanie wstęgi Möbiusa[edytuj]

Przecięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż w połowie szerokości powoduje otrzymanie dwukrotnie dłuższej, dwukrotnie skręconej obręczy (posiadającej dwie strony). Z kolei po przecięciu wzdłuż w jednej trzeciej szerokości otrzymamy jedną węższą wstęgę Möbiusa o długości równej wyjściowej wstędze oraz splecioną z nią dwukrotnie dłuższą, dwukrotnie skręconą obręcz.


Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]