Równanie Lapunowa

Równanie Lapunowa – w teorii sterowania to jedno z następujących równań:

• dyskretne równanie Lapunowa:

$AXA^{H}-X+Q=0,$

gdzie $Q$ jest macierzą hermitowską, a $A^{H}$ jest transpozycją sprzężoną macierzy $A;$

• dyskretne równanie Lapunowa w postaci:

$AX+XA^{H}+Q=0.$

Równania Lapunowa występują w wielu zagadnieniach teorii sterowania takich jak analiza stabilności Lapunowa i sterowanie optymalne (zob. algebraiczne równanie Riccatiego).

Zastosowanie do stabilności

W poniższych twierdzeniach $A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n},$ i $P$ oraz $Q$ są symetryczne. Notacja $P>0$ oznacza, że macierz $P$ jest macierzą dodatnio określoną.

Twierdzenie dla przypadku czasu ciągłego

Jeśli istnieje $P>0$ i $Q>0$ spełniająca $A^{T}P+PA+Q=0,$ wówczas układ liniowy ${\dot {x}}=Ax$ jest globalnie asymptotycznie stabilny. Funkcja kwadratowa $V(z)=z^{T}Pz$ jest funkcją Lapunowa, która może być użyta do weryfikacji stabilności.

Twierdzenie dla przypadku czasu dyskretnego

Jeśli istnieje $P>0$ i $Q>0$ spełniająca $A^{T}PA-P+Q=0,$ wówczas układ liniowy $x(t+1)=Ax(t)$ jest globalnie asymptotycznie stabilny. Podobnie jak w twierdzeniu powyżej $z^{T}Pz$ jest funkcją Lapunowa.

Aspekty obliczeniowe rozwiązań

Korzystając z uzupełnienia Schura, dyskretne równanie Lapunowa można zapisać w postaci:

${\begin{bmatrix}X^{-1}&A\\A^{H}&X-Q\end{bmatrix}}=0$

lub równoważnie:

${\begin{bmatrix}X&XA\\A^{H}X&X-Q\end{bmatrix}}=0.$

Przy rozwiązywaniu równań Lapunowa można posłużyć się dostępnym specjalistycznym oprogramowaniem. W przypadku dyskretnym często stosuje się metodę Schura podaną przez Kitagawa (1977). W przypadku ciągłym można posłużyć się metodą Bartelsa i Stewarta (1972).

Rozwiązanie analityczne

Dla równań dyskretnych czasu dyskretnego istnieje rozwiązanie analityczne. Definiuje się operator $\operatorname {vec} (A)$ jako złożenie kolumn macierzy $A$ (zob. wektoryzacja). Ponadto definiuje się $kron(A,B)$ jako iloczyn Kroneckera macierzy $A$ i $B.$ Korzystając z następującego wyniku:

$\operatorname {vec} (ABC)=kron(C^{T},A)\operatorname {vec} (B),$

otrzymuje się:

$(I-kron(A^{T},A^{T}))\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (Q),$

gdzie $I$ jest zgodną macierzą jednostkową.

Można wówczas znaleźć rozwiązanie $\operatorname {vec} (X)$ przez odwrócenie lub przez rozwiązanie równań liniowych. Aby uzyskać $X$ wystarczy odpowiednio przekształcić $\operatorname {vec} (X).$

Zobacz też

• algebraiczne równanie Riccatiego
• równanie Sylvestera
• Aleksandr Lapunow