Geometria

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Przykład rozmaitości Calabiego-Yau, używanych m.in. w teorii strun
Istnieje pięć wielościanów foremnych (brył platońskich) – elementarne twierdzenie euklidesowej stereometrii, udowodnione najpóźniej przez Teajteta (IV w. p.n.e.)
Przykładowe pokrycie (tesselacja) płaszczyzny hiperbolicznej za pomocą siedmiokątów foremnych – użyty tu model to dysk Poincarégo

Geometria (gr. γεωμετρία; geo – ziemia, metria – miara[1]) – jedna z głównych dziedzin matematyki; tradycyjnie i nieformalnie definiowana jako nauka o przestrzeni i jej podzbiorach zwanych figurami[1][2]. W znaczeniu precyzyjnym i ogólnym jest to nauka badająca dla wybranych przekształceń ich niezmienniki, zwłaszcza inne niż moc zbioru czy niezmienniki topologiczne[a]. W zależności od rodzaju przestrzeni i przekształceń mówi się o różnych rodzajach geometrii.

Do XIX wieku geometria badała wyłącznie przestrzenie euklidesowe wymiaru nie większego niż trzy oraz odpowiadające im przestrzenie rzutowe. W takich przestrzeniach można zdefiniować relacje jak równoległość prostych, współliniowość punktów i wielkości jak odległość czy miara kąta, a przez to zachowujące je przekształcenia – odpowiednio afiniczne, rzutowe, izometrie i podobieństwa. Zależności te opisują geometrie afiniczna, rzutowa i euklidesowa. Ta ostatnia jest też historycznym źródłem innych pojęć jak krzywa i jej długość, a także wymiar, pole powierzchni, objętość czy krzywizna; ich uściślenie wymagało jednak metod topologii i analizy, zwłaszcza teorii miary. Tę geometrię przestrzeni euklidesowych niskich wymiarów – niezależnie od badanych niezmienników – tradycyjnie dzieli się też na planimetrię i stereometrię. Obie doczekały się własnych poddziedzin jak trygonometria, geometria sferyczna, wykreślna czy absolutna. Geometrię w tym historycznym znaczeniu można uprawiać zarówno w sposób syntetyczny („tradycyjny”), jak i powstały później analityczny – oparty na współrzędnych, zwykle kartezjańskich[1].

Geometria, tak jak arytmetyka, należy do najstarszych nauk i tak jak ona pozostaje wiecznie żywa. Już od swoich początków te dwie dziedziny wchodzą w nieustanne interakcje; oprócz tego geometria przyczyniła się do powstania innych dyscyplin jak algebra, analiza, teoria grafów czy topologia. Rozwinięta przez Euklidesa metoda aksjomatyczna była wzorcem dla różnych dziedzin, także fundamentalnych jak logika matematyczna i teoria mnogości. Geometria dostarczyła też problemów probabilistyce, którą finalnie oparto na pojęciu miary o geometrycznym rodowodzie. Te obszary „potomne” względem geometrii mocno wpłynęły na nią samą – jej formalizm, metody i zakres badań. Ten ostatni od czasów starożytnych bardzo się poszerzył; najpóźniej w XVII wieku oprócz ściśle rozumianych przestrzeni euklidesowych wprowadzono ich rzutowe odpowiedniki[1], a XIX wiek przyniósł prawdziwą eksplozję tematyki – przez rozważania wyższych wymiarów, geometrii nieuuklidesowych i obejmujących je przestrzeni Riemanna[1]. Uogólnienia poszły jeszcze dalej, przez pojęcia rozmaitości i przestrzeni metrycznych, wykraczające poza geometrię. Wprowadzono także przestrzenie innego typu – skończone jak płaszczyzna Fana czy nawet bezpunktowe.

