Zasada d’Alemberta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson
Ten artykuł dotyczy mechaniki. Zobacz też: zasada d’Alemberta w robotyce.

Zasada d’Alemberta – sposób ogólnego sformułowania praw ruchu dla układu punktów materialnych, których ruch ograniczony jest więzami holonomicznymi dwustronnymi. Z zasady d’Alemberta można wyprowadzić równania Lagrange’a pierwszego rodzaju.

Zgodnie z zasadą d’Alemberta dla układu n punktów materialnych

Praca zsumowanych sił zewnętrznych i sił bezwładności na drodze będącej przesunięciem wirtualnym, czyli praca wirtualna jest równa zeru

Zasadę tę można zapisać wzorami

gdzie

siła działająca na i-ty element układu,
siła bezwładności działająca na i-ty element układu o masie mi,
przyspieszenie i-tego elementu układu,
przesunięcie wirtualne i-tego elementu układu.

Sformułowana przez d’Alemberta, w postaci analitycznej zasada została zapisana przez Lagrange'a w Méchanique Analitique z roku 1788.

Więzy określone są przez m równań

gdzie . Dla każdego z tych równań współrzędne przesunięć wirtualnych muszą spełniać warunki

Zasada d'Alemberta może zostać uogólniona do układów o więzach nieholonomicznych.

Związek z II zasadą dynamiki Newtona[edytuj]

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wypadkowa siła działająca na każdy element układu powoduje jego przyspieszenie zgodnie z równaniem

Siły wypadkowe można rozdzielić na siły reakcji więzów FRi i pozostałe działające siły Fi, wówczas

stąd

Trzeci człon w tym równaniu może być również traktowany jak siła. Siłę tę d'Alembert nazwał siłą bezwładności. Praca wirtualna wszystkich tych sił na drodze stycznej do hiperpowierzchni, określonej przez równania więzów, a określonej w przestrzeni stanów[a], równa będzie

Ale siły reakcji są zawsze prostopadłe do powierzchni więzów, dlatego praca wirtualna wykonywane przez te siły zeruje się

stąd wynika

Widać stąd, że w porównaniu z równaniami Newtona, zasada d'Alemberta ma tę przewagę, że pozwala wyeliminować z rozważań siły reakcji.

Uwagi

  1. Na przykład w prostym przypadku równania więzów mogą wyznaczać krzywą lub powierzchnię, po której może poruszać się ciało.

Bibliografia[edytuj]

  1. Wojciech Rubinowicz, Wojciech Królikowski: Mechanika Teoretyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, bez ISBN
  2. Szczepan Szczeniowski: Fizyka doświadczalna. Mechanika i akustyka. PWN, Warszawa (1980)