Macierz przekształcenia liniowego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Macierz przekształcenia liniowegomacierz będąca wygodnym zapisem we współrzędnych przekształcenia liniowego dwóch skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem z ustalonymi bazami. Dzięki temu, że mnożeniu macierzy oraz mnożeniu wektorów odpowiada składanie przekształceń i obliczanie wartości przekształcenia na wspomnianym wektorze, teoria macierzy staje się wygodnym językiem opisu przekształceń (w tym endomorfizmów) liniowych wyżej opisanych przestrzeni; jeśli nie wskazano żadnych baz, to każdą macierz o elementach z ciała można traktować jako przekształcenie liniowe między dwoma przestrzeniami współrzędnych.

Definicja[edytuj]

Niech i będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem odpowiednio z bazami oraz zaś będzie przekształceniem liniowym. Macierzą przekształcenia w bazach nazywa się taką macierz typu o współczynnikach z danego ciała, że dla każdego zachodzi

tzn. w -tej kolumnie macierzy stoją współrzędne wektora w bazie Macierz przekształcenia w bazach będzie oznaczana także symbolem

Uwaga: w dalszej części artykułu wszystkie przestrzenie liniowe oraz macierze są zbudowane nad ustalonym ciałem

Własności[edytuj]

Odpowiedniość między przekształceniami liniowymi i ich macierzami
 Zobacz też: izomorfizm.

Przyporządkowanie każdemu przekształceniu liniowemu jego macierzy zadaje izomorfizm liniowy przestrzeni przekształceń liniowych oraz przestrzeni macierzy Liniowość wynika wprost z własności działań na macierzach,

a ponadto każde przekształcenie liniowe jest zadane jednoznacznie przez podanie wartości na bazie, tzn. Stąd odwzorowanie przyporządkowujące przekształceniom liniowym ich macierze jest wzajemnie jednoznaczne. Wynika stąd w szczególności, że jeśli oraz to

Mnożenie macierzy a obraz wektora w przekształceniu
 Osobne artykuły: mnożenie macierzyobraz.

Jeśli wektor ma współrzędne w bazie zaś wektor ma współrzędne w bazie przy czym to

co można zapisać gdzie są macierzami jednokolumnowymi (tzw. wektorami kolumnowymi) odpowiadającymi wektorom [1]

Zamiana współrzędnych i jej macierze

W szczególnym przypadku, jeśli są bazami przestrzeni i macierz gdzie jest przekształceniem identycznościowym, to jeśli wektor ma współrzędne w bazie zaś są jego współrzędnymi w bazie to

tzn. gdzie są macierzami odpowiadającymi wektorom współrzędnych jw., co oznacza, że mnożenie przez zamienia współrzędne wektora w bazie na współrzędne w bazie Stąd też macierz nazywa się macierzą zamiany współrzędnych (bądź macierzą przejścia) od do Macierz zamiany współrzędnych od do dana jest jako jej macierz odwrotna

Mnożenie macierzy a składanie przekształceń

Jeśli są przestrzeniami liniowymi odpowiednio z bazami a i są przekształceniami liniowymi, to

[2]

Wynika stąd, że jeśli jest przekształceniem liniowym, układy są bazami układy są bazami oraz jeśli i są macierzami zamiany współrzędnych odpowiednio z do i z do to

[3]
Rząd macierzy a rząd przekształcenia
 Osobny artykuł: rząd.

Jeśli jest przekształceniem liniowym, to dla każdej bazy przestrzeni i każdej bazy przestrzeni zachodzi

gdyż jeśli to przyporządkowanie wektorowi przestrzeni jego współrzędnych w bazie zadaje izomorfizm przy którym przechodzi na podprzestrzeń rozpiętą na kolumnach macierzy

Przykłady[edytuj]

Niech dane będą przestrzenie liniowe oraz (nad ciałem liczb rzeczywistych) oraz przekształcenie liniowe zadane wzorem

w bazach standardowych. Macierz przekształcenia w bazach oraz jest postaci

gdyż wektory bazowe przechodzą odpowiednio na wektory oraz zaś ich współrzędne w bazie mają postać

oraz

Wartość w bazie na wektorze który ma w współrzędne jest równa tzn.

Endomorfizmy[edytuj]

Przekształcenie liniowe skończeniewymiarowej przestrzeni liniowej nazywa się endomorfizmem (liniowym), jego macierzą w bazie jest Wprost z definicji endomorfizmów wynika, że ich macierze są kwadratowe.

Jeśli są bazami zaś oraz to

gdzie jest macierzą zamiany współrzędnych z do co wynika z ogólnej równości przedstawionej w Mnożenie macierzy a składanie przekształceń. Własność ta jest podstawą następującej definicji: dowolne macierze dla których istnieje macierz odwracalna spełniająca równość,

nazywa się macierzami podobnymi. Macierze te są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy są macierzami tego samego endomorfizmu (co najwyżej w różnych bazach).

Do stwierdzenia podobieństwa macierzy można wykorzystać rząd, wyznacznik i ślad, które nie ulegają zmianie przy endomorfizmach – wielkości te zawiera się zwykle w wielomianie charakterystycznym opisującym dany endomorfizm. Postać i rodzaj endomorfizmu można z kolei uzyskać badając jego wektory i wartości własne. Niektóre endomorfizmy mają w pewnych bazach szczególnie prostą postać, jaką jest macierz diagonalna, czyli przyjmująca niezerowe wartości wyłącznie na głównej przekątnej – nazywa się je diagonalizowalnymi, przy czym elementami na przekątnej macierzy są wartości własne tego endomorfizmu.

Choć nie wszystkie macierze kwadratowe są diagonalizowalne, to istnieje szersza od nich klasa macierzy Jordana (czyli macierzy, które dają się sprowadzić do postaci Jordana), dla których orzeczenie, czy dane macierze w postaci Jordana są podobne jest wyjątkowo łatwe. Macierze te, podobnie jak macierze diagonalne, łatwo się potęguje. Twierdzenie Jordana mówi z kolei, że dla każdego endomorfizmu przestrzeni liniowej nad ciałem algebraicznie domkniętymi (np. liczbami zespolonymi) istnieje taka baza, w której macierz tego endomorfizmu ma postać Jordana. Ogólniejsze twierdzenie Frobeniusa umożliwia określenie podobieństwa dowolnych dwóch macierzy kwadratowych za cenę badania pierścienia wielomianów nad ustalonym ciałem, zamiast samego ciała. Wszystkie te twierdzenia są wnioskami z twierdzenia strukturalnego dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych.

Podobne narzędzia wykorzystuje się dla przestrzeni nieskończenie wymiarowych, jednak zamiast zbioru jego wartości własnych (nazywanego widmem punktowym bądź spektrum punktowym) bada się jego pełne widmo (spektrum). Uogólnieniem diagonalizacji są różnorodne twierdzenia spektralne.

Przypisy

  1. Z definicji macierzy przekształcenia wynika
  2. Przyjmując oznaczenia oraz zachodzi tzn. skąd wynika teza.
  3. Wynika to z równości