Geometria jest podstawą różnych nauk przyrodniczych i technicznych – między innymi fizyki z astronomią, pogranicza chemii fizycznej (krystalografia), geodezji z kartografią, budownictwa z architekturą czy inżynierii mechanicznej. Rola geometrii dosięga też innych dziedzin kultury jak sztuka – zwłaszcza sztuki wizualne – czy filozofia. Matematyk zajmujący się geometrią to geometra. Słowo to oznacza również – zwłaszcza historycznie – mierniczego związanego z geodezją, a „geometria” aż do XIX w. była synonimem całej matematyki[potrzebny przypis]. Geometrom sensu stricto wielokrotnie przyznawano najwyższe wyróżnienia dostępne matematykom jak Medal Fieldsa, Nagroda Abela czy – wręczany naukowcom różnych dyscyplin – Medal Copleya.

Historyczny rozwój[edytuj | edytuj kod]

Starożytność i średniowiecze[edytuj | edytuj kod]

Trójkąt egipski – proste narzędzie do odmierzania kąta prostego dzięki odwrotnemu twierdzeniu Pitagorasa
Obrazek z XV wieku przedstawiający ludzi zajętych geometrią

Geometria – podobnie jak inne działy matematyki – wyewoluowała od badania obiektów znanych z życia codziennego, w jej wypadku kształtów. Zajmowali się nią już starożytni mieszkańcy Mezopotamii (III tysiąclecie p.n.e.) i Egiptu (II tysiąclecie p.n.e.)[1]. Znali oni podstawowe fakty z tej dziedziny jak twierdzenie Pitagorasa; już tam geometria dostarczyła tematów teorii liczb jak trójki pitagorejskie, a także przyczyniła się do prapoczątków algebry przez problem równań kwadratowych. Wtedy pojawiły się też zgrubne oszacowania liczby pi (π): 3+1/8 = 3,125 albo (4/3)4 ≈ 3,16[potrzebny przypis].

Systematyczny i ściślejszy rozwój geometrii, oparty na definicjach i dowodach, nastąpił potem w starożytnej Grecji. Proces ten trwał prawie tysiąclecie, od okresu klasycznego do późnego Cesarstwa Rzymskiego. Postępy były wielorakie:

Równolegle rozwijano geometrię w Chinach; w III w. n.e. Liu Hui obliczył liczbę pi z dokładnością wyższą niż Archimedes[potrzebny przypis].

Wczesna nowożytność[edytuj | edytuj kod]

Tablice geometryczne z encyklopedii z 1728 roku
Katenoida – historycznie pierwsze rozwiązanie przykładowego zagadnienia Plateau

W XVI wieku Adriaan van Roomen podał nowe rozwiązanie starożytnego problemu Apoloniusza, jednak jego metoda wykraczała poza konstrukcje klasyczne[potrzebny przypis]. To samo stulecie przyniosło też opis nowej krzywej sferycznej: loksodromy, a także odwzorowania walcowego Mercatora w kartografii.

Najpóźniej w XVII wieku spleciono geometrię z algebrą przez narodziny geometrii analitycznej. Wtedy też – między innymi na potrzeby geometryczne – narodziły się podstawy analizy, a za nią geometria różniczkowa[1]. Nowa dyscyplina doprowadziła do:

  • geometrycznych paradoksów jak róg Gabriela (trąbka Torricellego);
  • postępów w trygonometrii – wyrażenie funkcji trygonometrycznych przez szeregi Taylora pomogło w obliczaniu dokładniejszych tablic, a potem także w znajdowaniu tożsamości jak ta Eulera.

XVII wiek to też początki właściwej geometrii rzutowej dzięki pracom Gérarda Desargues’a i Blaise’a Pascala.

Geometria XVIII wieku podążała głównie w kierunkach wyznaczonych wcześniej; m.in.:

Badania Eulera nad wielościanami doprowadziły do powstania teorii grafów, a koncepcje geometryczne zastosowano w algebrze (płaszczyzna zespolona). Johann Heinrich Lambert udowodnił niewymierność liczby pi, co było pierwszym krokiem do wykazania w XIX wieku, że kwadratura koła i rektyfikacja okręgu nie są możliwe metodami klasycznymi.

