Równanie Lapunowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie Lapunowa – w teorii sterowania to jedno z następujących równań:

  • dyskretne równanie Lapunowa:
gdzie jest macierzą hermitowską, a jest transpozycją sprzężoną macierzy ;
  • dyskretne równanie Lapunowa w postaci:
.

Równania Lapunowa występują w wielu zagadnieniach teorii sterowania takich jak analiza stabilności Lapunowa i sterowanie optymalne (zob. algebraiczne równanie Riccatiego).

Zastosowanie do stabilności[edytuj]

W poniższych twierdzeniach , i oraz symetryczne. Notacja oznacza, że macierz jest macierzą dodatnio określoną.

Twierdzenie dla przypadku czasu ciągłego[edytuj]

Jeśli istnieje i spełniająca , wówczas układ liniowy jest globalnie asymptotycznie stabilny. Funkcja kwadratowa jest funkcją Lapunowa, która może być użyta do weryfikacji stabilności.

Twierdzenie dla przypadku czasu dyskretnego[edytuj]

Jeśli istnieje i spełniająca , wówczas układ liniowy jest globalnie asymptotycznie stabilny. Podobnie jak w twierdzeniu powyżej jest funkcją Lapunowa.

Aspekty obliczeniowe rozwiązań[edytuj]

Korzystając z uzupełnienia Schura, dyskretne równanie Lapunowa można zapisać w postaci:

lub równoważnie:

.

Przy rozwiązywaniu równań Lapunowa można posłużyć się dostępnym specjalistycznym oprogramowaniem. W przypadku dyskretnym często stosuje się metodę Schura podaną przez Kitagawa (1977). W przypadku ciągłym można posłużyć się metodą Bartelsa i Stewarta (1972).

Rozwiązanie analityczne[edytuj]

Dla równań dyskretnych czasu dyskretnego istnieje rozwiązanie analityczne. Definiuje się operator jako złożenie kolumn macierzy (zob. wektoryzacja). Ponadto definiuje się jako iloczyn Kroneckera macierzy i . Korzystając z następującego wyniku:

,

otrzymuje się:

gdzie jest zgodną macierzą jednostkową.

Można wówczas znaleźć rozwiązanie przez odwrócenie lub przez rozwiązanie równań liniowych. Aby uzyskać wystarczy odpowiednio przekształcić .

Zobacz też[edytuj]