Prawo Gaussa (elektryczność)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Prawo Gaussa dla elektryczności – prawo wiążące pole elektryczne z jego źródłem, czyli ładunkiem elektrycznym. Natężenie pola elektrycznego jest polem wektorowym i spełnia twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego:

Strumień natężenia pola elektrycznego, przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą w jednorodnym środowisku o bezwzględnej przenikalności elektrycznej ε, jest równy stosunkowi całkowitego ładunku znajdującego się wewnątrz tej powierzchni do wartości tejże przenikalności.

Prawo Gaussa w próżni[edytuj | edytuj kod]

W ujęciu całkowym[edytuj | edytuj kod]

Strumień natężenia pola elektrycznego przenikający przez zamkniętą powierzchnię ograniczającą obszar o objętości jest proporcjonalny do ładunku elektrycznego zawartego w tym obszarze (objętości)[1]:

przy czym:

W ujęciu różniczkowym[edytuj | edytuj kod]

Dywergencja natężenia pola elektrycznego równa jest ilorazowi gęstości ładunku i przenikalności elektrycznej próżni:

przy czym:

– dywergencja natężenia pola elektrycznego,
– gęstość ładunku.

Prawo Gaussa w materii[edytuj | edytuj kod]

W materii pole elektryczne wywołuje przesunięcie ładunków elektrycznych, co skutkuje powstaniem ładunków zwanych ładunkami indukowanymi. Prawo Gaussa obowiązuje także w tej sytuacji, ale trzeba uwzględnić ładunki indukowane w ośrodku. Jest to podejście bardzo niewygodne w związku z czym uwzględnia się ten wkład za pomocą przenikalności elektrycznej materiału ośrodka:

przy czym:

– ładunki swobodne objęte powierzchnią S,
– ładunki indukowane w ośrodku objęte powierzchnią S,
względna przenikalność elektryczna ośrodka,
przenikalność elektryczna ośrodka (bezwzględna).

W ujęciu różniczkowym prawo Gaussa można teraz zapisać jako

w którym:

– gęstość ładunków swobodnych.

Wkład ośrodka można też uwzględnić za pomocą indukcji elektrycznej związanej z natężeniem pola elektrycznego przez

Dla której prawo Gaussa brzmi: Strumień indukcji elektrycznej przenikający przez zamkniętą powierzchnię jest równy ładunkowi elektrycznemu zawartemu w objętości zamkniętej powierzchnią

lub w postaci różniczkowej[2]

w którym:

– dywergencja indukcji elektrycznej.

Konsekwencje prawa Gaussa[edytuj | edytuj kod]

Wzór: jest wyrazem faktu, że pole wektorowe jest polem źródłowym.

Dla ładunku punktowego pole ma symetrię sferyczną, dzięki czemu strumień pola w odległości można zapisać jako:

w którym jest powierzchnią kuli.

Z powyższego wynika:

Pole powierzchni kuli jest równe Stąd wynikają wzory na natężenie pola elektrycznego oraz siłę oddziaływania ładunku próbnego z ładunkiem punktowym:

Otrzymany wzór wyraża prawo Coulomba. Dodatkowym wnioskiem z powyższego równania jest to, że jeżeli w prawie Coulomba występuje wykładnik równy dokładnie 2 (co jest wyznaczane eksperymentalnie), to nasza przestrzeń ma dokładnie 3 wymiary. Jest to jedna z niewielu bezpośrednich metod badania „wymiarowości” naszej przestrzeni.

Prawo Gaussa zostało później ujęte w równaniach Maxwella.

Odpowiednik dla magnetyzmu[edytuj | edytuj kod]

Całkowity strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez powierzchnię zamkniętą równa się zeru. Fakt ten wynika stąd, iż pole magnetyczne jest bezźródłowe – nie istnieją ładunki magnetyczne, dywergencja pola jest wszędzie równa zero.

Odpowiednik dla grawitacji[edytuj | edytuj kod]

Prawo Gaussa dotyczy także pól grawitacyjnych:

przy czym:

natężenie pola grawitacyjnego,
stała grawitacji.

Strumień natężenia pola przez powierzchnię zamkniętą równy jest całkowitej masie zamkniętej przez tę powierzchnię pomnożonej przez

Uwaga: Ta postać prawa Gaussa jest prawdziwa jedynie w teorii grawitacji Newtona. W ogólnej teorii względności już nawet w najprostszym przypadku jednorodnego pola przyspieszeń w zadanym obszarze (wektory przyspieszenia są w tym obszarze równoległe) zachodzi bowiem:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]