Równanie Lapunowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie Lapunowa – w teorii sterowania to jedno z następujących równań:

  • dyskretne równanie Lapunowa:
A X A^{H} - X + Q = 0
gdzie Q jest macierzą hermitowską, a A^H jest transpozycją sprzężoną macierzy A;
  • dyskretne równanie Lapunowa w postaci:
AX + XA^H + Q = 0 .

Równania Lapunowa występują w wielu zagadnieniach teorii sterowania takich jak analiza stabilności Lapunowa i sterowanie optymalne (zob. algebraiczne równanie Riccatiego).

Zastosowanie do stabilności[edytuj | edytuj kod]

W poniższych twierdzeniach A, P, Q \in \mathbb{R}^{n \times n}, i P oraz Qsymetryczne. Notacja P>0 oznacza, że macierz P jest macierzą dodatnio określoną.

Twierdzenie dla przypadku czasu ciągłego[edytuj | edytuj kod]

Jeśli istnieje P>0 i Q>0 spełniająca A^T P + P A + Q = 0, wówczas układ liniowy \dot{x}=A x jest globalnie asymptotycznie stabilny. Funkcja kwadratowa V(z)=z^T P z jest funkcją Lapunowa, która może być użyta do weryfikacji stabilności.

Twierdzenie dla przypadku czasu dyskretnego[edytuj | edytuj kod]

Jeśli istnieje P>0 i Q>0 spełniająca A^T P A -P + Q = 0, wówczas układ liniowy x(t+1)=A x(t) jest globalnie asymptotycznie stabilny. Podobnie jak w twierdzeniu powyżej z^T P z jest funkcją Lapunowa.

Aspekty obliczeniowe rozwiązań[edytuj | edytuj kod]

Korzystając z uzupełnienia Schura, dyskretne równanie Lapunowa można zapisać w postaci:

\begin{bmatrix}
X^{-1} & A \\ A^H & X-Q
\end{bmatrix}=0

lub równoważnie:

\begin{bmatrix}
X & XA \\ A^HX & X-Q
\end{bmatrix}=0.

Przy rozwiązywaniu równań Lapunowa można posłużyć się dostępnym specjalistycznym oprogramowaniem. W przypadku dyskretnym często stosuje się metodę Schura podaną przez Kitagawa (1977). W przypadku ciągłym można posłużyć się metodą Bartelsa i Stewarta (1972).

Rozwiązanie analityczne[edytuj | edytuj kod]

Dla równań dyskretnych czasu dyskretnego istnieje rozwiązanie analityczne. Definiuje się operator vec(A) jako złożenie kolumn macierzy A (zob. wektoryzacja). Ponadto definiuje się kron(A,B) jako iloczyn Kroneckera macierzy A i B. Korzystając z następującego wyniku:

vec(ABC)=kron(C^{T},A)vec(B),

otrzymuje się:

 (I-kron(A^{T},A^{T}))vec(X) = vec(Q)

gdzie I jest zgodną macierzą jednostkową.

Można wówczas znaleźć rozwiązanie vec(X) przez odwrócenie lub przez rozwiązanie równań liniowych. Aby uzyskać X wystarczy odpowiednio przekształcić vec(X).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]