Równanie fali elektromagnetycznej

Równanie fali elektromagnetycznej – równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu opisujące rozchodzenie się fali elektromagnetycznej w ośrodku lub próżni. Równanie wyrażone z użyciem pola elektrycznego E lub pola magnetycznego B ma postać jednorodną:

$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c_{m}}^{2}}}\;{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} =0,$

$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c_{m}}^{2}}}\;{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} =0,$

gdzie c_m to prędkość światła w ośrodku materialnym. Dla próżni c_m = c = 299 792 458 m/s.

Równanie fali elektromagnetycznej wyprowadza się z równań Maxwella.

Prędkość propagacji

W próżni

Jeżeli fala rozchodzi się w próżni, to

$c_{m}=c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2{,}99792458\cdot 10^{8}{\frac {\text{m}}{\text{s}}}$

oznacza prędkość światła w próżni – stałą fizyczną, która definiuje metr, podstawową jednostkę długości w układzie SI. Przenikalność magnetyczna $\mu _{0}$ i przenikalność elektryczna próżni $\varepsilon _{0}$ to ważne stałe fizyczne odgrywające ważną rolę w teorii elektromagnetyzmu. Ich wartości (w jednostkach układu SI) podano w tabeli poniżej:

Stała	Nazwa	Wartość liczbowa	Jednostka (układ SI)	Rodzaj
$c$	prędkość światła w próżni	$299\ 792\ 458$	metrów na sekundę	zdefiniowana
$\varepsilon _{0}$	przenikalność elektryczna próżni	$8{,}854\ 187\ 817...\times 10^{-12}$	faradów na metr	wyprowadzona; ${\tfrac {1}{\mu _{0}{c_{0}}^{2}}}$
$\mu _{0}$	przenikalność magnetyczna próżni	$4\pi \times 10^{-7}$	henrów na metr	zdefiniowana
$\mathbb {Z} _{0}$	impedancja falowa próżni	$376{,}730\ 313\ 461...$	omy	wyprowadzona; $\mu _{0}c_{0}$

W ośrodku materialnym

Prędkość światła w liniowym, izotropowym niedyspersyjnym ośrodku materialnym wynosi

$c_{m}={\frac {c}{n}}={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}},$

gdzie

$n={\sqrt {\frac {\mu \varepsilon }{\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$

jest współczynnikiem załamania ośrodka, $\mu$ jest przenikalnością magnetyczna ośrodka, a $\varepsilon$ przenikalnością elektryczną ośrodka.

Pochodzenie równania fali elektromagnetycznej

Zasada zachowania ładunku

Zasada zachowania ładunku wymaga, aby tempo zmiany całkowitego ładunku zamkniętego w objętości V było równe sumie algebraicznej prądów płynących przez powierzchnię S otaczającą tę objętość:

$\oint \limits _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} =-{\frac {d}{dt}}\int \limits _{V}\rho \cdot dV,$

gdzie j to gęstość prądu (w amperach na metr kwadratowy) płynącego przez powierzchnie, a ρ – gęstość ładunku elektrycznego (w kulombach na metr sześcienny) w każdym punkcie objętości V.

Korzystając z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, wyrażenie to można przekształcić z postaci całkowej na postać różniczkową:

$\nabla \cdot \mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}.$

Prawo Ampère’a przed poprawką Maxwella

W swojej oryginalnej postaci prawo Ampera wiąże pole magnetyczne B z gęstością objętościową prądu j:

$\oint \limits _{C}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} =\iint \limits _{S}\mu \mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} ,$

gdzie S to otwarta powierzchnia rozpięta na krzywej C. Postać całkową można zamienić na postać różniczkową, korzystając z twierdzenia Stokesa:

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} .$

Niespójność prawa Ampera i zasady zachowania ładunku

Stosując dywergencje po obu stronach prawa Ampera, otrzymujemy:

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \cdot \mu _{0}\mathbf {j} .$

Dywergencja z rotacji dowolnego pola wektorowego (tym samym pola magnetycznego B) zawsze jest równa zero:

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=0.$

Łącząc te dwa równania, otrzymujemy

$\nabla \cdot \mu _{0}\mathbf {j} =0.$

Ponieważ $\mu _{0}$ to niezerowa stała, możemy stwierdzić

$\nabla \cdot \mathbf {j} =0.$

Co jest sprzeczne z zasada zachowania ładunku, która mówi, że

$\nabla \cdot \mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}.$

Dlatego, tak jak w przypadku prawa Kirchhoffa, prawo Ampera obowiązuje tylko wówczas, gdy gęstość ładunku jest stała, co wyklucza sytuację, która ma miejsce podczas ładowania i rozładowywania kondensatora.

Poprawka Maxwella do prawa Ampera

Prawo Gaussa w postaci całkowej można zapisać równaniem

$\oint \limits _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \limits _{V}\rho \cdot dV,$

gdzie S to zamknięta powierzchnia obejmująca objętość V. Postać całkową możemy zamienić na postać różniczkową, korzystając z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa:

$\nabla \cdot \varepsilon _{0}\mathbf {E} =\rho .$

Różniczkując obie strony po czasie i zmieniając kolejność różniczkowania po lewej stronie równania, otrzymujemy:

$\nabla \cdot \varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}.$

To prowadzi do wniosku, że oprócz gęstości prądu j źródłem pola magnetycznego jest też tzw. prąd przesunięcia:

${\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.$

Tak więc prawo Ampera w postaci uogólnionej wyraża równanie

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.$

Hipoteza Maxwella o świetle jako fali elektromagnetycznej

Pocztówka od Maxwell do Petera Taita

W swojej pracy z roku 1864 zatytułowanej Dynamiczna teoria pola elektromagnetycznego Maxwell wykorzystał swoją poprawkę do prawa Ampera, którą opublikował w trzeciej części pracy z 1861 roku pt. O fizycznych liniach sił. W części czwartej zatytułowanej Elektromagnetyczna teoria światła Maxwell powiązał prąd przesunięcia z innymi równaniami elektromagnetyzmu i otrzymał równanie fali o prędkości równej prędkości światła. Komentując to:

Zgodność wyników pozwala stwierdzić, że światło i magnetyzm są manifestacją tegoż samego zjawiska, tak więc światło zgodnie z prawami elektromagnetyzmu jest elektromagnetycznym zaburzeniem rozchodzącym się w polu.

Maxwellowskie wyprowadzenie równania fali elektromagnetycznej we współczesnej fizyce zastąpione zostało bardziej przystępną metodą, korzystającą z poprawionego prawa Ampera i prawa Faradaya.

Aby otrzymać równanie fali elektromagnetycznej współczesną metodą, korzystamy z postaci równań Maxwella opracowanych przez Heaviside’a. Dla próżni równania te przybierają postać:

$\nabla \cdot \mathbf {E} =0,$

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},$

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0,$

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.$

Działając operatorem rotacji na obie strony równań zawierających operator rotacji, otrzymujemy:

$\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {B} =-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}},$

$\nabla \times \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {E} =-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}.$

Korzystając z tożsamości wektorowej

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} ,$

gdzie $\mathbf {V}$ to dowolna funkcja wektorowa przestrzeni, otrzymujemy równania falowe:

${\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-{c}^{2}\cdot \nabla ^{2}\mathbf {E} =0,$

${\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-{c}^{2}\cdot \nabla ^{2}\mathbf {B} =0,$

gdzie

$c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2{,}99792458\cdot 10^{8}{\frac {\text{m}}{\text{s}}}$

to prędkość światła w próżni.