Równania Maxwella

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równania Maxwella – cztery podstawowe równania elektrodynamiki klasycznej zebrane i rozwinięte przez Jamesa Clerka Maxwella. Opisują one właściwości pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.

James Clerk Maxwell

Równań Maxwella nie należy mylić z termodynamicznymi relacjami Maxwella.

Z równań Maxwella można wyprowadzić między innymi równania falowe fali elektromagnetycznej oraz wyznaczyć prędkość takiej fali propagującej (rozchodzącej się) w próżni (prędkość światła).

Historia[edytuj]

Najważniejsze fakty historyczne prowadzące do powstania równań Maxwella[1]:

  • André Marie Ampère w 1820 roku sformułował prawo określające wielkość pola magnetycznego wytwarzanego przez przewód z prądem elektrycznym.
  • Carl Friedrich Gauss współpracując w latach 1831-1833 z Wilhelmem Weberem sformułował prawa nazwane jego imieniem.
  • W 1832 Michael Faraday odkrył, że zmienne pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.
  • James Clerk Maxwell w roku 1861 zebrał prawa elektrodynamiki w cztery równania. Uogólnił prawo Ampère’a, zasugerował też, że znane zjawiska elektromagnetyczne i światło mają wspólną naturę. Początkowo rozważania Maxwella, bardzo skomplikowane i opisane hermetycznym formalizmem matematycznym, nie znalazły szerszego oddźwięku w świecie nauki.
  • Oliver Heaviside w 1885 roku uprościł matematyczny formalizm Maxwella wyrażając jego idee w języku rachunku wektorowego.
  • W 1875 Hendrik Antoon Lorentz wyeliminował obecną w dotychczasowych rozważaniach Maxwella koncepcję eteru i nadał równaniom Maxwella sens, jaki znamy dzisiaj.
  • Pierwszej świadomej emisji i odbioru fal elektromagnetycznych, w zakresie widmowym innym niż światło, dokonał Heinrich Hertz w roku 1886. Jego doświadczenia uznaje się za odkrycie fal elektromagnetycznych, potwierdzających koncepcje Maxwella.

Sformułowanie[edytuj]

Postać całkowa[edytuj]

Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya[edytuj]

Prawo to wiąże zmienne pole magnetyczne z indukowanym przez nie polem elektrycznym:

,

rozpisując strumień pola magnetycznego:

,

gdzie

natężenie pola elektrycznego,
L – dowolny zamknięty kontur,
ΦBstrumień indukcji pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię S rozpiętą na konturze L,
indukcja pola magnetycznego.

Całka po dowolnej krzywej zamkniętej (cyrkulacja) z natężenia pola elektrycznego jest równa minus pochodnej po czasie (szybkości zmian) strumienia pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię rozpiętą na tej krzywej[2].

Uogólnione prawo Ampère’a[edytuj]

 Osobne artykuły: prawo Ampère’aprąd przesunięcia.

Prawo to wiąże indukcję pola magnetycznego z wywołującymi je prądem elektrycznym oraz zmiennym polem elektrycznym:

,

rozpisując wyrażenie na strumień pola elektrycznego:

,

gdzie

L – dowolny zamknięty kontur,
I – całkowity prąd elektryczny przepływający przez dowolną powierzchnię S rozpiętą na konturze L,
ΦE – strumień pola elektrycznego przez tę powierzchnię,
μ – przenikalność magnetyczna ośrodka,
ε – przenikalność elektryczna ośrodka.

Całka po dowolnej krzywej zamkniętej z indukcji pola magnetycznego jest równa sumie

  • μ razy całkowite natężenie prądu elektrycznego przepływającego przez dowolną powierzchnię rozpiętą na tej krzywej, oraz
  • μ • ε razy pochodnej po czasie (prędkości zmian) strumienia natężenia pole elektrycznego przez tą powierzchnię[3].

Prawo Gaussa dla elektryczności[edytuj]

 Osobny artykuł: prawo Gaussa (elektryczność).

Prawo Gaussa wiąże strumień pola elektrycznego z ładunkiem wytwarzającym to pole:

,

rozpisując wyrażenie na strumień pola elektrycznego

,

gdzie

ΦE – strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą S,
q – całkowity ładunek zawarty wewnątrz tej powierzchni.

Strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą przemnożony przez przenikalność elektryczną ośrodka jest równy całkowitemu ładunkowi zawartemu wewnątrz tej powierzchni[4].

Prawo Gaussa dla magnetyzmu[edytuj]

 Osobny artykuł: prawo Gaussa (magnetyzm).

Prawo to stwierdza, że pole magnetyczne jest bezźródłowe – nie istnieją ładunki magnetyczne:

,

rozpisując wyrażenie na strumień pola magnetycznego:

,

gdzie

ΦB – strumień pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą S.

Całkowity strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez dowolną powierzchnię zamkniętą równa się zeru[5].

Postać różniczkowa[edytuj]

Równania Maxwella w postaci całkowej wiążą pole elektryczne i magnetyczne na rozciągłych krzywych i powierzchniach. Przechodząc do granicy małych wymiarów można otrzymać je w postaci różniczkowej, wiążącej pole elektryczne i magnetyczne w każdym punkcie przestrzeni. Formalnie najprościej przechodzić pomiędzy postaciami różniczkowymi i całkowymi wykorzystując twierdzenia Stokesa oraz Gaussa-Ostrogradskiego.

Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya[edytuj]

W obszarze, w którym istnieje zmienne pole magnetyczne powstaje pole elektryczne[6]:

,

gdzie

– operator rotacji.

Uogólnione prawo Ampère’a[edytuj]

Źródłem pola magnetycznego może być płynący prąd elektryczny oraz zmieniające się w czasie pole elektryczne[7]:

,

gdzie

gęstość prądu elektrycznego.

Prawo Gaussa dla elektryczności[edytuj]

Wiąże pole elektryczne z gęstością ładunku wytwarzającego to pole[8]:

,

gdzie

– operator dywergencji,
ρ – gęstość ładunku elektrycznego.

Prawo Gaussa dla magnetyzmu[edytuj]

Nie ma „ładunków (monopoli) magnetycznych”, które mogłyby być źródłem pola magnetycznego[9]:

Podsumowanie[edytuj]

Postać różniczkowa Postać całkowa Sens fizyczny równania
1. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya

gdzie ΦB – strumień magnetyczny przez dowolny kontur rozpięty na krzywej L
Zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.
2. Prawo Ampère’a rozszerzone przez Maxwella

gdzie ΦE – strumień elektryczny przez dowolny kontur rozpięty na krzywej L, a I – całkowity prąd elektryczny przecinający ten kontur
Przepływający prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają pole magnetyczne.
3. Prawo Gaussa dla elektryczności

gdzie q – całkowity ładunek zawarty wewnątrz powierzchni S
Ładunki są źródłem pola elektrycznego.
4. Prawo Gaussa dla magnetyzmu
Pole magnetyczne jest bezźródłowe.

Postać z wektorami H i D[edytuj]

Niekiedy do opisu pola elektrycznego i magnetycznego wprowadza się[a] wektory indukcji elektrycznej (przesunięcia dielektrycznego) oraz natężenia pola magnetycznego określone przez:

Równania Maxwella formułuje się wtedy wydzielając z ładunku tak zwany ładunek swobodny, nie uwzględniający ładunków będących rezultatem polaryzacji dielektryka, a z prądów odpowiednio „prąd ładunków swobodnych” nie uwzględniający prądu polaryzacji. Równania Maxwella przyjmują postać[10]:

Postać różniczkowa Postać całkowa Sens fizyczny
1. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya
Zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.
2. Prawo Ampère’a rozszerzone przez Maxwella

gdzie – gęstość prądu ładunków swobodnych.

gdzie ΦD – strumień indukcji elektrycznej przez dowolną powierzchnię rozpiętą na konturze L, Isw – prąd ładunków swobodnych przepływających przez tę powierzchnię.
Przepływający prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają pole magnetyczne.
3. Prawo Gaussa dla elektryczności

gdzie ρsw – gęstość ładunku swobodnego.

gdzie ΦD – strumień indukcji elektrycznej przez dowolną powierzchnię zamkniętą; qsw – ładunek swobodny zawarty wewnątrz tej powierzchni.
Ładunki są źródłem pola elektrycznego.
4. Prawo Gaussa dla magnetyzmu
Pole magnetyczne jest bezźródłowe.

