Równania Maxwella

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równania Maxwella – cztery podstawowe równania elektrodynamiki klasycznej zebrane i rozwinięte przez Jamesa Clerka Maxwella. Opisują one właściwości pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.

James Clerk Maxwell

Równań Maxwella nie należy mylić z termodynamicznymi relacjami Maxwella.

Z równań Maxwella można wyprowadzić między innymi równania falowe fali elektromagnetycznej oraz wyznaczyć prędkość takiej fali propagującej (rozchodzącej się) w próżni (prędkość światła).

Historia[edytuj | edytuj kod]

Najważniejsze fakty historyczne prowadzące do powstania równań Maxwella[1]:

  • André Marie Ampère w 1820 roku sformułował prawo określające wielkość pola magnetycznego wytwarzanego przez przewód z prądem elektrycznym.
  • Carl Friedrich Gauss, współpracując w latach 1831–1833 z Wilhelmem Weberem, sformułował prawa nazwane jego imieniem.
  • W 1832 Michael Faraday odkrył, że zmienne pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.
  • James Clerk Maxwell w roku 1861 zebrał prawa elektrodynamiki w cztery równania. Uogólnił prawo Ampère’a, zasugerował też, że znane zjawiska elektromagnetyczne i światło mają wspólną naturę. Początkowo rozważania Maxwella, bardzo skomplikowane i opisane hermetycznym formalizmem matematycznym, nie znalazły szerszego oddźwięku w świecie nauki.
  • Oliver Heaviside w 1885 roku uprościł matematyczny formalizm Maxwella, wyrażając jego idee w języku rachunku wektorowego.
  • W 1875 Hendrik Antoon Lorentz wyeliminował obecną w dotychczasowych rozważaniach Maxwella koncepcję eteru i nadał równaniom Maxwella sens, jaki znamy dzisiaj.
  • Pierwszej świadomej emisji i odbioru fal elektromagnetycznych, w zakresie widmowym innym niż światło, dokonał Heinrich Hertz w roku 1886. Jego doświadczenia uznaje się za odkrycie fal elektromagnetycznych, potwierdzających koncepcje Maxwella.

Sformułowanie[edytuj | edytuj kod]

Postać całkowa[edytuj | edytuj kod]

Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya[edytuj | edytuj kod]

Prawo to wiąże zmienne pole magnetyczne z indukowanym przez nie polem elektrycznym:

rozpisując strumień pola magnetycznego:

gdzie:

natężenie pola elektrycznego,
– dowolny zamknięty kontur,
strumień indukcji pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię rozpiętą na konturze ,
indukcja pola magnetycznego.

Całka po dowolnej krzywej zamkniętej (cyrkulacja) z natężenia pola elektrycznego jest równa minus pochodnej po czasie (szybkości zmian) strumienia pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię rozpiętą na tej krzywej[2].

Uogólnione prawo Ampère’a[edytuj | edytuj kod]

 Osobne artykuły: prawo Ampère’aprąd przesunięcia.

Prawo to wiąże indukcję pola magnetycznego z wywołującymi je prądem elektrycznym oraz zmiennym polem elektrycznym:

rozpisując wyrażenie na strumień pola elektrycznego:

gdzie:

– dowolny zamknięty kontur,
– całkowity prąd elektryczny przepływający przez dowolną powierzchnię rozpiętą na konturze ,
– strumień pola elektrycznego przez tę powierzchnię,
przenikalność magnetyczna ośrodka,
przenikalność elektryczna ośrodka.

Całka po dowolnej krzywej zamkniętej z indukcji pola magnetycznego jest równa sumie

  • razy całkowite natężenie prądu elektrycznego przepływającego przez dowolną powierzchnię rozpiętą na tej krzywej, oraz
  • razy pochodnej po czasie (prędkości zmian) strumienia natężenia pola elektrycznego przez tę powierzchnię[3].

Prawo Gaussa dla elektryczności[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: prawo Gaussa (elektryczność).

Prawo Gaussa wiąże strumień pola elektrycznego z ładunkiem wytwarzającym to pole:

rozpisując wyrażenie na strumień pola elektrycznego

gdzie:

– strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą ,
– całkowity ładunek zawarty wewnątrz tej powierzchni.

Strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą przemnożony przez przenikalność elektryczną ośrodka jest równy całkowitemu ładunkowi zawartemu wewnątrz tej powierzchni[4].

Prawo Gaussa dla magnetyzmu[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: prawo Gaussa (magnetyzm).

Prawo to stwierdza, że pole magnetyczne jest bezźródłowe – nie istnieją ładunki magnetyczne:

rozpisując wyrażenie na strumień pola magnetycznego:

gdzie:

– strumień pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą .

Całkowity strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez dowolną powierzchnię zamkniętą równa się zeru[5].

Postać różniczkowa[edytuj | edytuj kod]

Równania Maxwella w postaci całkowej wiążą pole elektryczne i magnetyczne na rozciągłych krzywych i powierzchniach. Przechodząc do granicy małych wymiarów można otrzymać je w postaci różniczkowej, wiążącej pole elektryczne i magnetyczne w każdym punkcie przestrzeni. Formalnie najprościej przechodzić pomiędzy postaciami różniczkowymi i całkowymi, wykorzystując twierdzenia Stokesa oraz Gaussa-Ostrogradskiego.

Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya[edytuj | edytuj kod]

W obszarze, w którym istnieje zmienne pole magnetyczne powstaje pole elektryczne[6]:

gdzie:

– operator rotacji.

