Macierz hermitowska

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Macierz hermitowska (albo samosprzężona) – macierz kwadratowa równa swojemu sprzężeniu hermitowskiemu, tj. macierz spełniająca warunek

.

Nieskończenie wymiarowym uogólnieniem macierzy hermitowskiej jest operator samosprzężony (hermitowski).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

(1) Macierze hermitowskie 2 x 2:

a) macierze symetryczne rzeczywiste, tj. , np.

b)

c) macierze Pauliego

d) macierz zbudowana macierzy Pauliego

(2) Macierze hermitowskie 3 x 3:

a) macierze symetryczne rzeczywiste, tj.

, np.

b)

Macierz ta jest hermitowska, ponieważ:

(3) Macierze hermitowskie 4 x 4:

a) macierz gamma Diraca

b) macierze alpha i beta Diraca

Własności[edytuj | edytuj kod]

Tw. 1 Macierz hermitowska na głównej przekątnej ma wyrazy rzeczywiste.

Tw. 2 Macierz hermitowska ma rzeczywiste wartości własne. Dowód: Niech będzie wartością własną macierzy A, tj. dla pewnego niezerowego wektora x. Wówczas

,

co dowodzi, że jest liczbą rzeczywistą ponieważ .

Tw. 3 Wektory własne niezdegenerowanej macierzy hermitowskiej są ortogonalne.

Dowód: Niech i będą różnymi wartościami własnymi macierzy dla pewnych wektorów, kolejno i , tj. oraz . Wówczas:

Zgodnie z Tw. 2 wartości własne są rzeczywiste, a więc

Sąd:

ponieważ (macierz niezdegenerowana), , a więc wektory i są ortogonalne.

Tw. 4 Wyznacznik macierzy hermitowskiej jest rzeczywisty.

Tw. 5 Macierz hermitowska o wyrazach rzeczywistych jest macierzą symetryczną

Formy hermitowskie[edytuj | edytuj kod]

Formę g na zespolonej przestrzeni liniowej V nazywa się hermitowską jeżeli

  1. .

Formy hermitowskie są we wzajemnej jednoznaczności z macierzami hermitowskimi: macierz formy hermitowskiej jest hermitowska. Z drugiej strony, jeżeli A jest n-wymiarową macierzą hermitowską, to wzór

definiuje formę hermitowską w przestrzeni (symbol oznacza postać kolumnową wektora poziomego ).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]