Zasada Lagrange’a

Zasada Lagrange’a (także zasada prac wirtualnych lub zasada prac przygotowanych) – podstawowe twierdzenie statyki dotyczące równowagi układu punktów materialnych. Mówi ona, że w położeniu równowagi dla dowolnego, małego i zgodnego z więzami przesunięcia punktów układu, suma prac wykonanych w układzie przy tym przesunięciu przez siły zewnętrzne jest zerowa.

W postaci matematycznej zasada wyrażona jest następująco: dany jest układ $N$ punktów materialnych. Położenie układu w przestrzeni konfiguracyjnej opisywane jest przez wektor ${\vec {x}}$ o współrzędnych $x_{j}\ (j=1,2,\dots ,3N).$

Składowe wypadkowej siły zewnętrznej działającej na układ oznaczmy przez $X_{j}\ (j=1,2,\dots ,3N).$

Dodatkowo ruch układu jest ograniczony przez więzy geometryczne opisywane przez $n$ równań

$f_{k}(x,t)=0,\qquad (k=1,2,\dots ,n).$

W takiej sytuacji warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by pewien, spełniający równania więzów, punkt przestrzeni konfiguracyjnej był punktem równowagi układu, jest by w punkcie tym zachodziło:

$\delta W\equiv \sum _{j=1}^{3N}X_{j}\,\delta x_{j}=0$

dla dowolnych liczb $\delta x_{j}$ spełniających warunki:

$\sum _{j=1}^{3N}{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}\delta x_{j}=0,\qquad (k=1,2,\dots ,n).$

Wielkość $\delta W$ nosi nazwę pracy wirtualnej lub pracy przygotowanej a $\delta x_{j}$ jest $j$-tą składową w przestrzeni konfiguracyjnej przesunięcia wirtualnego.

Zasada Lagrange’a jest konsekwencją zasady d’Alemberta.

Bibliografia

• Wojciech Rubinowicz, Wojciech Królikowski: Mechanika teoretyczna. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1977, s. 153–154.
• Grzegorz Białkowski: Mechanika klasyczna. Warszawa: PWN, 1975, s. 215–218.