Ogólna postać macierzy hermitowskiej. Algebry Liego[edytuj | edytuj kod]
Macierze hermitowskie wymiaru mają na przekątnej liczby rzeczywiste a wyrazy poza przekątną są w ogólności zespolone i takie, że wyrazy leżące symetrycznie względem przekątnej są liczbami zespolonymi wzajemnie sprzężonymi.
Macierze hermitowskie wymiaru mają ogólną postać
gdzie – sprzężenia zespolone liczb
Macierze te zależą w ogólności od parametrów rzeczywistych i tworzą przestrzeń wektorową – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru zależą od parametrów (warunek daje jedno dodatkowe równanie, które pozwala obliczyć jeden z parametrów w zależności od pozostałych) i tworzą podprzestrzeń, która jest algebrą Liego Powyższe stwierdzenia omówimy na przykładach.
Macierze te zależą w ogólności od parametrów rzeczywistych (3 liczby na przekątnej, 3 części rzeczywiste i 3 zespolone liczb ) i tworzą przestrzeń wektorową – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru zależą od parametrów i tworzą podprzestrzeń -wymiarową, która jest algebrą Liego su(3). Generatorami tej algebry są np. macierze Gell-Manna.
Dowód: Niech i będą różnymi wartościami własnymi macierzy dla pewnych wektorów, kolejno i tj. oraz Wówczas:
ponieważ wartości własne są rzeczywiste, a więc
Stąd:
ponieważ (macierz niezdegenerowana), a więc wektory i są ortogonalne.
Macierz hermitowska posiada liniowo niezależnych wektorów własnych.
Dowód: Niech będzie macierzą hermitowską, a jej wartością własną. Pokażemy, że nie posiada wektorów głównych drugiego rzędu. Załóżmy dla dowodu nie wprost, że jest wektorem głównym drugiego rzędu. Wtedy: , zatem . Skoro jest hermitowska, a - rzeczywista, z powyższego wynika, że lub równoważnie . Ostatecznie , czyli jest wektorem własnym, co przeczy założeniu, że jest wektorem głównym drugiego rzędu. W bazie Jordana macierzy występują zatem wyłącznie jej wektory własne.
Macierz hermitowska jest unitarnie podobna do macierzy diagonalnej rzeczywistej, tj. dla hermitowskiej macierzy istnieją rzeczywista diagonalna macierz oraz unitarna macierz , takie że .
Wyznacznik macierzy hermitowskiej jest rzeczywisty.
Macierz hermitowska o wyrazach rzeczywistych jest macierzą symetryczną.
Formę na zespolonej przestrzeni liniowej nazywa się hermitowską jeżeli
Formy hermitowskie są we wzajemnej jednoznaczności z macierzami hermitowskimi: macierz formy hermitowskiej jest hermitowska. Z drugiej strony, jeżeli jest -wymiarową macierzą hermitowską, to wzór
definiuje formę hermitowską w przestrzeni (symbol oznacza postać kolumnową wektora poziomego ).