Sterowanie optymalne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria sterowania.

Klasy układów
Układy statyczne - Układy dynamiczne
Układy liniowe - Układy nieliniowe
Układy stacjonarne - Układy niestacjonarne
Układy deterministyczne - Układy stochastyczne
Układy o parametrach skupionych - Układy o parametrach rozłożonych
Układy ciągłe - Układy dyskretne


Wybrane typy regulacji
Regulacja stałowartościowa
Regulacja nadążna
Regulacja optymalna
Regulacja adaptacyjna


Metody klasyczne
Opis typu wejście-wyjście
Stabilność
Transmitancja
Charakterystyki czasowe
Regulacja PID
Charakterystyki częstotliwościowe
Linie pierwiastkowe
Korekcja fazy


Nowoczesna teoria sterowania
Równania stanu - Stan układu
Sterowalność - Przesuwanie biegunów
Regulator liniowo-kwadratowy
Obserwowalność - Obserwator stanu
Filtr Kalmana
Regulator LQG
Sterowanie predykcyjne
Krzepkość - H-nieskończoność


Inne zagadnienia
identyfikacja systemów


Dziedziny powiązane
Teoria układów dynamicznych
Przetwarzanie sygnałów
Sztuczna inteligencja
Teoria decyzji
Metody numeryczne


Perspektywa historyczna
Historia automatyki
Teoretycy sterowania

Teoria sterowania optymalnego – jedna z gałęzi teorii sterowania, stanowi rozwinięcie rachunku wariacyjnego.

Wstęp[edytuj | edytuj kod]

Teoria sterowania optymalnego to zarazem jedna z gałęzi optymalizacji matematycznej, która wraz z rachunkiem wariacyjnym i programowaniem dynamicznym zasadniczo zajmuje się optymalizacją w kontekście dynamicznym (to znaczy dotyczy podejmowania decyzji w odniesieniu do pewnego przedziału czasu). Porównanie optymalizacji statycznej z optymalizacją dynamiczną zob. optymalizacja (matematyka).

Sterowanie optymalne to szczególna metoda sterowania, w której sygnał sterujący optymalizuje pewne kryterium kosztu. Na przykład w przypadku satelity, steruje się ciągami silników, które sprowadzają go na pożądaną trajektorię, tak by zużyć możliwie najmniej paliwa.

Idea sterowania optymalnego[edytuj | edytuj kod]

W sterowaniu optymalnym poszukuje się takiego sterowania dla danego układu, przy którym spełnione zostaną pewne kryteria optymalności. Problem sterowania ujmuje funkcjonał kosztów, który jest funkcją stanu i zmiennych związanych ze sterowaniem. Przedstawia się układ równań różniczkowych opisujących przebiegi zmiennych związanych ze sterowaniem. Zmienne te minimalizują funkcjonał kosztów. Sterowanie optymalne można wyprowadzić, korzystając z

Przykładem może być zadanie minimalizacji czasu i odległości pokonywanej przez pojazd poruszający się pomiędzy dwoma punktami, gdy występują przy tym dodatkowe ograniczenia np. ilość energii jaka ma być zużyta jest ograniczona lub też dopuszczalna prędkość pojazdu nie może być przekroczona.

W abstrakcyjnym, matematycznym ujęciu takiego problemu poszukuje się minimum funkcjonału kosztów o czasie ciągłym

z ograniczeniami dynamiki pierwszego rzędu

algebraicznymi ograniczeniami na przebieg

i warunkami granicznymi

gdzie jest stanem, jest sterowaniem, to zmienna niezależna (ogólnie rzecz biorąc – czas), to chwila początkowa, a jest chwilą końcową. Wyrażenia i nazywane są odpowiednio kosztem punktu końcowego i lagranżjanem (koszt punktu końcowego należy interpretować jako pożądany stan końcowy a Lagrangian jako funkcję kosztu). Warto przy tym zauważyć, że ograniczenia na przebieg są z reguły ograniczeniami wyrażonymi przez nierówności i przez to mogą nie być aktywne (to znaczy są równe zeru) w rozwiązaniu optymalnym. Rozwiązanie powyższego problemu sterowania optymalnego może mieć wiele rozwiązań (to znaczy rozwiązanie nie jest unikalne). Często jest tak, że każde rozwiązanie problemu sterowania optymalnego stanowi minimum lokalne.

