Półgrupa transformacji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Półgrupa transformacjipółgrupa wszystkich funkcji (transformacji) pewnego zbioru w siebie z działaniem składania. Nazywana również pełną półgrupą transformacji dla odróżnienia od jej podpółgrup. Jest podpółgrupą półgrupy relacji binarnych na zbiorze, a także półgrupy transformacji częściowych zbioru w siebie. Półgrupa transformacji zbioru zawiera grupę permutacji tego zbioru jako pogrupę.

Oznaczenia[edytuj]

A. H. Clifford i G. B. Preston oznaczają półgrupę wszystkich transformacji zbioru symbolem [1] i będzie on stosowany również poniżej. J. M. Howie używa symbolu [2]

W poniższym stosowana będzie standardowa w teorii półgrup konwencja pisania argumentów funkcji na lewo od symbolu oznaczającego funkcję. Tak więc zamiast pisać będziemy

Relacje Greena i regularność[edytuj]

Relacje Greena na dają się scharakteryzować za pomocą następującego twierdzenia[3]

Charakteryzacja relacji Greena[edytuj]

Niech Niech, dla każdego oznacza relację następującą relację równoważności (jądro ):

wtedy i tylko wtedy, gdy

Wtedy

wtedy i tylko wtedy, gdy (czyli i mają ten sam obraz);

wtedy i tylko wtedy, gdy (czyli i mają to samo jądro);

wtedy i tylko wtedy, gdy (czyli obrazy i mają równą moc);

Klasy relacji są oczywiście przecięciami klas relacji i

Regularność[edytuj]

Łatwo jest w zidentyfikować idempotenty; są to po prostu rzuty, czyli przekształcenia działające identycznościowo na swoim obrazie. Stąd i z powyższego twierdzenia wynika regularność .

Przypisy

  1. A. H. Clifford, G. B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, 1961 American Mathematical Society, str. 2
  2. J. M. Howie, An Introduction to Semigroup Theory, 1976, Academic Press, str. 17
  3. Dowody twierdzeń w tej sekcji można znaleźć w Clifford, Preston, str. 51-58.