Macierz hermitowska

Macierz hermitowska (albo samosprzężona) - macierz kwadratowa $A=(a_{ij})$$A=(a_{ij})$ równa swojemu sprzężeniu hermitowskiemu, tj. macierz spełniająca warunek

$(a_{ij})=({\overline {a_{ji}}})$$(a_{ij})=(\overline{a_{ji}})$.

W przypadku macierzy o wyrazach rzeczywistych, macierze hermitowskie to po prostu macierze symetryczne. Nieskończenie wymiarowym uogólnieniem pojęcia macierzy hermitowskiej jest pojęcie operatora samosprzężonego.

1. Przykłady macierzy hermitowskich 2x2:

a). wszystkie macierze symetryczne: ${\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}},a,b,c\in \mathbb {R}$$\begin{bmatrix} a & b \\ b& c \end{bmatrix}, a, b, c\in\mathbb{R}$, ${\begin{bmatrix}1&2\\2&7\end{bmatrix}},$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2& 7 \end{bmatrix},$

b) ${\begin{bmatrix}1&-i\\i&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}2&-i\\i&1\end{bmatrix}},$$\begin{bmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & -i \\ i & 1 \end{bmatrix},$

c). macierze Pauliego

$\sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}},$$\sigma_1=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 &0 \end{bmatrix}, \sigma_2=\begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}, \sigma_3=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{bmatrix},$

2. Przykład macierzy hermitowskiech 3x3:

a). wszystkie macierze symetryczne ${\begin{bmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{bmatrix}},a,b,c,d,e,f\in \mathbb {R}$$\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d &e\\ c & e & f \end{bmatrix}, a,b,c,d,e,f \in\mathbb{R}$, np. ${\begin{bmatrix}1&2&4\\2&7&0\\4&0&-3\end{bmatrix}},$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 7 &0\\ 4 & 0 & -3 \end{bmatrix},$

b). $A={\begin{bmatrix}2&1-2i&i\\1+2i&-2&3+2i\\-i&3-2i&5\end{bmatrix}}.$$A=\begin{bmatrix} 2 & 1-2i & i \\ 1+2i & -2 & 3+2i \\ -i & 3-2i & 5 \end{bmatrix}.$

Macierz ta jest hermitowska, ponieważ:

$A^{\dagger }=\left({\begin{bmatrix}2&1-2i&i\\1+2i&-2&3+2i\\-i&3-2i&5\end{bmatrix}}^{T}\right)^{\ast }={\begin{bmatrix}2&1-2i&i\\1+2i&-2&3+2i\\-i&3-2i&5\end{bmatrix}}=A$$A^\dagger = \left( \begin{bmatrix} 2 & 1-2i & i \\ 1+2i & -2 & 3+2i \\ -i & 3-2i & 5 \end{bmatrix}^T \right)^\ast = \begin{bmatrix} 2 & 1-2i & i \\ 1+2i & -2 & 3+2i \\ -i & 3-2i & 5 \end{bmatrix} = A$

Własności

• Macierz hermitowska na głównej przekątnej ma wyrazy rzeczywiste.
• Macierze hermitowskie mają rzeczywiste wartości własne. Istotnie, niech $\lambda$$\lambda$ będzie wartością własną macierzy A, tj. $Ax=\lambda x$$Ax=\lambda x$ dla pewnego niezerowego wektora x. Wówczas

$\lambda \langle x,x\rangle =\langle \lambda x,x\rangle =\langle Ax,x\rangle =\langle x,Ax\rangle =\langle x,\lambda x\rangle ={\overline {\lambda }}\langle x,x\rangle$$\lambda \langle x,x \rangle= \langle \lambda x,x \rangle = \langle Ax,x \rangle = \langle x,Ax\rangle = \langle x, \lambda x \rangle = {\overline \lambda} \langle x, x \rangle$,

co dowodzi, że $\lambda$$\lambda$ jest liczbą rzeczywistą ponieważ $\lambda ={\overline {\lambda }}$$\lambda=\overline{\lambda}$.

