Zbieżność prawie wszędzie: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
drobne techniczne |
→Zobacz też: kat. |
||
Linia 26: | Linia 26: | ||
[[Kategoria:Granice]] |
[[Kategoria:Granice]] |
||
[[kategoria:Teoria miary]] |
[[kategoria:Teoria miary]] |
||
[[Kategoria:Statystyka]] |
|||
[[Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa]] |
[[Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa]] |
Wersja z 02:58, 25 lut 2008
Zbieżność prawie wszędzie ciągu funkcji względem (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie to pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce znane jest ono pod nazwą zbieżność z prawdopodobieństwem 1 lub prawie na pewno.
Definicja
- Teoria miary
Niech będzie przestrzenią mierzalną z miarą (tak więc w szczególności ) oraz niech będzie przestrzenią metryczną. Przypuśćmy, że oraz .
Mówimy, że ciąg jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji (względem miary na zbiorze ), wtedy i tylko wtedy, gdy można znaleźć zbiór , taki że oraz
- dla wszystkich .
Formułując tę definicję inaczej, powiemy że ciąg funkcji jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji f, jeśli jest on zbieżny punktowo do funkcji f poza zbiorem miary zero.
- Statystyka
W statystyce, rozważamy zbieżność z prawdopodobieństwem 1 dla ciągów ciąg zmiennych losowych . Mówimy, że ciąg zmiennych losowych dąży z prawdopodobieństwem do zmiennej losowej , przy dążącym do nieskończoności, jeśli . Jest to więc to samo pojęcie co zdefiniowane w języku miary powyżej.
Własności
- Każdy ciąg zbieżny prawie jednostajnie jest zbieżny prawie wszędzie
- Jeśli miara jest σ-skończona oraz ciąg jest -prawie wszędzie zbieżny do funkcji , to ciąg ten jest zbieżny według miary (do tej samej funkcji).
- W szczególności, jeśli ciąg zmiennych losowych określonych na danej przestrzeni probabilistycznej jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 to jest on zbieżny według prawdopodobieństwa.