Równania Maxwella

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Równania Maxwella – cztery podstawowe równania elektrodynamiki klasycznej zebrane i rozwinięte przez Jamesa Clerka Maxwella. Opisują one właściwości pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.

James Clerk Maxwell

Równań Maxwella nie należy mylić z termodynamicznymi relacjami Maxwella.

Z równań Maxwella można wyprowadzić między innymi równania falowe fali elektromagnetycznej oraz wyznaczyć prędkość takiej fali propagującej (rozchodzącej się) w próżni (prędkość światła).

Historia[edytuj | edytuj kod]

Najważniejsze fakty historyczne prowadzące do powstania równań Maxwella[1]:

  • André Marie Ampère w 1820 roku sformułował prawo określające wielkość pola magnetycznego wytwarzanego przez przewód z prądem elektrycznym.
  • Carl Friedrich Gauss współpracując w latach 1831-1833 z Wilhelmem Weberem sformułował prawa nazwane jego imieniem.
  • W 1832 Michael Faraday odkrył, że zmienne pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.
  • James Clerk Maxwell w roku 1861 zebrał prawa elektrodynamiki w cztery równania. Uogólnił prawo Ampere'a, zasugerował też, że znane zjawiska elektromagnetyczne i światło mają wspólną naturę. Początkowo rozważania Maxwella, bardzo skomplikowane i opisane hermetycznym formalizmem matematycznym, nie znalazły szerszego oddźwięku w świecie nauki.
  • Oliver Heaviside w 1885 roku uprościł matematyczny formalizm Maxwella wyrażając jego idee w języku rachunku wektorowego.
  • W 1875 Hendrik Antoon Lorentz wyeliminował obecną w dotychczasowych rozważaniach Maxwella koncepcję eteru i nadał równaniom Maxwella sens, jaki znamy dzisiaj.
  • Pierwszej świadomej emisji i odbioru fal elektromagnetycznych, w zakresie widmowym innym niż światło, dokonał Heinrich Hertz w roku 1886. Jego doświadczenia uznaje się za odkrycie fal elektromagnetycznych, potwierdzających koncepcje Maxwella.

Sformułowanie[edytuj | edytuj kod]

Postać całkowa[edytuj | edytuj kod]

Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya[edytuj | edytuj kod]

Prawo to wiąże zmienne pole magnetyczne z indukowanym przez nie polem elektrycznym:

\oint\limits_L \vec{E} \cdot \mbox{d}\vec{l} = - \frac{\mbox{d}\Phi_B}{\mbox{d}t},

rozpisując strumień pola magnetycznego:

\oint\limits_L \vec{E} \cdot \mbox{d}\vec{l} = - \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \int\limits_S \vec B \cdot \mbox{d}\vec{s},

gdzie

 \vec E - natężenie pola elektrycznego,
L - dowolny zamknięty kontur,
ΦB - strumień indukcji pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię S rozpiętą na konturze L,
 \vec B - indukcja pola magnetycznego.

Całka po dowolnej krzywej zamkniętej (cyrkulacja) z natężenia pola elektrycznego jest równa minus pochodnej po czasie (szybkości zmian) strumienia pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię rozpiętą na tej krzywej[2].

Uogólnione prawo Ampere'a[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobne artykuły: prawo Ampere'aprąd przesunięcia.

Prawo to wiąże indukcję pola magnetycznego z wywołującymi je prądem elektrycznym oraz zmiennym polem elektrycznym:

\oint\limits_L \vec{B} \cdot \mbox{d}\vec{l} = \mu I + \mu \varepsilon \frac{\mbox{d}\Phi_E}{\mbox{d}t},

rozpisując wyrażenie na strumień pola elektrycznego:

\oint\limits_L \vec{B} \cdot \mbox{d}\vec{l} = \mu I + \mu \varepsilon \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \int\limits_S \vec E \cdot \mbox{d}\vec{s},

gdzie

L - dowolny zamknięty kontur,
I - całkowity prąd elektryczny przepływający przez dowolną powierzchnię S rozpiętą na konturze L,
ΦE - strumień pola elektrycznego przez tę powierzchnię,
μ - przenikalność magnetyczna ośrodka,
ε - przenikalność elektryczna ośrodka.

