Złożenie funkcji: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
m robot dodaje: nl:Functie-compositie |
drobne techniczne |
||
Linia 18: | Linia 18: | ||
Z istnienia złożenia <math>g \circ f</math> nie wynika istnienie <math>f \circ g</math>. Jest to możliwe wtedy, gdy [[zbiór]] <math>X</math> jest tożsamy z <math>Z</math>. Mamy wówczas <math>f \circ g\colon Y \to Y</math>, w takim przypadku <math>f \circ g</math> na ogół różni się od funkcji <math>g \circ f</math>. |
Z istnienia złożenia <math>g \circ f</math> nie wynika istnienie <math>f \circ g</math>. Jest to możliwe wtedy, gdy [[zbiór]] <math>X</math> jest tożsamy z <math>Z</math>. Mamy wówczas <math>f \circ g\colon Y \to Y</math>, w takim przypadku <math>f \circ g</math> na ogół różni się od funkcji <math>g \circ f</math>. |
||
==Przykład== |
===Przykład=== |
||
Niech <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x) = 2x+1</math> i <math>g\colon \mathbb R \to \mathbb R, g(x) = x^2</math>. Wtedy |
Niech <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x) = 2x+1</math> i <math>g\colon \mathbb R \to \mathbb R, g(x) = x^2</math>. Wtedy |
||
: <math>(g \circ f)\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; (g \circ f)(x) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1</math>, natomiast |
: <math>(g \circ f)\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; (g \circ f)(x) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1</math>, natomiast |
Wersja z 11:56, 21 wrz 2008
Złożenie (superpozycja) funkcji – funkcja zwracająca wartość pewnej funkcji w punkcie zadanym za pomocą innej.
Definicja
Niech oraz będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję taką, że
- .
Funkcje oraz nazywa się funkcjami składanymi, zaś nosi również nazwę funkcji złożonej.
Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany . Dla powyższych funkcji
- ,
zatem
- .
Własności
Łączność operatora składania oznacza, że , czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis .
Z istnienia złożenia nie wynika istnienie . Jest to możliwe wtedy, gdy zbiór jest tożsamy z . Mamy wówczas , w takim przypadku na ogół różni się od funkcji .
Przykład
Niech i . Wtedy
- , natomiast
- .
Widać, iż jest inna niż .
Struktura grupy
- Osobny artykuł:
Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy. Przykłady:
- , czyli grupa symetryczna danego zbioru , oznaczana również przez albo , czyli grupa wszystkich bijekcji .
- Zbiór wszystkich odwzorowań jest połgrupą, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.
Składanie funkcji samej ze sobą
Jeżeli , to można wykonać złożenie samą ze sobą – otrzymaną funkcję oznacza się zazwyczaj . Analogicznie, , itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.
Dodatkowo funkcję , dla której nazywamy inwolucją.
Tradycyjnie jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (lub iloczyn punktowy), czyli . W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: zapis oznacza właśnie . Choć zaleca się zapis nawiasowy, to zwykle nie prowadzi to jednak do większych nieporozumień.