Grupa przestrzenna: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m drobne redakcyjne |
m poprawa linków |
||
Linia 10: | Linia 10: | ||
== Elementy grup przestrzennych == |
== Elementy grup przestrzennych == |
||
Grupy przestrzenne w trójwymiarowej przestrzeni powstały w wyniku połączenia 32 [[ |
Grupy przestrzenne w trójwymiarowej przestrzeni powstały w wyniku połączenia 32 [[Klasa krystalograficzna|krystalograficznych grup punktowych]] z 14 [[Układ krystalograficzny#Sieć Bravais'go|sieciami Bravais’go]] należących do jednego z 7 [[Układ krystalograficzny|układów krystalograficznych]]. Z tego powodu grupy przestrzenne uwzględniają kombinacje [[Translacja (matematyka)|translacji]] [[Sieć krystaliczna|komórki elementarnej]] i operacji wykonywanych na grupach punktowych. |
||
== Notacje grup przestrzennych == |
== Notacje grup przestrzennych == |
||
Linia 41: | Linia 41: | ||
|colspan=2|'''Arytmetyczne grupy przestrzenne''' (73 klasy) |
|colspan=2|'''Arytmetyczne grupy przestrzenne''' (73 klasy) |
||
|- |
|- |
||
|'''Klasy |
|'''[[Klasa krystalograficzna|Klasy krystalograficzne]]''' (32 klasy) |
||
|'''Grupa punktowa sieci Bravais’go''' (14 klas) |
|'''Grupa punktowa sieci Bravais’go''' (14 klas) |
||
|- |
|- |
Wersja z 21:11, 17 sie 2012
Grupa przestrzenna – w matematyce, geometrii i krystalografii jest to grupa symetrii. W przestrzeni trójwymiarowej zazwyczaj dzieli przestrzeń na powtarzalną grupę dyskretną.
W przestrzeni trójwymiarowej istnieje 219 różnych typów grup przestrzennych (230 uwzględniając chiralne). Grupy przestrzenne są badane i występują także w przestrzeniach o różnej ilości wymiarów. Za przykład mogą posłużyć grupy Bieberbacha[1].
W krystalografii spotyka się grupy określane mianem krystalograficznych grup przestrzennych lub grup Fiodorowa. Przedstawiają i opisują symetrie kryształów[2].
Rys historyczny
Grupy przestrzenne w przestrzeni dwuwymiarowej były znane od bardzo dawna. Pierwsze grupy przestrzenne dla przestrzeni trójwymiarowej wyliczono pod koniec XIX wieku. W 1891 roku dokonali tego niezależnie Fiodorow (1853-1919) i Schonflies (1853-1928). W 1894 roku wyliczeń dokonał również Barlow (1845-1934). Pierwsza prace zawierały błędy. Fiodorow i Schonflies korespondencyjnie wymienili się wyliczeniami. Rezultatem tego był w pełni poprawna lista 230 grup przestrzennych[3][4][5].
Elementy grup przestrzennych
Grupy przestrzenne w trójwymiarowej przestrzeni powstały w wyniku połączenia 32 krystalograficznych grup punktowych z 14 sieciami Bravais’go należących do jednego z 7 układów krystalograficznych. Z tego powodu grupy przestrzenne uwzględniają kombinacje translacji komórki elementarnej i operacji wykonywanych na grupach punktowych.
Notacje grup przestrzennych
Istnieje co najmniej dziewięć sposobów określania grup przestrzennych:
- numeryczna – Międzynarodowa Unia Krystalografii (IUCr) publikuje tabele wszystkich typów grup przestrzennych i przypisuje każdej unikatowy numer od 1 do 230. Grupy przestrzenne tych samych układów krystalograficznych i grup punktowych przydzielone mają kolejne numery.
- międzynarodowa (M, notacja Hermanna–Mauguina) – składa się z dużej litery oznaczającej typ sieci Bravais’go, z liczb oznaczających osie symetrii zwykłe, inwersyjne lub śrubowe oraz z małych liter jako symboli płaszczyzn symetrii i poślizgu. Znając reguły składania elementów symetrii możliwe jest przedstawienie rozmieszczenia elementów symetrii w komórce elementarnej[6].
- notacja Kreutza-Zaremby – za twórcze elementy symetrii przyjmuje się osie i środek symetrii. W symbolach klas opuszcza się płaszczyzny symetrii, jeżeli wynikają one z iloczynu osi parzystokrotnych i środka symetrii.
- notacja Schonfliesa – składa się z dużej litery C, D, S, T, O określającej rodzaj grupy obrotowej oraz z dolnych indeksów informujących o krotności głównej osi symetrii (n), rodzaju płaszczyzny symetrii (v, h, d) i o istnieniu środka symetrii (i). Z takich symboli nie można określić typu sieci Bravais’go i wszystkich elementów symetrii grupy[6].