Całka po dowolnej krzywej zamkniętej z indukcji pola magnetycznego jest równa sumie

  • μ razy całkowite natężenie prądu elektrycznego przepływającego przez dowolną powierzchnię rozpiętą na tej krzywej, oraz
  • μ • ε razy pochodnej po czasie (prędkości zmian) strumienia natężenia pole elektrycznego przez tą powierzchnię[3].

Prawo Gaussa dla elektryczności[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: prawo Gaussa (elektryczność).

Prawo Gaussa wiąże strumień pola elektrycznego z ładunkiem wytwarzającym to pole:

 \varepsilon \Phi_E = q ,

rozpisując wyrażenie na strumień pola elektrycznego

 \varepsilon \oint\limits_S \vec E \cdot \mbox{d}\vec{s} = q ,

gdzie

ΦE - strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą S,
q - całkowity ładunek zawarty wewnątrz tej powierzchni.

Strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą przemnożony przez przenikalność elektryczną ośrodka jest równy całkowitemu ładunkowi zawartemu wewnątrz tej powierzchni[4].

Prawo Gaussa dla magnetyzmu[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: prawo Gaussa (magnetyzm).

Prawo to stwierdza, że pole magnetyczne jest bezźródłowe – nie istnieją ładunki magnetyczne:

\Phi_B = 0,

rozpisując wyrażenie na strumień pola magnetycznego:

 \oint\limits_S \vec B \cdot \mbox{d}\vec{s} = 0 ,

gdzie

ΦB - strumień pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą S.

Całkowity strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez dowolną powierzchnię zamkniętą równa się zeru[5].

Postać różniczkowa[edytuj | edytuj kod]

Równania Maxwella w postaci całkowej wiążą pole elektryczne i magnetyczne na rozciągłych krzywych i powierzchniach. Przechodząc do granicy małych wymiarów można otrzymać je w postaci różniczkowej, wiążącej pole elektryczne i magnetyczne w każdym punkcie przestrzeni. Formalnie najprościej przechodzić pomiędzy postaciami różniczkowymi i całkowymi wykorzystując twierdzenia Stokesa oraz Gaussa-Ostrogradskiego.

Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya[edytuj | edytuj kod]

W obszarze, w którym istnieje zmienne pole magnetyczne powstaje pole elektryczne[6]:

\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}} {\partial {t}},

gdzie

\nabla \times – operator rotacji.

Uogólnione prawo Ampere'a[edytuj | edytuj kod]

Źródłem pola magnetycznego może być płynący prąd elektryczny oraz zmieniające się w czasie pole elektryczne[7]:

\nabla \times \vec{B} = \mu \vec{j} +\mu \varepsilon \frac{\partial \vec{E}} {\partial {t}},

gdzie

\vec j - gęstość prądu elektrycznego.

Prawo Gaussa dla elektryczności[edytuj | edytuj kod]

Wiąże pole elektryczne z gęstością ładunku wytwarzającego to pole[8]:

\varepsilon \nabla \cdot \vec{E} = \rho ,

gdzie

\nabla \cdot – operator dywergencji,
ρ - gęstość ładunku elektrycznego.

Prawo Gaussa dla magnetyzmu[edytuj | edytuj kod]

Nie ma "ładunków (monopoli) magnetycznych", które mogłyby być źródłem pola magnetycznego[9]:

\nabla \cdot \vec{B} = 0

Podsumowanie[edytuj | edytuj kod]

Postać różniczkowa Postać całkowa Sens fizyczny równania
1. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya
\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}} {\partial {t}} \oint\limits_L \vec{E} \cdot \mbox{d}\vec{l} = - \frac{\mbox{d}\Phi_B}{\mbox{d}t}
gdzie ΦB - strumień magnetyczny przez dowolny kontur rozpięty na krzywej L
Zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.
2. Prawo Ampère'a rozszerzone przez Maxwella
\nabla \times \vec{B} = \mu \vec{j} +\mu \varepsilon \frac{\partial \vec{E}} {\partial {t}} \oint\limits_L \vec{B} \cdot \mbox{d}\vec{l} = \mu I + \mu \varepsilon \frac{\mbox{d}\Phi_E}{\mbox{d}t}
gdzie ΦE - strumień elektryczny przez dowolny kontur rozpięty na krzywej L, a I - całkowity prąd elektryczny przecinający ten kontur
Przepływający prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają pole magnetyczne.
3. Prawo Gaussa dla elektryczności
\varepsilon  \nabla \cdot \vec{E} = \rho \varepsilon \oint\limits_S \vec{E} \cdot \mbox{d}\vec{s} = q
gdzie q - całkowity ładunek zawarty wewnątrz powierzchni S
Ładunki są źródłem pola elektrycznego.
4. Prawo Gaussa dla magnetyzmu
\nabla \cdot \vec{B} = 0 \oint\limits_S \vec{B} \cdot \mbox{d}\vec{s} = 0 Pole magnetyczne jest bezźródłowe.