XIX wiek[edytuj | edytuj kod]

Siedmiokąt foremny. Z twierdzenia Gaussa-Wantzela oraz prostych obliczeń wynika, że figury tej nie da się skonstruować klasycznie. To dlatego, że siedem jest liczbą nieparzystą, która nie jest iloczynem żadnych liczb Fermata (3, 5, 17...)

XIX wiek przyniósł rewolucję – z jednej strony zaczęto rozważać przestrzenie euklidesowe wyższych wymiarów, a z drugiej pojawiły się badania geometrii nieeuklidesowych jak hiperboliczna (Łobaczewskiego) i eliptyczna. Te dwa kierunki uogólnień połączono przez dużo szersze pojęcie rozmaitości Riemanna[1]. Doprecyzowanie starych pojęć geometrii, zwłaszcza różniczkowej, a także klasyfikacja ogromu nowo rozważanych przestrzeni stworzyły topologię. Pojęcie przestrzeni stało się przez to dużo szersze od pierwotnego znaczenia, abstrakcyjne, obejmujące też np. dowolne przestrzenie metryczne czy liniowe, a wymiar niektórych z nich sięgnął nieskończoności. Poszczególnymi rodzajami przestrzeni i ich niektórymi aspektami zajęły się nauki traktowane jako odrębne od geometrii jak topologia czy algebra liniowa. Przez to geometrię zdefiniowano na nowo, w ramach programu erlangeńskiego – właśnie jako teorię niezmienników, zwłaszcza innych niż te topologiczne[1]. Analiza niezmienników jest też podstawą badania innych obiektów matematycznych (np. przestrzenie topologiczne czy struktury algebraiczne), a wśród niezmienników mogą być pojęcia bardzo ogólne i abstrakcyjne jak punkt stały.

Geometria XIX-wieczna wydała też inne owoce:

XX i XXI wiek[edytuj | edytuj kod]

Fragment przykładowego parkietażu Penrose’a w wersji P3, opartej na dwóch rombach

Wiek XX przyniósł jeszcze nowsze, „egzotyczne” obszary badań jak geometria skończona i nieprzemienna. Rozwinięto też wcześniejsze kierunki jak geometria algebraiczna czy fraktalna[1]; geometrię zastosowano również w teorii katastrof i topologii (hipoteza geometryzacyjna Thurstona)[1].

Postępy nastąpiły również na drugim biegunie abstrakcji, w klasycznej planimetrii wielokątów i innych prostych figur:

Rozwiązano też problemy bliskie geometrii rozumianej klasycznie, choć klasyfikowane inaczej – przykładem jest zagadnienie czterech barw w teorii grafów planarnych.

Od początku XXI wieku udało się między innymi ostatecznie udowodnić postulat Keplera[potrzebny przypis]. Grigorij Perelman w 2003 roku udowodnił hipotezę Thurstona, a przez to wynikającą z niej hipotezę Poincarégo w pierwotnym, trójwymiarowym przypadku. Był to tryumf metod geometrycznych w topologii, uważanej za bardziej ogólną i w pewnym sensie bardziej fundamentalną od geometrii[1]. Mimo to dalej bez odpowiedzi pozostają niektóre pytania „przyziemne” i „prozaiczne”, zadane elementarnie jak:

Aksjomaty Euklidesa[edytuj | edytuj kod]

Geometria powstała w starożytności. W swych początkach była zbiorem przepisów wykonywania pomiarów przedmiotów materialnych. Pierwsze próby formułowania twierdzeń geometrii pojawiły się w VI wieku p.n.e. w starożytnej Grecji (Tales z Miletu). Kompilacją poznanych do III wieku p.n.e. faktów jest dzieło Euklidesa Elementy (ok. 300 p.n.e.). Obejmuje ono teorię proporcji, arytmetykę oraz geometrię. Jest pierwszym dedukcyjnym wykładem geometrii w historii matematyki. Wszystkie twierdzenia są wyprowadzone zgodnie z tradycyjnymi regułami logiki na podstawie przyjętych pojęć pierwotnych i aksjomatów, których było pięć. Jest to również pierwsza aksjomatyczna teoria w historii matematyki. Aksjomatyzacja arytmetyki pojawiła się wiele wieków później.