- notacja orbifold dla dwuwymiarowej przestrzeni i notacja fibrifold dla trójwymiarowej przestrzeni – twory matematyczne wprowadzone przez Conwaya i Thurstona. Niektórym grupom przestrzennym można przyporządkować symbole orbifoldów i fibrifoldów[8].
- notacja Coxetera – przestrzenna i punktowa grupa symetrii przedstawiona w postaci grup Coxetera.
Klasyfikacja grup przestrzennych
Istnieje co najmniej 10 różnych możliwości klasyfikowania grup przestrzennych w przestrzeni trójwymiarowej. Skatalogowane są w tabeli od postaci najbardziej szerokiej, aż do wąskich klas na samym dole:
Krystalograficzne grupy przestrzenne (230 klas) | |
Afiniczne grupy przestrzenne (219 klas) | |
Arytmetyczne grupy przestrzenne (73 klasy) | |
Klasy krystalograficzne (32 klasy) | Grupa punktowa sieci Bravais’go (14 klas) |
Układ krystalograficzny (7 klas) | Sieć Bravais’go (7 klas) |
Rodziny kryształów (6 klas) |
Grupa przestrzenna w 3 wymiarach
Układ krystalograficzny | Grupy punktowe | Grupy przestrzenne | ||
---|---|---|---|---|
M | Schonflies | |||
1 | trójskośny (2) | |||
2 | ||||
3–5 | jednoskośny (13) | |||
6–9 | ||||
10–15 | ||||
16–24 | rombowy (59) | |||
25–46 | ||||
47–74 | ||||
75–80 | tetragonalny (68) | |||
81–82 | ||||
83–88 | ||||
89–98 | ||||
99–110 | ||||
111–122 | ||||
123–142 | ||||
143–146 | trygonalny (25) | |||
147–148 | ||||
149–155 | ||||
156–161 | ||||
162–167 | ||||
168–173 | heksagonalny (27) | |||
174 | ||||
175–176 | ||||
177–182 | ||||
183–186 | ||||
187–190 | ||||
191–194 | ||||
195–199 | regularny (36) | |||
200–206 | ||||
207–214 | ||||
215–220 | ||||
221–230 |
Wprowadzenie przez IUCr pojęcia płaszczyzny poślizgu e spowodowało w 1996 roku zmianę symboli i rysunków niektórych grup przestrzennych. Zmiana dotyczyła 7 grup w układzie rombowym oraz pięciu dla układów tetragonalnego i regularnego. Rysunki wszystkich wymienionych grup zostały zmienione. Symbole grup zostały zmienione tylko dla 5 przypadków w układzie rombowym (np. Abm2 na Aem2)[9].
Przypisy
Linki zewnętrzne
- Międzynarodowa Unia Krystalograficzna (UICr) (ang.)
- Grupy punktowe i sieci Bravais’go (ang.)
- Wyszukiwarka grup przestrzennych (ang.)
- Spis grup przestrzennych (ang.)
- Lista wszystkich grup przestrzennych (ang.)
- Spis grup przestrzennych w 3D (ang.)
- Równania symetrii w przestrzeni dwuwymiarowej (ang.)
- Równania symetrii w przestrzeni trójwymiarowej (ang.)
Zobacz też
- ↑ Błąd w przypisach: Błąd w składni elementu
<ref>
. Brak tekstu w przypisie o nazwiegp3
BŁĄD PRZYPISÓW - ↑ Błąd w przypisach: Błąd w składni elementu
<ref>
. Brak tekstu w przypisie o nazwiegp2
BŁĄD PRZYPISÓW - ↑ Błąd w przypisach: Błąd w składni elementu
<ref>
. Brak tekstu w przypisie o nazwiegp4
BŁĄD PRZYPISÓW - ↑ Błąd w przypisach: Błąd w składni elementu
<ref>
. Brak tekstu w przypisie o nazwiegp5
BŁĄD PRZYPISÓW - ↑ Błąd w przypisach: Błąd w składni elementu
<ref>
. Brak tekstu w przypisie o nazwiegp6
BŁĄD PRZYPISÓW - ↑ a b Błąd w przypisach: Błąd w składni elementu
<ref>
. Brak tekstu w przypisie o nazwiegp1
BŁĄD PRZYPISÓW - ↑ Błąd w przypisach: Błąd w składni elementu
<ref>
. Brak tekstu w przypisie o nazwiegp7
BŁĄD PRZYPISÓW - ↑ Błąd w przypisach: Błąd w składni elementu
<ref>
. Brak tekstu w przypisie o nazwiegp8
BŁĄD PRZYPISÓW - ↑ Błąd w przypisach: Błąd w składni elementu
<ref>
. Brak tekstu w przypisie o nazwiegp9
BŁĄD PRZYPISÓW