Postać z wektorami H i D[edytuj | edytuj kod]

Niekiedy do opisu pola elektrycznego i magnetycznego wprowadza się[a] wektory indukcji elektrycznej (przesunięcia dielektrycznego) \vec D oraz natężenia pola magnetycznego \vec H określone przez:

\vec D = \varepsilon \vec E
\vec B = \mu \vec H

Równania Maxwella formułuje się wtedy wydzielając z ładunku tak zwany ładunek swobodny, nie uwzględniający ładunków będących rezultatem polaryzacji dielektryka, a z prądów odpowiednio "prąd ładunków swobodnych" nie uwzględniający prądu polaryzacji. Równania Maxwella przyjmują postać[10]:

Postać różniczkowa Postać całkowa Sens fizyczny
1. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya
\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}} {\partial {t}} \oint\limits_L \vec{E} \cdot \mbox{d}\vec{l} = - \frac{\mbox{d}\Phi_B}{\mbox{d}t} Zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.
2. Prawo Ampère'a rozszerzone przez Maxwella
\nabla \times \vec{H} = \vec{j}_{sw} +\frac{\partial \vec{D}} {\partial {t}}
gdzie \vec{j}_{sw} - gęstość prądu ładunków swobodnych.
\oint\limits_L \vec{H} \cdot \mbox{d}\vec{l} = I_{sw} + \frac{\mbox{d}\Phi_D}{\mbox{d}t}
gdzie ΦD - strumień indukcji elektrycznej przez dowolną powierzchnię rozpiętą na konturze L, Isw - prąd ładunków swobodnych przepływających przez tę powierzchnię.
Przepływający prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają pole magnetyczne.
3. Prawo Gaussa dla elektryczności
\nabla \cdot \vec{D} = \rho_{sw}
gdzie ρsw - gęstość ładunku swobodnego.
\Phi_D = \oint\limits_S \vec{D} \cdot \mbox{d}\vec{s} = q_{sw}
gdzie ΦD - strumień indukcji elektrycznej przez dowolną powierzchnię zamkniętą; qsw - ładunek swobodny zawarty wewnątrz tej powierzchni.
Ładunki są źródłem pola elektrycznego.
4. Prawo Gaussa dla magnetyzmu
\nabla \cdot \vec{B} = 0 \Phi_B = \oint\limits_S \vec{B} \cdot \mbox{d}\vec{s} = 0 Pole magnetyczne jest bezźródłowe.

W układzie CGS[edytuj | edytuj kod]

Układ jednostek CGS jednoznacznie definiuje jednostki mechaniczne, natomiast istnieje kilka konwencji uzupełniania go o jednostki elektrodynamiczne. W każdym z takich przypadków równania Maxwella będzie zapisywało się nieco inaczej (najpopularniejszy jest układ CGS Gaussa)[11].

1. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya 2. Prawo Ampère'a rozszerzone przez Maxwella 3. Prawo Gaussa dla elektryczności 4. Prawo Gaussa dla magnetyzmu
W układzie CGS w wersji Gaussa[12].
 \nabla \times \vec{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{B}} {\partial t}  \nabla \times \vec{B} = \frac{1}{c} \frac{ \partial \vec{E}} {\partial t} + \frac{4\pi}{c} \vec{J}  \nabla \cdot \vec{E} = 4\pi\rho  \nabla \cdot \vec{B} = 0
W elektrostatycznym układzie CGS (es-CGS, ESU, stat-CGS).
 \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}} {\partial t}  \nabla \times \vec{B} = \frac{1}{c^2} \frac{ \partial \vec{E}} {\partial t} + \frac{4\pi}{c^2} \vec{J}  \nabla \cdot \vec{E} = 4\pi\rho  \nabla \cdot \vec{B} = 0
W elektromagnetycznym układzie CGS (em-CGS, EMU, ab-CGS).
 \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}} {\partial t}  \nabla \times \vec{B} = \frac{1}{c^2} \frac{ \partial \vec{E}} {\partial t} + {4\pi} \vec{J}  \nabla \cdot \vec{E} = 4\pi c^2 \rho  \nabla \cdot \vec{B} = 0
W układzie CGS w wersji Lorenza-Heaviside'a.
 \nabla \times \vec{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{B}} {\partial t}  \nabla \times \vec{B} = \frac{1}{c} \frac{ \partial \vec{E}} {\partial t} + \frac{1}{c} \vec{J}  \nabla \cdot \vec{E} = \rho  \nabla \cdot \vec{B} = 0