Momentem przełomowym w rozwoju geometrii było opublikowanie w XVII w. przez matematyka francuskiego Kartezjusza pracy La géométrie, (1637), co zapoczątkowało rozwój geometrii analitycznej. W pracy tej Kartezjusz wprowadził do geometrii metody algebraiczne. Niezależnie i nieco wcześniej uczynił to także Pierre de Fermat, który jednak nie opublikował swych wyników.

Geometrie nieeuklidesowe[edytuj | edytuj kod]

Pięć aksjomatów podanych przez Euklidesa przez dwa tysiąclecia stanowiło podstawę budowy geometrii. Dopiero w drugiej połowie XIX w. stwierdzono, że nie są one wystarczające. W roku 1882 matematyk niemiecki Moritz Pasch podał konieczne uzupełnienia. Pełny zestaw aksjomatów geometrii euklidesowej wraz z dowodem niesprzeczności tego systemu opublikował w 1899 matematyk niemiecki David Hilbert. Jednym z mniej oczywistych aksjomatów sformułowanych przez Euklidesa jest piąty (ostatni) aksjomat o równoległych, zwany często aksjomatem lub pewnikiem (również postulatem) Euklidesa. Jest on równoważny m.in. następującemu twierdzeniu: suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa mierze kąta półpełnego. Przez wiele wieków próbowano wyprowadzić ten aksjomat z pozostałych aksjomatów podanych przez Euklidesa. Próby te (które, jak dziś wiadomo, nie mogły przynieść sukcesu) przyczyniły się do rozwoju innych teorii, a także do powstania geometrii innych niż euklidesowa.

Geometrie te noszą nazwę geometrii nieeuklidesowych, a wspólną ich cechą jest to, że nie jest w nich spełniony piąty aksjomat Euklidesa (przykładami mogą tu być geometria hiperboliczna i geometria eliptyczna). Jedna z takich geometrii, geometria Riemanna, została zastosowana przy konstruowaniu ogólnej teorii względności[1]. Teoria oparta na aksjomatach geometrii euklidesowej bez aksjomatu Euklidesa nazywa się geometrią absolutną. W geometrii absolutnej można wprowadzić na przykład odległość punktów i długość odcinka. Do geometrii absolutnej należą te twierdzenia, które są prawdziwe zarówno w geometrii euklidesowej, jak i w geometrii, w której prawdziwe jest zaprzeczenie piątego aksjomatu.

Powstanie rachunku różniczkowego i całkowego dało początek geometrii różniczkowej. Podwaliny geometrii różniczkowej stworzył szwajcarski matematyk i fizyk Leonhard Euler, a rozwinął ją w znacznym stopniu niemiecki matematyk i fizyk Carl Friedrich Gauss. Pod koniec XVIII wieku powstała geometria wykreślna obejmująca metody graficznego przedstawiania figur przestrzennych na płaszczyźnie. Jednocześnie skrystalizowała się geometria rzutowa, której pewne twierdzenia (na przykład twierdzenie Desargues’a) znane były już wcześniej. Do dalszego rozwoju geometrii duży wkład wniósł matematyk niemiecki Bernhard Riemann, który w 1854 roku dzięki użyciu metod geometrii różniczkowej ogłosił nową teorię. Zaproponował zastąpienie pojęcia płaszczyzny pojęciem powierzchni oraz pojęcia prostej pojęciem linii geodezyjnej, tj. takiej krzywej, leżącej na powierzchni, której łuk o końcach P, Q jest najkrótszym z leżących na powierzchni łuków o końcach P i Q dla P i Q dostatecznie bliskich. Teorię powierzchni Riemanna uogólnia się na wyższe wymiary, co znajduje zastosowanie w fizyce teoretycznej.

