Funkcje parzyste i nieparzyste

Krzywa cosinusa

Funkcje parzyste i nieparzyste – funkcje cechujące się pewną symetrią przy zmianie znaku argumentu. Prowadzi to również do symetrii ich wykresów. Funkcja $f$ jest:

• parzysta, jeżeli spełnia równanie $f(x)=f(-x)$ (symetria względem zmiany znaku argumentu);
• nieparzysta, jeżeli spełnia równanie $f(-x)=-f(x)$ (symetria względem jednoczesnej zmiany znaku argumentu i wartości funkcji).

Równania te muszą być prawdziwe dla wszystkich $x$ należących do dziedziny funkcji $f.$ Powyższe równości wymagają, aby wraz z $x$ do dziedziny należał również punkt $-x,$ stąd dziedziny funkcji parzystych i nieparzystych muszą być symetryczne względem zera.

Przykłady

Istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np. niestała funkcja wykładnicza, a jedynymi funkcjami będącymi jednocześnie parzystymi i nieparzystymi są funkcje stałe równe zeru w każdym punkcie swojej dziedziny.

Funkcje parzyste

• wartość bezwzględna $f(x)=|x|,$
• funkcja potęgowa o parzystym wykładniku, $f(x)=x^{2k},$ gdzie $k\in \mathbb {N} ,$
• funkcja trygonometryczna $f(x)=\cos x,$
• funkcja hiperboliczna $f(x)=\cosh x,$
• wielomiany zawierające niezerowe współczynniki tylko przy parzystych potęgach zmiennej (np. $f(x)=x^{10}+2x^{6}-x^{2}+4$),
• funkcja sinc,
• funkcja Dirichleta,
• funkcja Weierstrassa,
• funkcje prostokątna i trójkątna.

Funkcje nieparzyste

• funkcja liniowa $f(x)=ax$ (proporcjonalność prosta),
• funkcja potęgowa o nieparzystym wykładniku: $f(x)=x^{2k+1},k\in \mathbb {N} ,$
• funkcje trygonometryczne $f(x)=\sin x,$ $f(x)=\operatorname {tg} x$   i   $f(x)=\operatorname {ctg} x,$
• funkcje hiperboliczne $f(x)=\sinh x,$ $f(x)=\operatorname {tgh} \,\!x$   i   $f(x)=\operatorname {ctgh} x,$
• wielomiany o niezerowych współczynnikach tylko przy nieparzystych potęgach zmiennej (np. $f(x)=x^{7}+6x^{5}-10x^{3}+{\sqrt {3\pi }}x$),
• funkcja signum,
• funkcja błędu Gaussa,
• funkcja Gudermanna,
• całka Fresnela.

Własności

• Funkcje parzyste (poza szczególnymi przypadkami funkcji pustej oraz funkcji określonej jedynie w zerze) nigdy nie są różnowartościowe.
• Oba zbiory funkcji parzystych i funkcji nieparzystych ze standardowymi działaniami dodawania i mnożenia przez liczbę stanowią przestrzenie liniowe.
• Każdą funkcję $f,$ dla której takie stwierdzenie ma sens, można przedstawić jako sumę funkcji parzystej $g$ i nieparzystej $h,$ gdzie dla każdego $x$ z dziedziny

  $g(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}$ oraz $h(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}.$

• Przykładami powyższego rozkładu są $e^{x}=\cosh x+\sinh x$ oraz $e^{ix}=\cos x+i\sin x.$
• Niech $f_{1},\,f_{2}$ będą funkcjami parzystymi, a $g_{1},\,g_{2}$ funkcjami nieparzystymi. Wtedy:
  • $f_{1}\cdot f_{2},\ g_{1}\cdot g_{2}$ oraz $f_{1}/f_{2},\ g_{1}/g_{2}$ (tam, gdzie określone) są funkcjami parzystymi,
  • $f_{1}\cdot g_{1}$ oraz $f_{1}/g_{1}$ (tam, gdzie jest określona) są funkcjami nieparzystymi,
  • $f_{1}\circ f_{2},\ f_{1}\circ g_{1},\ g_{1}\circ f_{1}$ jest funkcją parzystą ($\circ$ jest tu złożeniem funkcji),
  • $g_{1}\circ g_{2}$ jest funkcją nieparzystą.

Wykresy

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi $OY,$ a nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Jeśli $0$ należy do dziedziny nieparzystej funkcji $f,$ to $f(0)=0$ (wykres funkcji przechodzi przez początek układu współrzędnych).

Rozszerzenie na inne algebry

Zwykle pojęcia te stosuje się, gdy dziedziną funkcji jest podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, czy w ogólności ciał. Definicje mają jednak sens także dla innych pierścieni, a nawet bardziej ogólnych grup.