Orientacja (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Układ lewoskrętny (po lewej) i prawoskrętny

Orientacja – pojęcie matematyczne odnoszące się do kilku obiektów oznaczające intuicyjnie określenie „strony” wierzchniej lub spodniej („lewej” lub „prawej”) obiektu. W szczególności jeżeli dana przestrzeń nie jest orientowalna, to znaczy, że nie jest możliwe wyróżnienie jej „stron”.

Orientacja rzeczywistej przestrzeni liniowej to podział baz uporządkowanych na „dodatnio” zorientowane i „ujemnie” zorientowane. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej dwie możliwe orientacje baz nazywa się prawoskrętną i lewoskrętną (zob. reguła prawej dłoni). Jednakże wybór orientacji jest niezależny od skrętności bazy (chociaż o bazach prawoskrętnych mówi się zwykle, że są zorientowane dodatnio, można jednak przypisać im orientację ujemną).

Przestrzeń liniowa[edytuj]

Niech będzie -wymiarową rzeczywistą przestrzenią liniową, zaś układy wektorów oraz jej bazami algebraicznymi. Macierz przejścia od bazy do jest nieosobliwa. Oczywiście macierzą przejścia od bazy do jest macierz do niej odwrotna. Obie te macierze posiadają wyznacznik tego samego znaku.

Bazy przestrzeni zgodnie zorientowane, jeżeli wyznacznik macierzy przejścia jest dodatni, w przeciwnym wypadku mówi się, że bazy te są przeciwnie zorientowane. Relacja zgodnej zorientowania między bazami przestrzeni jest relacją równoważności, zatem rozbija ona rodzinę wszystkich baz tej przestrzeni na klasy abstrakcji nazywane orientacjami tej przestrzeni. Jeżeli jest ustaloną bazą , to każda baza jest zorientowana zgodnie z nią lub z bazą . Jeżeli jest orientacją , to jej drugą orientację nazywamy przeciwną względem i oznaczamy .

Parę , czyli przestrzeń liniową wraz z ustaloną jej orientacją nazywa się przestrzenią zorientowaną. Orientację przestrzeni wyznaczoną przez jej bazę kanoniczną określa się jako orientację dodatnią, zaś przeciwną względem niej – orientacją ujemną.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • A. Birkolc Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.