Macierz hermitowska

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Macierz hermitowska (albo samosprzężona) – macierz kwadratowa równa swojemu sprzężeniu hermitowskiemu, tj. macierz spełniająca warunek

Nieskończenie wymiarowym uogólnieniem macierzy hermitowskiej jest operator samosprzężony (hermitowski).

Szczególnym przypadkiem macierzy hermitowskich są rzeczywiste macierze symetryczne.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

(1) Macierze hermitowskie 2 × 2:

a) macierze symetryczne rzeczywiste, tj. np.

b) macierze zespolone, np.

c) macierze Pauliego

d) macierz zbudowana z macierzy Pauliego

(2) Macierze hermitowskie 3 × 3:

a) macierze symetryczne rzeczywiste, tj.

np.

b)

Macierz ta jest hermitowska, ponieważ:

(3) Macierze hermitowskie 4 × 4:

a) macierz gamma Diraca

b) macierze alpha i beta Diraca

Ogólna postać macierzy hermitowskiej. Algebry Liego[edytuj | edytuj kod]

Macierze hermitowskie wymiaru mają na przekątnej liczby rzeczywiste a wyrazy poza przekątną są w ogólności zespolone i takie, że wyrazy leżące symetrycznie względem przekątnej są liczbami zespolonymi wzajemnie sprzężonymi.

Macierze hermitowskie wymiaru mają ogólną postać

gdzie - sprzężenia zespolone liczb

Macierze te zależą w ogólności od parametrów rzeczywistych i tworzą przestrzeń wektorową - wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru zależą od parametrów (warunek daje jedno dodatkowe równanie, które pozwala obliczyć jeden z parametrów w zależności od pozostałych) i tworzą podprzestrzeń, która jest algebrą Liego Powyższe stwierdzenia omówimy na przykładach.

Macierze hermitowskie 2 × 2[edytuj | edytuj kod]

- mają ogólną postać

gdzie:

  • - sprzężenie zespolone liczby

Widać, że macierze te w ogólności zależą od 4 parametrów i tworzą przestrzeń wektorową 4- wymiarową.

Macierze bezśladowe tworzą podprzestrzeń - wymiarową, która jest algebrą Liego su(2). Bazą tej przestrzeni są np. macierze Pauliego.

Macierze hermitowskie 3 × 3[edytuj | edytuj kod]

- mają ogólną postać

.

Macierze te zależą w ogólności od parametrów rzeczywistych (3 liczby na przekątnej, 3 części rzeczywiste i 3 zespolone liczb ) i tworzą przestrzeń wektorową - wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru zależą od parametrów i tworzą podprzestrzeń -wymiarową, która jest algebrą Liego su(3). Generatorami tej algebry są np. macierze Gell-Manna.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Tw. 1 Macierz hermitowska na głównej przekątnej ma wyrazy rzeczywiste.

Tw. 2 Macierz hermitowska ma rzeczywiste wartości własne.

Dowód: Niech będzie wartością własną macierzy tj. dla pewnego niezerowego wektora Wówczas

co dowodzi, że jest liczbą rzeczywistą ponieważ

Tw. 3 Wektory własne niezdegenerowanej macierzy hermitowskiej są ortogonalne.

Dowód: Niech i będą różnymi wartościami własnymi macierzy dla pewnych wektorów, kolejno i tj. oraz Wówczas:

Zgodnie z Tw. 2 wartości własne są rzeczywiste, a więc

Sąd:

ponieważ (macierz niezdegenerowana), a więc wektory i są ortogonalne.

Tw. 4 Wyznacznik macierzy hermitowskiej jest rzeczywisty.

Tw. 5 Macierz hermitowska o wyrazach rzeczywistych jest macierzą symetryczną.

Formy hermitowskie[edytuj | edytuj kod]

Formę na zespolonej przestrzeni liniowej nazywa się hermitowską jeżeli

Formy hermitowskie są we wzajemnej jednoznaczności z macierzami hermitowskimi: macierz formy hermitowskiej jest hermitowska. Z drugiej strony, jeżeli jest -wymiarową macierzą hermitowską, to wzór

definiuje formę hermitowską w przestrzeni (symbol oznacza postać kolumnową wektora poziomego ).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]