Półgrupa transformacji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Półgrupa transformacjipółgrupa wszystkich funkcji (transformacji) pewnego zbioru w siebie z działaniem składania. Nazywana również pełną półgrupą transformacji dla odróżnienia od jej podpółgrup. Jest podpółgrupą półgrupy relacji binarnych na zbiorze, a także półgrupy transformacji częściowych zbioru w siebie. Półgrupa transformacji zbioru zawiera grupę permutacji tego zbioru jako pogrupę.

Oznaczenia[edytuj | edytuj kod]

A.H. Clifford i G.B. Preston oznaczają półgrupę wszystkich transformacji zbioru symbolem [1] i będzie on stosowany również poniżej. J.M. Howie używa symbolu [2].

W poniższym stosowana będzie standardowa w teorii półgrup konwencja pisania argumentów funkcji na lewo od symbolu oznaczającego funkcję. Tak więc zamiast pisać będziemy

Relacje Greena i regularność[edytuj | edytuj kod]

Relacje Greena na dają się scharakteryzować za pomocą poniższego twierdzenia[3].

Charakteryzacja relacji Greena[edytuj | edytuj kod]

Niech Niech, dla każdego oznacza relację następującą relację równoważności (jądro ):

wtedy i tylko wtedy, gdy

Wtedy

wtedy i tylko wtedy, gdy (czyli i mają ten sam obraz);
wtedy i tylko wtedy, gdy (czyli i mają to samo jądro);
wtedy i tylko wtedy, gdy (czyli obrazy i mają równą moc);

Klasy relacji są oczywiście przecięciami klas relacji i

Regularność[edytuj | edytuj kod]

Łatwo jest w zidentyfikować idempotenty; są to po prostu rzuty, czyli przekształcenia działające identycznościowo na swoim obrazie. Stąd i z powyższego twierdzenia wynika regularność

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. A.H. Clifford, G.B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, 1961 American Mathematical Society, s. 2.
  2. J.M. Howie, An Introduction to Semigroup Theory, 1976, Academic Press, s. 17.
  3. Dowody twierdzeń w tej sekcji można znaleźć w Clifford, Preston, s. 51–58.