• Wektory własne niezdegenerowanej macierzy hermitowskiej są ortogonalne. Niech $\lambda _{1}$$\lambda_1$ i $\lambda _{2}$$\lambda_2$ będą różnymi wartościami własnymi macierzy A dla pewnych wektorów, kolejno $x_{1}$$x_{1}$ i $x_{2}$$x_{2}$, tj. $Ax_{1}=\lambda _{1}x_{1}$$Ax_1=\lambda_1 x_1$ oraz $Ax_{2}=\lambda _{2}x_{2}$$Ax_2=\lambda_2 x_2$. Wówczas:

$\lambda _{2}\langle x_{1},x_{2}\rangle =\langle x_{1},\lambda _{2}x_{2}\rangle =\langle x_{1},Ax_{2}\rangle =\langle A^{\dagger }x_{1},x_{2}\rangle =\langle \lambda _{1}^{*}x_{1},x_{2}\rangle =\lambda _{1}^{*}\langle x_{1},x_{2}\rangle$$\lambda_2 \langle x_1,x_2 \rangle= \langle x_1,\lambda_2 x_2 \rangle = \langle x_1,Ax_2 \rangle = \langle A^{\dagger}x_1,x_2 \rangle = \langle \lambda_1^*x_1,x_2 \rangle = \lambda_1^* \langle x_1,x_2 \rangle$

zgodnie z poprzednią własnością, wartości własne są rzeczywiste, a więc $\lambda _{1}^{*}=\lambda _{1}$$\lambda_1^*=\lambda_1$, stąd:

$\lambda _{2}\langle x_{1},x_{2}\rangle =\lambda _{1}\langle x_{1},x_{2}\rangle \Rightarrow (\lambda _{2}-\lambda _{1})\langle x_{1},x_{2}\rangle =0$$\lambda_2 \langle x_1,x_2 \rangle = \lambda_1 \langle x_1,x_2 \rangle \Rightarrow (\lambda_2-\lambda_1) \langle x_1,x_2 \rangle = 0$

ponieważ $\lambda _{2}\neq \lambda _{1}$$\lambda_2 \neq \lambda_1$ (macierz niezdegenerowana), $\langle x_{1},x_{2}\rangle =0$$\langle x_1,x_2 \rangle=0$, a więc wektory $x_{1}$$x_{1}$ i $x_{2}$$x_{2}$ są ortogonalne

• Wyznacznik macierzy hermitowskiej jest rzeczywisty.
• Macierz hermitowska o wyrazach rzeczywistych jest macierzą symetryczną

Formy hermitowskie

Formę g na zespolonej przestrzeni liniowej V nazywa się hermitowską jeżeli

1. $g(a_{1}\xi _{1}+a_{2}\xi _{2},\vartheta )=a_{1}g(\xi _{1},\vartheta )+a_{2}g(\xi _{2},\vartheta )\;\;\;(a_{1},a_{2}\in \mathbb {C} ,\xi _{1},\xi _{2},\vartheta \in V)$$g(a_1\xi_1+a_2\xi_2, \vartheta)=a_1 g(\xi_1, \vartheta)+ a_2 g(\xi_2, \vartheta)\;\;\;(a_1, a_2\in \mathbb{C}, \xi_1, \xi_2, \vartheta\in V)$
2. $g(\xi ,\vartheta )={\overline {g(\vartheta ,\xi )}}\;\;\;(\xi ,\vartheta \in V)$$g(\xi, \vartheta)=\overline{g(\vartheta, \xi)}\;\;\;(\xi, \vartheta\in V)$.

Formy hermitowskie są we wzajemnej jednoznaczności z macierzami hermitowskimi: macierz formy hermitowskiej jest hermitowska. Z drugiej strony, jeżeli A jest n-wymiarową macierzą hermitowską, to wzór

$g(\xi ,\vartheta )=\xi A\vartheta ^{T}\;\;\;(\xi ,\vartheta \in \mathbb {C} ^{n})$$g(\xi, \vartheta)=\xi A \vartheta^T\;\;\;(\xi, \vartheta \in \mathbb{C}^n)$

definiuje formę hermitowską w przestrzeni $\mathbb {C} ^{n}$${\mathbb {C}}^{n}$ (symbol $\vartheta ^{T}$$\vartheta^T$ oznacza postać kolumnową wektora poziomego $\vartheta$$\vartheta$).

Bibliografia

• Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda: Elementy algebry liniowej cz. I. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002. ISBN 83-204-2566-2.
• Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Algebra liniowa. PWN, 1975, s. 125-127.