Orientacja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
drobne redakcyjne |
-szablon, WP:SK, grafika, kolejność sekcji końcowych |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
[[Plik:Cartesian coordinate system handedness.svg|thumb|Układ lewoskrętny (po lewej) i prawoskrętny]] |
|||
{{Dopracować}} |
|||
'''Orientacja''' – pojęcie [[matematyka|matematyczne]] odnoszące się do kilku obiektów oznaczające intuicyjnie określenie „strony” wierzchniej lub spodniej („lewej” lub „prawej”) obiektu. W szczególności jeżeli dana przestrzeń nie jest orientowalna, to znaczy, że nie jest możliwe wyróżnienie jej „stron”. |
'''Orientacja''' – pojęcie [[matematyka|matematyczne]] odnoszące się do kilku obiektów oznaczające intuicyjnie określenie „strony” wierzchniej lub spodniej („lewej” lub „prawej”) obiektu. W szczególności jeżeli dana przestrzeń nie jest orientowalna, to znaczy, że nie jest możliwe wyróżnienie jej „stron”. |
||
Linia 5: | Linia 5: | ||
== Przestrzeń liniowa == |
== Przestrzeń liniowa == |
||
Niech <math>X</math> będzie <math>n</math>-wymiarową [[liczby rzeczywiste|rzeczywistą]] [[przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]], zaś układy wektorów <math>a_1, \dots, a_n</math> oraz <math>b_1, \dots, b_n</math> jej bazami algebraicznymi. [[Macierz przejścia]] <math>P_{ab}</math> od bazy <math>(a_i)</math> do <math>(b_i)</math> jest [[ |
Niech <math>X</math> będzie <math>n</math>-wymiarową [[liczby rzeczywiste|rzeczywistą]] [[przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]], zaś układy wektorów <math>a_1, \dots, a_n</math> oraz <math>b_1, \dots, b_n</math> jej bazami algebraicznymi. [[Macierz przekształcenia liniowego|Macierz przejścia]] <math>P_{ab}</math> od bazy <math>(a_i)</math> do <math>(b_i)</math> jest [[Macierz odwrotna|nieosobliwa]]. Oczywiście macierzą przejścia <math>P_{ba}</math> od bazy <math>(b_i)</math> do <math>(a_i)</math> jest macierz do niej [[macierz odwrotna|odwrotna]]. Obie te macierze posiadają [[wyznacznik]] tego samego znaku. |
||
Bazy <math>(a_i), (b_i)</math> przestrzeni <math>X</math> są '''zgodnie zorientowane''', jeżeli wyznacznik macierzy przejścia <math>P_{ab}</math> jest dodatni, w przeciwnym wypadku mówi się, że bazy te są '''przeciwnie zorientowane'''. Relacja zgodnej zorientowania między bazami przestrzeni <math>X</math> jest [[relacja równoważności|relacją równoważności]], zatem rozbija ona rodzinę wszystkich baz tej przestrzeni na [[ |
Bazy <math>(a_i), (b_i)</math> przestrzeni <math>X</math> są '''zgodnie zorientowane''', jeżeli wyznacznik macierzy przejścia <math>P_{ab}</math> jest dodatni, w przeciwnym wypadku mówi się, że bazy te są '''przeciwnie zorientowane'''. Relacja zgodnej zorientowania między bazami przestrzeni <math>X</math> jest [[relacja równoważności|relacją równoważności]], zatem rozbija ona rodzinę wszystkich baz tej przestrzeni na [[Relacja równoważności|klasy abstrakcji]] nazywane '''orientacjami''' tej przestrzeni. Jeżeli <math>(a_i)</math> jest ustaloną bazą <math>X</math>, to każda baza jest zorientowana zgodnie z nią lub z bazą <math>-a_1, a_2, \dots, a_n</math>. Jeżeli <math>\tau</math> jest orientacją <math>X</math>, to jej drugą orientację nazywamy '''przeciwną''' względem <math>\tau</math> i oznaczamy <math>-\tau</math>. |
||
Parę <math>(X, \tau)</math>, czyli przestrzeń liniową <math>X</math> wraz z ustaloną jej orientacją <math>\tau</math> nazywa się '''przestrzenią zorientowaną'''. Orientację przestrzeni <math>\mathbb R^n</math> wyznaczoną przez jej bazę kanoniczną określa się jako '''orientację dodatnią''', zaś przeciwną względem niej – '''orientacją ujemną'''. |
Parę <math>(X, \tau)</math>, czyli przestrzeń liniową <math>X</math> wraz z ustaloną jej orientacją <math>\tau</math> nazywa się '''przestrzenią zorientowaną'''. Orientację przestrzeni <math>\mathbb R^n</math> wyznaczoną przez jej bazę kanoniczną określa się jako '''orientację dodatnią''', zaś przeciwną względem niej – '''orientacją ujemną'''. |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Zobacz też == |
== Zobacz też == |
||
* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki|przegląd zagadnień z zakresu matematyki]] |
* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki|przegląd zagadnień z zakresu matematyki]] |
||
* [[powierzchnia zorientowana]] |
* [[powierzchnia zorientowana]] |
||
⚫ | |||
{{Bibliografia start}} |
|||
⚫ | |||
{{Bibliografia stop}} |
|||
[[Kategoria:Analiza matematyczna]] |
[[Kategoria:Analiza matematyczna]] |
Wersja z 10:09, 31 lip 2011
Orientacja – pojęcie matematyczne odnoszące się do kilku obiektów oznaczające intuicyjnie określenie „strony” wierzchniej lub spodniej („lewej” lub „prawej”) obiektu. W szczególności jeżeli dana przestrzeń nie jest orientowalna, to znaczy, że nie jest możliwe wyróżnienie jej „stron”.
Orientacja rzeczywistej przestrzeni liniowej to podział baz uporządkowanych na „dodatnio” zorientowane i „ujemnie” zorientowane. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej dwie możliwe orientacje baz nazywa się prawoskrętną i lewoskrętną (zob. reguła prawej dłoni). Jednakże wybór orientacji jest niezależny od skrętności bazy (chociaż o bazach prawoskrętnych mówi się zwykle, że są zorientowane dodatnio, można jednak przypisać im orientację ujemną).
Przestrzeń liniowa
Niech będzie -wymiarową rzeczywistą przestrzenią liniową, zaś układy wektorów oraz jej bazami algebraicznymi. Macierz przejścia od bazy do jest nieosobliwa. Oczywiście macierzą przejścia od bazy do jest macierz do niej odwrotna. Obie te macierze posiadają wyznacznik tego samego znaku.
Bazy przestrzeni są zgodnie zorientowane, jeżeli wyznacznik macierzy przejścia jest dodatni, w przeciwnym wypadku mówi się, że bazy te są przeciwnie zorientowane. Relacja zgodnej zorientowania między bazami przestrzeni jest relacją równoważności, zatem rozbija ona rodzinę wszystkich baz tej przestrzeni na klasy abstrakcji nazywane orientacjami tej przestrzeni. Jeżeli jest ustaloną bazą , to każda baza jest zorientowana zgodnie z nią lub z bazą . Jeżeli jest orientacją , to jej drugą orientację nazywamy przeciwną względem i oznaczamy .
Parę , czyli przestrzeń liniową wraz z ustaloną jej orientacją nazywa się przestrzenią zorientowaną. Orientację przestrzeni wyznaczoną przez jej bazę kanoniczną określa się jako orientację dodatnią, zaś przeciwną względem niej – orientacją ujemną.
Zobacz też
Bibliografia
- A. Birkolc Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.