Liczby względnie pierwsze

Liczby względnie pierwsze – liczby całkowite, których największym wspólnym dzielnikiem jest jeden.
Liczby parami względnie pierwsze – liczby całkowite, wśród których każde dwie różne są względnie pierwsze.

Fakt, że liczby $a,b,c,...d$ są względnie pierwsze, zapisuje się symbolicznie ${\mbox{NWD}}(a,b,c,\dots ,d)=1.$

Szybkim sposobem określenia, czy dwie liczby są względnie pierwsze jest algorytm Euklidesa. Funkcja Eulera dodatniej liczby całkowitej $n$ jest liczbą liczb naturalnych między 1 a $n,$ które są względnie pierwsze z $n.$

Przykłady

• Liczby 6 i 35 są względnie pierwsze, ale 6 i 27 nie są, gdyż obie są podzielne przez 3.
• Liczba 1 jest względnie pierwsza z każdą liczbą całkowitą.
• Liczby 10, 12 i 15 są względnie pierwsze, ale nie są parami względnie pierwsze (najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb wynosi 60, a nie 10·12·15 = 1800).

Własności

Jeżeli dwie liczby są względnie pierwsze, to ich najmniejsza wspólna wielokrotność równa jest ich iloczynowi. Twierdzenie to nie uogólnia się na większą liczbę czynników, co pokazuje przykład: ${\mbox{NWD}}(4,6,9)=1,{\mbox{NWW}}(4,6,9)=36,\ 4\cdot 6\cdot 9=216.$

Na to, aby liczby $a,b$ były względnie pierwsze, potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby całkowite $x$ i $y$ spełniające równanie

$ax+by=1.$

Ogólniej:
Na to, aby liczby $a_{1},...,a_{n}$ były względnie pierwsze, potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby całkowite $k_{1},...,k_{n}$ spełniające równanie

$k_{1}a_{1}+...+k_{n}a_{n}=1.$

Uogólnienie

W pierścieniu przemiennym z jedynką $R$ ideały $I$ i $J$ nazywamy względnie pierwszymi, jeśli ich suma algebraiczna $I+J$ jest całym pierścieniem.

W dziedzinach ideałów głównych można przyjąć następującą definicję elementów względnie pierwszych: $a$ i $b$ są względnie pierwsze jeśli z faktu, że pewien element $d$ dzieli $a$ i dzieli $b$ wynika, że $d$ jest odwracalny. Jest ona równoważna temu, że ideały generowane przez te elementy są względnie pierwsze. W pierścieniach niebędących dziedzinami ideałów głównych te pojęcia nie muszą się pokrywać.

Liczby względnie pierwsze generują ideały względnie pierwsze w $\mathbb {Z}$ (bo $\mathbb {Z}$ jest dziedziną ideałów głównych).

Zobacz też

• algorytm Euklidesa
• funkcja φ
• liczby pierwsze