Funkcje parzyste i nieparzyste

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcje parzyste i nieparzystefunkcje cechujące się pewną symetrią przy zmianie znaku argumentu. Prowadzi to również do symetrii ich wykresów. Funkcja jest:

  • parzysta, jeżeli spełnia równanie (symetria względem zmiany znaku argumentu);
  • nieparzysta, jeżeli spełnia równanie (symetria względem jednoczesnej zmiany znaku argumentu i wartości funkcji).

Równania te muszą być prawdziwe dla wszystkich należących do dziedziny funkcji . Powyższe równości wymagają, aby wraz z do dziedziny należał również punkt , stąd dziedziny funkcji parzystych i nieparzystych muszą być symetryczne względem zera.

Przykłady[edytuj]

Istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np. niestała funkcja wykładnicza, a jedynymi funkcjami będącymi jednocześnie parzystymi i nieparzystymi są funkcje stałe równe zeru w każdym punkcie swojej dziedziny.

Funkcje parzyste
Funkcje nieparzyste
  • funkcja liniowa (proporcjonalność prosta),
  • funkcja potęgowa o nieparzystym wykładniku: ,
  • funkcje trygonometryczne ,   i   ,
  • funkcje hiperboliczne ,   i   ,
  • wielomiany o niezerowych współczynnikach tylko przy nieparzystych potęgach zmiennej (np. ),
  • funkcja signum,
  • funkcja błędu Gaussa,
  • funkcja Gudermanna,
  • całka Fresnela.

Własności[edytuj]

  • Funkcje parzyste (poza szczególnymi przypadkami funkcji pustej oraz funkcji określonej jedynie w zerze) nigdy nie są różnowartościowe.
  • Oba zbiory funkcji parzystych i funkcji nieparzystych ze standardowymi działaniami dodawania i mnożenia przez liczbę stanowią przestrzenie liniowe.
  • Każdą funkcję , dla której takie stwierdzenie ma sens, można przedstawić jako sumę funkcji parzystej i nieparzystej , gdzie dla każdego z dziedziny
    oraz .
  • Przykładami powyższego rozkładu są oraz .
  • Niech będą funkcjami parzystymi, a funkcjami nieparzystymi. Wtedy:
    • oraz (tam, gdzie określone) są funkcjami parzystymi,
    • oraz (tam, gdzie jest określona) są funkcjami nieparzystymi,
    • jest funkcją parzystą ( jest tu złożeniem funkcji),
    • jest funkcją nieparzystą.

Wykresy[edytuj]

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi , a nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Jeśli należy do dziedziny nieparzystej funkcji , to (wykres funkcji przechodzi przez początek układu współrzędnych).

Rozszerzenie na inne algebry[edytuj]

Zwykle pojęcia te stosuje się, gdy dziedziną funkcji jest podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, czy w ogólności ciał. Definicje mają jednak sens także dla pierścieni, a nawet grup.