Układ współrzędnych kartezjańskich

Dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi.

Nazwa tego układu pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie.

Definicja

Układem współrzędnych kartezjańskich nazywamy układ współrzędnych, w którym zadane są:

• punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą $O$ lub cyfrą $0$.
• zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
  • $OX$ (pierwsza oś, zwana osią odciętych),
  • $OY$ (druga, zwana osią rzędnych),

Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni.

Współrzędne

Aby wyznaczyć k-tą współrzędną zadanego punktu $P$:

1. Tworzymy rzut prostokątny punktu $P$ na k-tą oś, tzn. konstruujemy prostą przechodzącą przez $P$ i prostopadłą do k-tej osi a następnie znajdujemy punkt przecięcia tej prostej z k-tą osią.
2. Wartość w uzyskanym punkcie osi jest k-tą współrzędną $P$.

Trzy pierwsze współrzędne są często oznaczane jako:

• $x$ – odcięta, łac. abscissa,
• $y$ – rzędna, łac. ordinata,
• $z$ – kota, łac. applicata.

Właśnie ze sposobu wyznaczania współrzędnych punktu (poprzez rzut prostokątny) kartezjański układ współrzędnych zyskał również nazwę prostokątnego układu współrzędnych używanego przede wszystkim w szkołach.

Podział płaszczyzny

Kartezjański układ współrzędnych $(x,y)$ w dwóch wymiarach dzieli płaszczyznę na cztery tzw. ćwiartki układu współrzędnych:

• I ćwiartka – $\left\{(x,\;y):x>0,\;y>0\right\}$,
• II ćwiartka – $\left\{(x,\;y):x<0,\;y>0\right\}$,
• III ćwiartka – $\left\{(x,\;y):x<0,\;y<0\right\}$,
• IV ćwiartka – $\left\{(x,\;y):x>0,\;y<0\right\}$.

Skrętność przestrzeni trójwymiarowej

Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej może być lewo- lub prawoskrętny. Terminy te są czysto umowne, gdyż nie sposób ściśle zdefiniować, jaki układ jest lewo- czy prawoskrętny, można jednak dla dwóch różnych układów sprawdzić, czy mają tę samą czy przeciwną skrętność.

Intuicyjnie prawoskrętny jest układ, w którym kiedy wnętrze obracającej się prawej dłoni zakreśla łuk od osi $OX$ do $OY$, to kciuk ma zwrot zgodny ze zwrotem osi $OZ$ (tzw. reguła prawej dłoni Royberta albo reguła śruby prawoskrętnej). W ten sposób sprawdzamy, czy badany układ ma tę samą skrętność, co układ wyznaczony przez prawą rękę człowieka.

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• układ współrzędnych
• przestrzeń kartezjańska
• Algorytm Hirvonena