Gra w chaos: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
m lit., wikizacja |
m Robot zmienia szablon: matematyka stub |
||
Linia 61: | Linia 61: | ||
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]]. |
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]]. |
||
{{ |
{{stub}} |
||
[[Kategoria:Geometria fraktalna]] |
[[Kategoria:Geometria fraktalna]] |
Wersja z 20:57, 22 sie 2008
Gra w chaos to algorytm komputerowego generowania obrazów pewnych fraktali. Generuje on przybliżony obraz atraktora lub punktu stałego dowolnego systemu funkcji iterowanych.
Algorytm
Zaczynając od pewnego punktu x0 kolejne iteracje są dane przy pomocy wzoru xn+1 = fm(xn), gdzie fm(x) jest jedną z funkcji iterowanych, wybieraną niezależnie i losowo dla każdej iteracji. Iteracje zbiegają się do punktu stałego systemu funkcji iterowanych. Jeżeli wartość początkowa x0 należy do atraktora systemu funkcji iterowanych, wówczas wszystkie punkty xn również należą do tego atraktora i z prawdopodobieństwem 1 tworzą w nim zbiór gęsty.
Przykład dla trójkąta Sierpińskiego
Na początku stawia się na płaszczyźnie 3 dowolne punkty (powinny być niewspółliniowe, gdyż inaczej fraktal zdegeneruje się do odcinka), po czym wybiera sobie kolejny punkt płaszczyzny, zwany punktem gry (game point). Następnie wybiera się dowolny z trzech punktów obranych na samym początku (można je oznaczyć 1, 2 i 3, po czym korzystając z generatora liczb losowych wybierać je) i stawia punkt w połowie odległości między czwartym punktem, a tym wybranym. Powtarza się ten krok, za każdym razem oznaczając punkt leżący dokładnie w połowie odległości między ostatnio postawionym, a jednym z trzech pierwszych.
Efektem algorytmu – zakładając, że punkty były losowane z mniej więcej takim samym prawdopodobieństwem – jest pewien wariant trójkąta Sierpińskiego. Jego wierzchołkami są trzy punkty wybrane na samym początku gry.
Implementacja
Poniższy przykład (w języku Python) generuje trójkąt Sierpińskiego przy użyciu gry w chaos, korzystając z biblioteki pygame.
from random import *
sqr = lambda a:a*a
import pygame
scr = pygame.display.set_mode([501, 501])
cnt = 3
pts = (\
complex(0, 500),
complex(500, 500),
complex(250, 0),
)
colors = (\
(255, 0, 0),
(0, 255, 0),
(0, 0, 255)
)
ind = randint(0, cnt - 1)
pt = pts[ind]
color = colors[ind]
div = 2
for i in range(100000):
pygame.draw.rect(scr, color, [pt.real, pt.imag, 2, 2])
newind = randint(0, cnt - 1)
pt = (pt + pts[newind]) / div
color = colors[newind]
pygame.display.flip()
while True:
key = pygame.event.poll()
if key.type == pygame.KEYDOWN and key.key == pygame.K_ESCAPE:
pygame.quit()
break
pygame.time.delay(100)