Wstęga Möbiusa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Model wstęgi Möbiusa wykonany z paska papieru

Wstęga Möbiusa – szczególna powierzchnia jednostronna opisana niezależnie[1] przez niemieckich matematyków Augusta Möbiusa[1][2][3] i Johanna Benedicta Listinga[1][4] w 1858 roku[1][5][6]: dwuwymiarowa zwarta rozmaitość topologiczna, nieorientowalna z brzegiem.

Jej model można uzyskać, sklejając taśmę końcami przy odwróceniu jednego z końców o kąt 180°[7][8][9][10]. Stylizowana wstęga Möbiusa jest symbolem recyklingu[11]; w innej stylizacji jest obecna w logotypie Międzynarodówki humanistycznej. W sztuce znana jest z grafiki Mauritsa Cornelisa Eschera przedstawiającej mrówki idące po wstędze Möbiusa[12].

Wstęga Möbiusa przy odpowiednim ułożeniu przypomina symbol nieskończoności , co może prowadzić do błędnych przypuszczeń, że symbol ten pochodzi od wstęgi Möbiusa[a].

Konstrukcje[edytuj | edytuj kod]

Należy złączyć krawędzie czerwone tak, aby strzałki miały ten sam zwrot
Wykres parametryczny
Relacja równoważności

Wstęgę Möbiusa można skonstruować z prostokąta wprowadzając relację dla , która utożsamia dwie przeciwległe krawędzie, wraz z topologią ilorazową względem relacji [14].

Parametryzacja
 Zobacz też: równanie parametryczne.

Innym sposobem jest określenie parametryzacji tej powierzchni[10]. Niech dany będzie odcinek długości i środku poruszający się w przestrzeni o początku układu w ten sposób, że punkt zakreśla okrąg sparametryzowany równaniami:

,

gdzie [10]. Niech odcinek będzie stale prostopadły do , a kąt nachylenia tego odcinka do płaszczyzny niech równa się [10]. Wtedy odcinek zakreśla wstęgę Möbiusa o parametryzacji:

,

gdzie oraz [10]. Zmiana parametru powoduje poruszanie punktu wzdłuż wstęgi, zmiana parametru – w poprzek.

Własności topologiczne[edytuj | edytuj kod]

Wstęgę Möbiusa można zanurzyć w przestrzeni trójwymiarowej. Jej nieorientowalność oznacza, że ma tylko jedną stronę, tzn. jest powierzchnią jednostronną[15][1][10]. W przypadku gładkich parametryzacji oznacza to, że oś normalna wstęgi Möbiusa nie może być funkcją ciągłą na całej powierzchni wstęgi[14].

Jej brzeg jest homeomorficzny z okręgiem. Oznacza to, wstęga ma tylko jedną intuicyjnie rozumianą krawędź, w przeciwieństwie np. do powierzchni bocznej walca, która ma dwie krawędzie. „Zaklejenie” tego brzegu (niemożliwe w przestrzeni trójwymiarowej) kołem daje płaszczyznę rzutową, „zaklejenie” tego brzegu inną wstęgą Möbiusa daje butelkę Kleina[16]. Płaszczyzna rzutowa i butelka Kleina są innymi przykładami powierzchni nieorientowalnej. Zachodzi ogólna własność: powierzchnia jest nieorientowalna wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera podzbiór homeomorficzny ze wstęgą Möbiusa.

Charakterystyka Eulera tej powierzchni jest równa 0[17][18].

Rozcinanie wstęgi Möbiusa[edytuj | edytuj kod]

Jednokrotne przecięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż linii środkowej w połowie szerokości
Przecięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż linii środkowej na 1/3 szerokości
Różne sposoby rozcinana wstęgi Möbiusa

Rozcięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż jej linii środkowej nie powoduje jej rozkładu na dwa rozłączne obiekty[7][1][19], lecz powoduje otrzymanie dwukrotnie dłuższej, dwukrotnie skręconej obręczy (posiadającej dwie strony). Rozcięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż w jednej trzeciej szerokości powoduje otrzymanie jednej węższej wstęgi Möbiusa o długości równej wyjściowej wstędze oraz splecionej z nią dwukrotnie dłuższej, dwukrotnie skręconej obręczy. W wyniku przecięcia taśmy skręconej przed sklejeniem nie o 180°, jak w przypadku wstęgi Möbiusa, ale 360°, otrzymuje się dwa kręgi węzłowe, połączone jak ogniwa w łańcuchu[19].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Symbol nieskończoności został wprowadzony przez angielskiego matematyka Johna Wallisa w 1655 roku[13].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c d e f Möbius strip, Encyclopaedia Britannica
  2. Möbius August Ferdinand (pol.). Encyklopedia PWN. [dostęp 2018-08-12].
  3. August Ferdinand Möbius, German mathematician and astronomer (ang.). Encyclopaedia Britannica. [dostęp 2018-08-12].
  4. Johann Benedict Listing (ang.). history.mcs.st-and.ac.uk. [dostęp 2018-08-12].
  5. Wstęga Mobiusa. Jak wygląda i jakie ma właściwości? (pol.). fokus.tv. [dostęp 2018-08-12].
  6. Möbius strip, mathematics (ang.). Encyclopaedia Britannica. [dostęp 2018-08-12].
  7. a b Möbiusa wstęga (pol.). Encyklopedia PWN. [dostęp 2018-08-12].
  8. The Möbius Strip (ang.). math.hmc.edu. [dostęp 2018-08-12].
  9. Topology, Encyclopaedia Britannica
  10. a b c d e f Franciszek Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ​ISBN 978-83-01-15479-0​, s. 374-375
  11. Krzysztof Ciesielski: Dlaczego warto uczyć się matematyki (pol.). matematyka.poznan.pl. [dostęp 2018-08-21].
  12. Encyklopedia szkolna. Matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, s. 194. ISBN 83-02-02551-8.
  13. Ilija Barukčić: Theoriae causalitatis principia mathematica. Norderstedt: BoD – Books on Demand, 2017, s. 19. ISBN 978-3-7448-1593-2. (ang.)
  14. a b Franciszek Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ​ISBN 978-83-01-15479-0​, s. 374
  15. Powierzchnia jednostronna (pol.). Encyklopedia PWN. [dostęp 2018-08-12].
  16. Tomasz Grębski: O relacjach między matematyką i muzyką (pol.). czasopisma.tnkul.pl. s. 119. [dostęp 2018-08-21].
  17. Eric W. Weisstein, Euler Characteristic, MathWorld--A Wolfram Web Resource
  18. Eric W. Weisstein Möbius Strip, MathWorld--A Wolfram Web Resource
  19. a b Szczepan Jeleński: Śladami Pitagorasa. Rozrywki matematyczne, opracowała Emilia Jeleńska pod redakcją A. M. Kusieckiego, Wydanie ósme. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1988, s. 194.