Szczególne przypadki[edytuj | edytuj kod]

W ośrodkach liniowych[edytuj | edytuj kod]

W ogólnym przypadku przenikalność elektryczna i magnetyczna jest tensorem, czasami zależnymi od natężenia pola elektrycznego i indukcji magnetycznej. Ale w większości przypadków materiały są izotropowe wówczas ε i μ są skalarami (liczbami), wówczas równania Maxwella przyjmują uproszczoną postać.

\nabla \cdot \varepsilon \vec{E} = \rho
\nabla \cdot \vec{B} = 0
\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}} {\partial t}
\nabla \times {\vec{B} / \mu} = \vec{j} + \varepsilon \frac{\partial \vec{E}} {\partial t}

W próżni[edytuj | edytuj kod]

Próżnia jest ośrodkiem liniowym, izotropowym. Przenikalność elektryczną próżni oznacza się przez ε0, a przenikalność magnetyczną próżni przez μ0. W próżni nie ma ładunków (ρ=0) i nie płynie prąd (j = 0). Wówczas równania Maxwella upraszczają się do postaci:

\nabla \cdot \vec{E} = 0
\nabla \cdot \vec{B} = 0
\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}} {\partial t}
\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}} {\partial t}

Z równań tych wynika, że w próżni zmieniające się pole elektryczne wywołuje zmienne wirowe pole magnetyczne, a zmieniające się pole magnetyczne wywołuje zmienne wirowe pole elektryczne. Zmiany te w postaci fali elektromagnetycznej rozchodzą się z prędkością

c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} .

Prędkość tę, mimo że dotyczy wszystkich fal elektromagnetycznych, nazywa się prędkością światła.

W roku 1888 Heinrich Hertz przeprowadził po raz pierwszy eksperyment, w którym były wytwarzane i odbierane fale elektromagnetyczne, dowodząc tym samym ich istnienia i potwierdzając słuszność równań Maxwella.

Uwagi

  1. Wielkości te nie wprowadzają żadnego nowego sensu fizycznego, są używane głównie z przyczyn historycznych, mogą prowadzić do nieporozumień i błędów. Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Feynmana wykłady z fizyki. T. II - część 2. Warszawa: PWN, 1974, s. 210-212., Edward M. Purcell: Elektryczność i magnetyzm. Warszawa: PWN, 1971, s. 224, 385-386.

Przypisy

  1. Andrzej Kajetan Wróblewski: Historia fizyki : od czasów najdawniejszych do współczesności. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 83-01-14635-4.
  2. D. Halliday i in., Podstawy..., str. 260-262.
  3. D. Halliday i in., Podstawy..., str. 306-314.
  4. D. Halliday i in., Podstawy..., str. 51-52.
  5. D. Halliday i in., Podstawy..., str. 290-291.
  6. R. Feynman i in., Wykłady..., str. 292-293.
  7. R. Feynman i in., Wykłady..., str. 313-316.
  8. R. Feynman i in., Wykłady..., str. 77-79.
  9. R. Feynman i in., Wykłady..., str. 224-225.
  10. Andrzej Januszajtis: Fale. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1991, s. 324-328. ISBN 83-01-09708-6.
  11. P.T. Leung. A note on the ‘system-free’expressions of Maxwell’s equations. „Eur. J. Phys.”. 25, s. N1-N4, 2004. doi:10.1088/0143-0807/25/2/N01. 
  12. Purcell, Elektryczność..., str. 308

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Podstawy Fizyki. T. 3. Warszawa: PWN, 2003. ISBN 83-01-14076-3.
  2. Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Feynmana wykłady z fizyki. T. II - część 1. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe PWN, 1970.
  3. Edward M. Purcell: Elektryczność i magnetyzm. Warszawa: PWN, 1971.