Półgrupa transformacji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Półgrupa transformacjipółgrupa wszystkich funkcji (transformacji) pewnego zbioru w siebie z działaniem składania. Nazywana również pełną półgrupą transformacji dla odróżnienia od jej podpółgrup. Jest podpółgrupą półgrupy relacji binarnych na zbiorze, a także półgrupy transformacji częściowych zbioru w siebie. Półgrupa transformacji zbioru zawiera grupę permutacji tego zbioru jako pogrupę.

Oznaczenia[edytuj | edytuj kod]

A. H. Clifford i G. B. Preston oznaczają półgrupę wszystkich transformacji zbioru X symbolem \mathcal{T}_X[1] i będzie on stosowany również poniżej. J. M. Howie używa symbolu \mathcal{T}(X).[2]

W poniższym stosowana będzie standardowa w teorii półgrup konwencja pisania argumentów funkcji na lewo od symbolu oznaczającego funkcję. Tak więc zamiast \phi(x), pisać będziemy x\phi.

Relacje Greena i regularność[edytuj | edytuj kod]

Relacje Greena na \mathcal{T}_X dają się scharakteryzować za pomocą następującego twierdzenia[3]

Charakteryzacja relacji Greena[edytuj | edytuj kod]

Niech \alpha,\,\beta\in\mathcal{T}_X. Niech, dla każdego \phi\in\mathcal{T}_X,\,\, \pi_{\phi} oznacza relację następującą relację równoważności (jądro \phi):

x\,\pi_{\phi}\,y wtedy i tylko wtedy gdy x\phi=y\phi.

Wtedy

\alpha\,\mathcal{L}\,\beta wtedy i tylko wtedy gdy X\alpha=X\beta (czyli \alpha i \beta mają ten sam obraz);

\alpha\,\mathcal{R}\,\beta wtedy i tylko wtedy gdy \pi_{\alpha}= \phi{\beta}; (czyli \alpha i \beta mają to samo jądro);

\alpha\,\mathcal{D}\,\beta wtedy i tylko wtedy gdy |X\alpha|=|X\beta| (czyli obrazy \alpha i \beta mają równą moc);

\mathcal{D}=\mathcal{J}.

Klasy relacji \mathcal{H} są oczywiście przecięciami klas relacji \mathcal{L} i \mathcal{R}.

Regularność[edytuj | edytuj kod]

Łatwo jest w \mathcal{T}_X zidentyfikować idempotenty; są to po prostu rzuty, czyli przekształcenia działające identycznościowo na swoim obrazie. Stąd i z powyższego twierdzenia wynika regularność \mathcal{T}_X.

Przypisy

  1. A. H. Clifford, G. B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, 1961 American Mathematical Society, str. 2
  2. J. M. Howie, An Introduction to Semigroup Theory, 1976, Academic Press, str. 17
  3. Dowody twierdzeń w tej sekcji można znaleźć w Clifford, Preston, str. 51-58.