W układzie CGS[edytuj]

Układ jednostek CGS jednoznacznie definiuje jednostki mechaniczne, natomiast istnieje kilka konwencji uzupełniania go o jednostki elektrodynamiczne. W każdym z takich przypadków równania Maxwella będzie zapisywało się nieco inaczej (najpopularniejszy jest układ CGS Gaussa)[11].

1. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya 2. Prawo Ampère’a rozszerzone przez Maxwella 3. Prawo Gaussa dla elektryczności 4. Prawo Gaussa dla magnetyzmu
W układzie CGS w wersji Gaussa[12].
W elektrostatycznym układzie CGS (es-CGS, ESU, stat-CGS).
W elektromagnetycznym układzie CGS (em-CGS, EMU, ab-CGS).
W układzie CGS w wersji Lorenza-Heaviside'a.

Szczególne przypadki[edytuj]

W ośrodkach liniowych[edytuj]

W ogólnym przypadku przenikalność elektryczna i magnetyczna jest tensorem, czasami zależnymi od natężenia pola elektrycznego i indukcji magnetycznej. Ale w większości przypadków materiały są izotropowe wówczas ε i μ są skalarami (liczbami), wówczas równania Maxwella przyjmują uproszczoną postać.

W próżni[edytuj]

Próżnia jest ośrodkiem liniowym, izotropowym. Przenikalność elektryczną próżni oznacza się przez ε0, a przenikalność magnetyczną próżni przez μ0. W próżni nie ma ładunków (ρ=0) i nie płynie prąd (j = 0). Wówczas równania Maxwella upraszczają się do postaci:

Z równań tych wynika, że w próżni zmieniające się pole elektryczne wywołuje zmienne wirowe pole magnetyczne, a zmieniające się pole magnetyczne wywołuje zmienne wirowe pole elektryczne. Zmiany te w postaci fali elektromagnetycznej rozchodzą się z prędkością

.

Prędkość tę, mimo że dotyczy wszystkich fal elektromagnetycznych, nazywa się prędkością światła.

W roku 1888 Heinrich Hertz przeprowadził po raz pierwszy eksperyment, w którym były wytwarzane i odbierane fale elektromagnetyczne, dowodząc tym samym ich istnienia i potwierdzając słuszność równań Maxwella.

Uwagi

  1. Wielkości te nie wprowadzają żadnego nowego sensu fizycznego, są używane głównie z przyczyn historycznych, mogą prowadzić do nieporozumień i błędów. Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Feynmana wykłady z fizyki. T. II – część 2. Warszawa: PWN, 1974, s. 210-212., Edward M. Purcell: Elektryczność i magnetyzm. Warszawa: PWN, 1971, s. 224, 385-386.

Przypisy

  1. Andrzej Kajetan Wróblewski: Historia fizyki : od czasów najdawniejszych do współczesności. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 83-01-14635-4.
  2. D. Halliday i in., Podstawy..., str. 260-262.
  3. D. Halliday i in., Podstawy..., str. 306-314.
  4. D. Halliday i in., Podstawy..., str. 51-52.
  5. D. Halliday i in., Podstawy..., str. 290-291.
  6. R. Feynman i in., Wykłady..., str. 292-293.
  7. R. Feynman i in., Wykłady..., str. 313-316.
  8. R. Feynman i in., Wykłady..., str. 77-79.
  9. R. Feynman i in., Wykłady..., str. 224-225.
  10. Andrzej Januszajtis: Fale. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1991, s. 324-328. ISBN 83-01-09708-6.
  11. P.T. Leung. A note on the ‘system-free’expressions of Maxwell’s equations. „Eur. J. Phys.”. 25, s. N1-N4, 2004. DOI: 10.1088/0143-0807/25/2/N01. 
  12. Purcell, Elektryczność..., str. 308

Bibliografia[edytuj]

  1. David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Podstawy Fizyki. T. 3. Warszawa: PWN, 2003. ISBN 83-01-14076-3.
  2. Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Feynmana wykłady z fizyki. T. II – część 1. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe PWN, 1970.
  3. Edward M. Purcell: Elektryczność i magnetyzm. Warszawa: PWN, 1971.