Metody numeryczne dla sterowania optymalnego[edytuj | edytuj kod]

Problemy sterowania optymalnego zwykle mają charakter nieliniowy i dlatego, zwykle nie posiadają rozwiązań analitycznych (tak jest na przykład w przypadku sterowania liniowo-kwadratowego). Do ich rozwiązania potrzebne są metody numeryczne.

We wczesnych latach rozwoju teorii sterowania optymalnego (mniej więcej od lat 50. do 80. XX wieku) stosowane były zwykle metody niebezpośrednie. W metodach tych wykorzystuje się rachunek wariacyjny w celu uzyskania warunków optymalności pierwszego rzędu. Warunki te prowadzą do problemu jednopunktowej (lub w złożonych przypadkach wielopunktowej) wartości granicznej. Taki problem wartości granicznej ma szczególną postać, jako że powstaje on na drodze różniczkowania hamiltonianu. W efekcie uzyskuje się układ dynamiczny opisany równaniami:

gdzie:

jest tzw. hamiltonianem rozszerzonym.

Od lat 80. XX wieku znaczenia nabrały metody bezpośrednie: W metodach bezpośrednich, stan układu i sterowania są aproksymowane z użyciem odpowiedniej funkcji, na przykład aproksymowane wielomianami lub parametryzowane stałymi częściowymi (ang. piecewise constant parameterization, zob. też interpolacja). Jednocześnie funkcjonał kosztów jest aproksymowany przez funkcję kosztów. Wówczas współczynniki aproksymacji funkcji są traktowane jako zmienne optymalizacji a problem staje się problemem optymalizacji nieliniowej, i przybiera następującą postać:

zminimalizować

przy ograniczeniach algebraicznych:

Sterowanie optymalne układami dyskretnymi[edytuj | edytuj kod]

Obecnie sterowanie optymalne implementowane jest najczęściej cyfrowo dlatego współczesna teoria sterowania optymalnego dotyczy głównie układów dyskretnych. Teoria zgodnych aproksymacji (ang. consistent approximations) określa warunki, w których rozwiązania problemów sterowania optymalnego z ciągami o narastającej dokładności dyskretyzacji są zbieżne do rozwiązania problemów czasu ciągłego. Nie wszystkie metody dyskretyzacji odznaczają się takimi własnościami.

Metody projektowania sterowania optymalnego[edytuj | edytuj kod]

Dwie metody projektowania sterowania optymalnego znalazły szczególnie szerokie zastosowanie w przemyśle po tym jak pokazane zostało, że gwarantują stabilność pracy układów zamkniętych:

  • sterowanie liniowo-kwadratowe-Gaussa (LQG) – Regulatory LQG znalazły natychmiastowe zastosowanie w lotnictwie i kosmonautyce, mniejszą popularność uzyskały przy sterowaniu procesów przemysłowych gdzie środowisko inżynierskie traktowało je jako mało praktyczne lub nie znało ich dobrze.
  • sterowanie predykcyjne (MPC) – Sterowanie predykcyjne w jawny sposób może uwzględnić ograniczenia na sygnały w układzie sterowania co stanowi ważną własność w wielu procesach przemysłowych. Jednakże struktura „sterowania optymalnego” w sterowaniu predykcyjnym stanowi jedynie środek do tego by uzyskać sterowanie optymalne, faktycznie nie zachodzi tu optymalizacja prawdziwego kryterium sterowania dla układu zamkniętego.

Sterowanie optymalne stosuje się też w sterowaniu odpornym z normą H-nieskończoność.

Sterowanie liniowo-kwadratowe[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Regulator liniowo-kwadratowy.

Sterowanie liniowo-kwadratowe (sterowanie LQ) stanowi szczególny przypadek ogólnego problemu sterowania optymalnego nieliniowego. Dla układu liniowego zawsze istnieje optymalny regulator z kwadratowym wskaźnikiem jakości jeśli tylko układ ten jest sterowalny.

