Twierdzenie Dulaca-Bendixona

Zgodnie z twierdzeniem Dulaca każdy dwuwymiarowy autonomiczny układ dynamiczny który ma periodyczną orbitę posiada obszar zarówno o dodatniej, jak i ujemnej dywergencji wewnątrz takiej orbity (tutaj odpowiednio czerwone i zielone obszary)

Twierdzenie Dulaca-Benidxona dla układów dynamicznych głosi, że jeśli istnieje funkcja $\varphi (x,y)$ (zwana funkcją Dulaka) taka że:

${\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}\geqslant 0,$

a równość zachodzi jedynie na podzbiorze miary zero w jednospójnej przestrzeni fazowej, to wtedy autonomiczny układ dynamiczny

${\frac {dx}{dt}}=f(x,y),$

${\frac {dy}{dt}}=g(x,y)$

nie ma okresowych rozwiązań, które nie są punktami stałymi, w całości leżącymi wewnątrz obszaru.

Twierdzenie zostało po raz pierwszy sformułowane przez szwedzkiego matematyka Ivara Bendixona w 1901 roku i później udoskonalone przez Henriego Dulaca w 1923 roku, przy użyciu twierdzenia Greena.

Dowód

Niech $\varphi (x,y)$ będzie funkcja taką, że w jednospójnym obszarze $R$ zachodzi

${\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}\geqslant 0$

oraz że równość zachodzi na zbiorze miary zero. Niech $C$ będzie zamkniętą trajektorią wewnątrz $R,$ a $D$ wnętrzem $R.$ Korzystając z twierdzenia Greena otrzymujemy

${\begin{aligned}\iint _{D}\left({\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}\right)\,dx\,dy&=\oint _{C}\left(-\varphi g\,dx+\varphi f\,dy\right)\\[6pt]&=\oint _{C}\varphi \left(-{\dot {y}}\,dx+{\dot {x}}\,dy\right).\end{aligned}}$

Ale na zachodzi $C,$ $dx={\dot {x}}\,dt$ oraz $dy={\dot {y}}\,dt$ zatem całka musi być równa 0. Otrzymujemy sprzeczność. Nie istnieje taka zamknięta trajektoria $C.$

Bibliografia

• Ted Burton: Volterra Integral and Differential Equations. Elsevier, 2005. ISBN 978-0-444-51786-9.brak strony w książce