Prawo Gaussa (elektryczność)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Prawo Gaussa dla elektryczności – prawo wiążące pole elektryczne z jego źródłem, czyli ładunkiem elektrycznym. Natężenie pola elektrycznego jest polem wektorowym i spełnia twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego:

Strumień natężenia pola elektrycznego, przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą w jednorodnym środowisku o bezwzględnej przenikalności elektrycznej ε, jest równy stosunkowi całkowitego ładunku znajdującego się wewnątrz tej powierzchni do wartości tejże przenikalności.

Prawo Gaussa w próżni[edytuj]

W ujęciu całkowym[edytuj]

Strumień natężenia pola elektrycznego , przenikający przez zamkniętą powierzchnię , ograniczającą obszar o objętości , jest proporcjonalny do ładunku elektrycznego zawartego w tym obszarze (objętości)[1]:

gdzie

W ujęciu różniczkowym[edytuj]

Dywergencja natężenia pola elektrycznego równa jest ilorazowi gęstości ładunku i przenikalności elektrycznej próżni:

gdzie:

  • – dywergencja natężenia pola elektrycznego,
  • – gęstość ładunku.

Prawo Gaussa w materii[edytuj]

W materii pole elektryczne wywołuje przesunięcie ładunków elektrycznych, co skutkuje powstaniem ładunków zwanych ładunkami indukowanymi. Prawo Gaussa obowiązuje także w tej sytuacji, ale trzeba uwzględnić ładunki indukowane w ośrodku. Jest to podejście bardzo niewygodne w związku z czym uwzględnia się ten wkład za pomocą przenikalności elektrycznej materiału ośrodka:

gdzie

  • – ładunki swobodne objęte powierzchnią S,
  • – ładunki indukowane w ośrodku objęte powierzchnią S,
  • względna przenikalność elektryczna ośrodka,
  • przenikalność elektryczna ośrodka (bezwzględna).

W ujęciu różniczkowym prawo Gaussa można teraz zapisać jako

gdzie

  • – gęstość ładunków swobodnych.

Wkład ośrodka można też uwzględnić za pomocą indukcji elektrycznej związanej z natężeniem pola elektrycznego przez

Dla której prawo Gaussa brzmi: Strumień indukcji elektrycznej przenikający przez zamkniętą powierzchnię jest równy ładunkowi elektrycznemu zawartemu w objętości zamkniętej powierzchnią :

lub w postaci różniczkowej[2]

gdzie:

  • – dywergencja indukcji elektrycznej.

Konsekwencje prawa Gaussa[edytuj]

Wzór: jest wyrazem faktu, że pole wektorowe jest polem źródłowym.

Dla ładunku punktowego pole ma symetrię sferyczną, dzięki czemu strumień pola w odległości można zapisać jako:

gdzie jest powierzchnią kuli. Z powyższego wynika:

Pole powierzchni kuli jest równe . Stąd wynikają wzory na natężenie pola elektrycznego oraz siłę oddziaływania ładunku próbnego z ładunkiem punktowym:

Otrzymany wzór wyraża prawo Coulomba. Dodatkowym wnioskiem z powyższego równania jest to, że jeżeli w prawie Coulomba występuje wykładnik równy dokładnie 2 (co jest wyznaczane eksperymentalnie), to nasza przestrzeń ma dokładnie 3 wymiary. Jest to jedna z niewielu bezpośrednich metod badania "wymiarowości" naszej przestrzeni.

Prawo Gaussa zostało później ujęte w równaniach Maxwella.

Odpowiednik dla magnetyzmu[edytuj]

Całkowity strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez powierzchnię zamkniętą równa się zeru. Fakt ten wynika stąd, iż pole magnetyczne jest bezźródłowe – nie istnieją ładunki magnetyczne, dywergencja pola jest wszędzie równa zero.

Odpowiednik dla grawitacji[edytuj]

Prawo Gaussa dotyczy także pól grawitacyjnych:

gdzie:

Strumień natężenia pola przez powierzchnię zamkniętą równy jest całkowitej masie zamkniętej przez tę powierzchnię pomnożonej przez .

Uwaga: Ta postać prawa Gaussa jest prawdziwa jedynie w teorii grawitacji Newtona. W ogólnej teorii względności już nawet w najprostszym przypadku jednorodnego pola przyspieszeń w zadanym obszarze (wektory przyspieszenia są w tym obszarze równoległe) zachodzi bowiem:

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. D. Halliday, R. Resnick: Fizyka T.2. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.
  2. Dielektryk w polu elektrycznym. [dostęp 2010-02-10].