Macierz hermitowska

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Macierz hermitowska (albo samosprzężona) - macierz kwadratowa równa swojemu sprzężeniu hermitowskiemu, tj. macierz spełniająca warunek

.

W przypadku macierzy o wyrazach rzeczywistych, macierze hermitowskie to po prostu macierze symetryczne. Nieskończenie wymiarowym uogólnieniem pojęcia macierzy hermitowskiej jest pojęcie operatora samosprzężonego.

1. Przykłady macierzy hermitowskich 2x2:

a). wszystkie macierze symetryczne: ,

b)

c). macierze Pauliego

2. Przykład macierzy hermitowskiech 3x3:

a). wszystkie macierze symetryczne , np.

b).

Macierz ta jest hermitowska, ponieważ:

Własności[edytuj]

  • Macierz hermitowska na głównej przekątnej ma wyrazy rzeczywiste.
  • Macierze hermitowskie mają rzeczywiste wartości własne. Istotnie, niech będzie wartością własną macierzy A, tj. dla pewnego niezerowego wektora x. Wówczas
,
co dowodzi, że jest liczbą rzeczywistą ponieważ .
  • Wektory własne niezdegenerowanej macierzy hermitowskiej są ortogonalne. Niech i będą różnymi wartościami własnymi macierzy A dla pewnych wektorów, kolejno i , tj. oraz . Wówczas:
zgodnie z poprzednią własnością, wartości własne są rzeczywiste, a więc , stąd:
ponieważ (macierz niezdegenerowana), , a więc wektory i są ortogonalne
  • Wyznacznik macierzy hermitowskiej jest rzeczywisty.
  • Macierz hermitowska o wyrazach rzeczywistych jest macierzą symetryczną

Formy hermitowskie[edytuj]

Formę g na zespolonej przestrzeni liniowej V nazywa się hermitowską jeżeli

  1. .

Formy hermitowskie są we wzajemnej jednoznaczności z macierzami hermitowskimi: macierz formy hermitowskiej jest hermitowska. Z drugiej strony, jeżeli A jest n-wymiarową macierzą hermitowską, to wzór

definiuje formę hermitowską w przestrzeni (symbol oznacza postać kolumnową wektora poziomego ).

Bibliografia[edytuj]