Sterowanie optymalne a inne zastosowania optymalizacji[edytuj | edytuj kod]

Sterowanie optymalne (projektowanie regulatora optymalnego) to jedno z kilku zastosowań optymalizacji w teorii sterowania. Ponadto optymalizację stosuje się także przy:

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Historia automatyki.

Johann Bernoulli jako pierwszy w 1696 roku wspomina o zasadzie optymalności w związku z problemem brachistochrony. Problem ten został rozwiązany przez braci Bernoullich i Isaaca Newtona – stało się tym samym jasne, że poszukiwanie optymalności stanowi fundamentalną zasadę ruchu w systemach naturalnych. Badano różne zasady optymalności, w tym zasadę minimum czasu w optyce Pierre’a de Fermata, prace Leonharda Eulera z 1744 roku i wynik prac Williama Rowana Hamiltona, zgodnie z którym system porusza się w taki sposób by zminimalizować całkę po czasie różnic pomiędzy energią kinetyczną i potencjalną.

Wszystkie powyższe zasady to zasady minimum. Co ciekawe, na początku XX wieku Albert Einstein wykazał, w odniesieniu do czterowymiarowego systemu współrzędnych, że ruch systemów zachodzi w taki sposób by zminimalizować czas.

Jako że układy występujące w naturze przejawiają optymalność w swoim ruchu całkiem sensowna staje się idea by zaprojektować system (będący dziełem człowieka), który zachowywał by się w sposób optymalny. Zasadnicza zaleta takiej idei leży w tym, że projekt takiego systemu może być opracowany w dziedzinie czasu. W kontekście nowoczesnej teorii sterowania, zwykło się minimalizować czas stanu przejściowego; kwadratową, uogólnioną funkcję energii albo indeks wykonania (ewentualnie z jakimiś ograniczeniami nałożonymi na dozwolone sygnały układu sterowania).

Od lat 40. XX wieku, pomiędzy rokiem 1948 i 1952, Richard Ernest Bellman rozwijał teorię programowania dynamicznego. Pracując na wydziale matematyki korporacji RAND, badał problem określania alokacji pocisków do celów tak aby spowodować możliwie największe szkody. Praca ta doprowadziła go do sformułowania zasady optymalności i programowania dynamicznego. Dobór nazwy, według relacji opublikowanej w 1984 roku, podyktowany był względami politycznymi. Badania były finansowo wspierane przez Wojska lotnicze, ale ówczesny sekretarz obrony miał awersję do badań z obszaru matematyki. Dynamiczny to słowo z pozytywnymi skojarzeniami, a programowanie wydawało się bardziej do zaakceptowania niż planowanie. W 1957 roku Richard Bellman zastosował programowanie dynamiczne do sterowania optymalnego układami dyskretnymi, co ukazało jednocześnie, naturalny zwrot w podejściu do rozwiązywania problemów sterowania, który ma charakter historycznie wsteczny. Opracowana przez Bellmana procedura sprowadzała się do ogólnie nieliniowych schematów z zamkniętą pętlą sprzężenia zwrotnego.

W 1958 roku Lew Siemjonowicz Pontriagin opracował swoją zasadę maksimum, która rozwiązuje problem sterowania optymalnego w oparciu o rachunek wariacyjny rozwinięty przez Leonharda Eulera. Rozwiązał problem minimum czasu, wyprowadzając prawo sterowania przekaźnikowego on-off jako sterowanie optymalne (Pontryagin, Boltyansky, Gamkrelidze i Mishchenko 1962). W latach 50. XX wieku w Stanach Zjednoczonych (na Uniwersytecie w Chicago i innych ośrodkach) rachunek wariacyjny stosowano do rozwiązywania ogólnych problemów sterowania optymalnego. Pontriagin wprowadził także koncepcję zasady bang-bang (ang. bang–bang control), która opisuje sytuacje, kiedy powinno się sterować systemem, podając sterowanie maksymalne lub w ogóle żadne.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Arthur E. Bryson Jr., Optimal Control – 1950 to 1985, June 1996, „IEEE Control Systems Magazine”.