Od ogłoszenia przez matematyka niemieckiego Felixa Kleina programu erlangeńskiego zaczęła się rozwijać geometria afiniczna.

Późniejsze kierunki[edytuj | edytuj kod]

Płaszczyzna Fana – przykład skończonej przestrzeni rzutowej; każdą z siedmiu prostych zaznaczono innym kolorem

Za pewnego rodzaju uogólnienie geometrii można uważać topologię. Coraz większego znaczenia zaczęła nabierać geometria algebraiczna. Geometria nie jest jednolitym działem; składa się z wielu różnorodnych dziedzin, w których specjaliści stosują odmienne metody.

Relatywnie nowym działem geometrii są "geometrie skończone", w których liczba punktów na prostej jest skończona. Najważniejsze przykłady skończonych geometrii afinicznych i rzutowych otrzymuje się korzystając z istnienia ciał skończonych Galois. Inne tego typu geometrie skończone nazywa się egzotycznymi. W ramach klasycznej geometrii wyodrębniła się też geometria zbiorów wypukłych oraz – często uważana za ogólniejszą – geometria kombinatoryczna, zajmująca się na przykład ekonomicznym pokryciem płaszczyzny lub ogólniej n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej (kartezjańskiej) przez równoległe przesunięcia danego zbioru ograniczonego, wypukłego, domkniętego, o niepustym wnętrzu.

Wpływ poza matematykę[edytuj | edytuj kod]

Fizyka z astronomią[edytuj | edytuj kod]

Stożek świetlny – podstawa formalizmu teorii względności

Od starożytności rozwijane są optyka geometryczna i badania trajektorii ciał, w tym mechanika nieba. W tych dziedzinach odkrywano nieoczekiwane zastosowania dla geometrii, np. występowanie figur opisanych dużo wcześniej na potrzeby czysto matematyczne. Przykładowo:

W XX wieku geometria znowu wpłynęła na podstawy mechaniki i grawitacji:

Geometria przysłużyła się nie tylko fizyce fundamentalnej, ale i materii skondensowanejparkietaż Penrose’a znalazł zastosowanie do opisu kwazikryształów. Istnieją całe czasopisma naukowe poświęcone związkom geometrii z fizyką[4].

Inne dyscypliny[edytuj | edytuj kod]

Jezus Chrystus jako geometra z cyrklem – malowidło z XIII wieku

Geometria algebraiczna, zwłaszcza krzywych eliptycznych, w XX wieku została użyta w kryptologii[potrzebny przypis].

Pojęcia geometryczne i sama natura tej nauki to istotne elementy doktryn pitagorejskich i platońskich. Przykładowo Platon próbował powiązać klasyczne żywioły z bryłami platońskimi – istnienie pięciu takich figur miało być racją stojącą za:

Tradycyjnie geometrię zaliczano do siedmiu sztuk wyzwolonych, a konkretniej do czterech bardziej zaawansowanych (łac. quadrivium) – jako jednego z rozwinięć arytmetyki. Sposób wykładu geometrii przez Euklidesa był też inspiracją dla niektórych systemów filozoficznych jak ten Barucha Spinozy.

Niektóre koncepcje geometryczne bywają używane w sztuce, czasem jako jej główny temat. Klasycznym przykładem jest tu złoty podział, opisany złotą liczbą fi (φ) i powiązany ze „złotymi figurami” jak złoty trójkąt, trójkąt Keplera, złoty prostokąt, złota spirala itp. Od starożytności są one używane w architekturze (Partenon), typografii i innych sztukach plastycznych, a nawet muzyce[potrzebny przypis]. Motywy geometryczne pojawiają się też w klasyce malarstwa (Melancholia I Albrechta Dürera, Corpus Hypercubus Salvadora Dalego). Postępy w geometrii i topologii – np. opisanie płaszczyzny hiperbolicznej czy wstęgi Möbiusa – były też inspiracją dla wielu prac Mauritsa Cornelisa Eschera.