Uogólnione prawo Ampère’a[edytuj | edytuj kod]

Źródłem pola magnetycznego może być płynący prąd elektryczny oraz zmieniające się w czasie pole elektryczne[7]:

gdzie:

gęstość prądu elektrycznego.

Prawo Gaussa dla elektryczności[edytuj | edytuj kod]

Wiąże pole elektryczne z gęstością ładunku wytwarzającego to pole[8]:

gdzie:

– operator dywergencji,
gęstość ładunku elektrycznego.

Prawo Gaussa dla magnetyzmu[edytuj | edytuj kod]

Nie ma „ładunków (monopoli) magnetycznych”, które mogłyby być źródłem pola magnetycznego[9]:

Podsumowanie[edytuj | edytuj kod]

Postać różniczkowa Postać całkowa Sens fizyczny równania
1. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya

gdzie – strumień magnetyczny przez dowolny kontur rozpięty na krzywej L
Zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.
2. Prawo Ampère’a rozszerzone przez Maxwella

gdzie – strumień elektryczny przez dowolny kontur rozpięty na krzywej L, a – całkowity prąd elektryczny przecinający ten kontur
Przepływający prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają pole magnetyczne.
3. Prawo Gaussa dla elektryczności

gdzie – całkowity ładunek zawarty wewnątrz powierzchni
Ładunki są źródłem pola elektrycznego.
4. Prawo Gaussa dla magnetyzmu
Pole magnetyczne jest bezźródłowe.

Postać z wektorami H i D[edytuj | edytuj kod]

Niekiedy do opisu pola elektrycznego i magnetycznego wprowadza się[a] wektory indukcji elektrycznej (przesunięcia dielektrycznego) oraz natężenia pola magnetycznego określone przez:

Równania Maxwella formułuje się wtedy, wydzielając z ładunku tak zwany ładunek swobodny, nie uwzględniający ładunków będących rezultatem polaryzacji dielektryka, a z prądów odpowiednio „prąd ładunków swobodnych” nie uwzględniający prądu polaryzacji. Równania Maxwella przyjmują postać[10]:

Postać różniczkowa Postać całkowa Sens fizyczny
1. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya
Zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.
2. Prawo Ampère’a rozszerzone przez Maxwella

gdzie – gęstość prądu ładunków swobodnych.

gdzie – strumień indukcji elektrycznej przez dowolną powierzchnię rozpiętą na konturze , – prąd ładunków swobodnych przepływających przez tę powierzchnię.
Przepływający prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają pole magnetyczne.
3. Prawo Gaussa dla elektryczności

gdzie – gęstość ładunku swobodnego.

gdzie – strumień indukcji elektrycznej przez dowolną powierzchnię zamkniętą; – ładunek swobodny zawarty wewnątrz tej powierzchni.
Ładunki są źródłem pola elektrycznego.
4. Prawo Gaussa dla magnetyzmu
Pole magnetyczne jest bezźródłowe.

W układzie CGS[edytuj | edytuj kod]

Układ jednostek CGS jednoznacznie definiuje jednostki mechaniczne, natomiast istnieje kilka konwencji uzupełniania go o jednostki elektrodynamiczne. W każdym z takich przypadków równania Maxwella będzie zapisywało się nieco inaczej (najpopularniejszy jest układ CGS Gaussa)[11].

1. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya 2. Prawo Ampère’a rozszerzone przez Maxwella 3. Prawo Gaussa dla elektryczności 4. Prawo Gaussa dla magnetyzmu
W układzie CGS w wersji Gaussa[12]
W elektrostatycznym układzie CGS (es-CGS, ESU, stat-CGS)
W elektromagnetycznym układzie CGS (em-CGS, EMU, ab-CGS)
W układzie CGS w wersji Lorenza-Heaviside’a

Szczególne przypadki[edytuj | edytuj kod]

W ośrodkach liniowych[edytuj | edytuj kod]

W ogólnym przypadku przenikalność elektryczna i magnetyczna jest tensorem, czasami zależnymi od natężenia pola elektrycznego i indukcji magnetycznej. Ale w większości przypadków materiały są izotropowe wówczas ε i μ są skalarami (liczbami), wówczas równania Maxwella przyjmują uproszczoną postać.

W próżni[edytuj | edytuj kod]

Próżnia jest ośrodkiem liniowym, izotropowym. Przenikalność elektryczną próżni oznacza się przez , a przenikalność magnetyczną próżni przez μ0. W próżni nie ma ładunków i nie płynie prąd . Wówczas równania Maxwella upraszczają się do postaci:

Z równań tych wynika, że w próżni zmieniające się pole elektryczne wywołuje zmienne wirowe pole magnetyczne, a zmieniające się pole magnetyczne wywołuje zmienne wirowe pole elektryczne. Zmiany te w postaci fali elektromagnetycznej rozchodzą się z prędkością

Prędkość tę, mimo że dotyczy wszystkich fal elektromagnetycznych, nazywa się prędkością światła.

W roku 1888 Heinrich Hertz przeprowadził po raz pierwszy eksperyment, w którym były wytwarzane i odbierane fale elektromagnetyczne, dowodząc tym samym ich istnienia i potwierdzając słuszność równań Maxwella.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Wielkości te nie wprowadzają żadnego nowego sensu fizycznego, są używane głównie z przyczyn historycznych, mogą prowadzić do nieporozumień i błędów. Feynman, Leighton i Sands 1974 ↓, s. 210–212; Purcell 1971 ↓, s. 224, 385–386.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]