Macierz hermitowska (albo samosprzężona) – macierz kwadratowa
równa swojemu sprzężeniu hermitowskiemu
tj. macierz spełniająca warunek[1]:

czyli
![{\displaystyle [a_{ij}]=[{\overline {a_{ji}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b355012871299be2662174c24057bba19c4b0d3)
Nieskończenie wymiarowym uogólnieniem macierzy hermitowskiej jest operator samosprzężony (hermitowski).
Szczególnym przypadkiem macierzy hermitowskich są rzeczywiste macierze symetryczne.
- macierze symetryczne rzeczywiste, tj.
np. 
- macierze zespolone, np.


- macierz zbudowana z macierzy Pauliego

- macierze symetryczne rzeczywiste, tj.
np. 

- Macierz ta jest hermitowska, ponieważ:


Macierze hermitowskie wymiaru
mają na przekątnej liczby rzeczywiste
a wyrazy poza przekątną są w ogólności zespolone i takie, że wyrazy leżące symetrycznie względem przekątnej są liczbami zespolonymi wzajemnie sprzężonymi.
Macierze hermitowskie wymiaru
mają ogólną postać

gdzie
– sprzężenia zespolone liczb
Macierze te zależą w ogólności od
parametrów rzeczywistych i tworzą przestrzeń wektorową
– wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru
zależą od
parametrów (warunek
daje jedno dodatkowe równanie, które pozwala obliczyć jeden z parametrów w zależności od pozostałych) i tworzą podprzestrzeń, która jest algebrą Liego
Powyższe stwierdzenia omówimy na przykładach.
– mają ogólną postać

gdzie:

– sprzężenie zespolone liczby 
Widać, że macierze te w ogólności zależą od 4 parametrów
i tworzą przestrzeń wektorową 4- wymiarową.
Macierze bezśladowe tworzą podprzestrzeń
– wymiarową, która jest algebrą Liego su(2). Bazą tej przestrzeni są np. macierze Pauliego.
– mają ogólną postać

Macierze te zależą w ogólności od
parametrów rzeczywistych (3 liczby na przekątnej, 3 części rzeczywiste i 3 zespolone liczb
) i tworzą przestrzeń wektorową
– wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru
zależą od
parametrów i tworzą podprzestrzeń
-wymiarową, która jest algebrą Liego su(3). Generatorami tej algebry są np. macierze Gell-Manna.
- Dowód: Niech
będzie wartością własną macierzy
tj.
dla pewnego niezerowego wektora
Wówczas

- co dowodzi, że
jest liczbą rzeczywistą, ponieważ 
- Dowód: Niech
i
będą różnymi wartościami własnymi macierzy
dla pewnych wektorów, kolejno
i
tj.
oraz
Wówczas:

- ponieważ wartości własne są rzeczywiste, a więc

- Stąd:

- ponieważ
(macierz niezdegenerowana),
a więc wektory
i
są ortogonalne.
- Macierz hermitowska
posiada
liniowo niezależnych wektorów własnych.
- Dowód: Niech
będzie macierzą hermitowską, a
jej wartością własną. Pokażemy, że
nie posiada wektorów głównych drugiego rzędu. Załóżmy dla dowodu nie wprost, że
jest wektorem głównym drugiego rzędu. Wtedy:
zatem
Skoro
jest hermitowska, a
– rzeczywista, z powyższego wynika, że
lub równoważnie
Ostatecznie
czyli
jest wektorem własnym, co przeczy założeniu, że
jest wektorem głównym drugiego rzędu. W bazie Jordana macierzy
występują zatem wyłącznie jej wektory własne.
- Macierz hermitowska jest unitarnie podobna do macierzy diagonalnej rzeczywistej, tj. dla hermitowskiej macierzy
istnieją rzeczywista diagonalna macierz
oraz unitarna macierz
takie że 
- Wyznacznik macierzy hermitowskiej jest rzeczywisty.
- Macierz hermitowska o wyrazach rzeczywistych jest macierzą symetryczną.
Formę
na zespolonej przestrzeni liniowej
nazywa się hermitowską jeżeli


Formy hermitowskie są we wzajemnej jednoznaczności z macierzami hermitowskimi: macierz formy hermitowskiej jest hermitowska. Z drugiej strony, jeżeli
jest
-wymiarową macierzą hermitowską, to wzór

definiuje formę hermitowską w przestrzeni
(symbol
oznacza postać kolumnową wektora poziomego
).
Niektóre typy macierzy | Cechy niezależne od bazy |
|
---|
Cechy zależne od bazy |
|
---|
|
---|
Operacje na macierzach | jednoargumentowe |
|
---|
dwuargumentowe |
|
---|
|
---|
Niezmienniki | |
---|
Inne pojęcia |
|
---|