Geometria w Polsce[edytuj | edytuj kod]

Pierwsza książka o geometrii wydana po polsku – Geometria to jest miernicka nauka Stanisława Grzepskiego (1566)
 Z tym tematem związana jest kategoria: Polscy geometrzy (matematycy).

Od czasów nowożytnych Polscy uczeni mieli pewne osiągnięcia w geometrii; w tej epoce pojawiła się też polskojęzyczna literatura na ten temat:

  • W 1566 roku wydano pierwszą książkę popularyzującą geometrię w języku polskim. Była to Geometria, To jest Miernicka Nauka, po Polsku krótko napisana z Greckich i z Łacińskich ksiąg autorstwa Stanisława Grzepskiego, opublikowana w Krakowie. Był to zarazem pierwszy w Polsce podręcznik geodezji oraz miernictwa[5].
  • Na pograniczu stereometrii euklidesowej oraz teorii miary sformułowano paradoks Banacha-Tarskiego. Mówi on, że przy pewnych założeniach w teorii mnogości – jak często używany aksjomat wyboru – można „podwoić” kulę. Formalnie oznacza to podział na skończoną liczbę części, z których bez deformacji da się złożyć dwie nowe kule, w dodatku tej samej wielkości, co figura wyjściowa.

Geometrią wykreślną zajmował się polski premier Kazimierz Bartel, który wykładał ją na Politechnice Lwowskiej. Geometrię różniczkową badali m.in. Władysław Ślebodziński i Roman Sikorski; Michał Heller ze współpracownikami zastosował geometrię nieprzemienną do teorii względności, zwłaszcza do opisu osobliwości czasoprzestrzennych i do kwantowania grawitacji, w tym do kosmologii kwantowej[potrzebny przypis].

Znaczący geometrzy[edytuj | edytuj kod]

zasłużeni dla geometrii – w kolejnych wierszach:

Euklides (IV–III w. p.n.e.),
René Descartes (XVII w.),
Blaise Pascal (XVII w.),
Leonhard Euler (XVIII w.),
C.F. Gauss (XVIII–XIX w.),
Nikołaj Łobaczewski (XIX w.),
Bernhard Riemann (XIX w.),
Benoît Mandelbrot (XX–XXI w.),
Roger Penrose (XX–XXI w.),

William Thurston (XX–XXI w.)
 Z tym tematem związana jest kategoria: Geometrzy.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Tymi pierwszymi zajmują się kombinatoryka i teoria mnogości, odpowiednio w przypadku zbiorów skończonych i nieskończonych. Jak sugeruje nazwa, niezmiennikami topologicznymi zajmuje się topologia.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c d e f g h i j k l m n o p q Geometria, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-30].
  2. geometria [w:] Encyklopedia Popularna PWN, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986, ISBN 83-01-01-750-3, s. 233.
  3. Paweł Strzelecki, Rzut oka na współczesną matematykę, spotkanie 6: Krzywizna powierzchni i historia zagadnienia Plateau, Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski, 2011, slajd 3.
  4. publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Journal of Geometry and Physics (ang.), journals.elsevier.com [dostęp 2022-02-14].
  5. Stanisław Grzepski: Geometria To iest Miernicka Náuká : po polsku krótko nápisána z Greckich y z Łáćińskich Kśiąg. Teraz nowo wydaná (pol.). W: Akademicka Biblioteka Cyfrowa AGH [on-line]. Łázarz Andrysowic wybijał w Krakowie 1566. [dostęp 2014-05-10].
  6. Eric W. Weisstein, Kochanski's Approximation, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-02-13].

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]