Układ dynamiczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Układ dynamicznymodel matematyczny rzeczywistego zjawiska przyrody, którego ewolucja jest wyznaczona jednoznacznie przez stan początkowy; najczęściej jest opisany pewnym wektorowym równaniem różniczkowym (czyli w istocie układem równań różniczkowych zwyczajnych), zwanym równaniem stanu. Teoria układów dynamicznych stanowi ważny dział matematyki znajdujący liczne zastosowania przy opisie konkretnych zjawisk, m.in. w teorii sterowania. Układy złożone są najczęściej symulowane komputerowo.

Układ z pamięcią – układu, którego zachowanie zależy od stanu pamięci i zadanego wymuszenia.

Typy układów dynamicznych[edytuj | edytuj kod]

Gładkie[edytuj | edytuj kod]

(pochodzą od autonomicznych równań różniczkowych)

X – zbiór z pewną strukturą różniczkowalną,

(T_t) – rodzina odwracalnych przekształceń różniczkowalnych (dyfeomorfizmów) spełniających warunek T_t{\circ}T_s=T_{t+s}.

Topologiczne[edytuj | edytuj kod]

(dziedzina: dynamika topologiczna)

Niech \mathbf{X} będzie przestrzenią topologiczną oraz \varphi:\mathbf{X}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbf{X} niech będzie odwzorowaniem. Parę \left(\mathbf{X},\varphi\right) nazywa się układem dynamicznym, jeżeli dla wszystkich x\in\mathbf{X} oraz t,s\in\mathbb{R} zachodzą warunki:

\varphi(x,0)=x,
\varphi(\varphi(x,t),s)=\varphi(x,t+s)

oraz \varphi jest odwzorowaniem ciągłym.

Interpretacja[edytuj | edytuj kod]

Interpretacja tej definicji może być następująca:

Przestrzeń \mathbf{X} jest zbiorem wszystkich możliwych stanów, w których może znajdować się pewien fizyczny układ. Zbiór liczb rzeczywistych \mathbb{R} reprezentuje oś czasu. Punkt \varphi(x,t)\; jest interpretowany jako stan układu po upływie czasu t\,, jeżeli wiemy, iż układ ten był w chwili t=0\, w stanie x\,. Warunek drugi powyższej definicji mówi w istocie o tym, że sposób ewolucji początkowego stanu układu nie zależy od czasu, w którym ta ewolucja przebiega.

Teoriomiarowe[edytuj | edytuj kod]

(dziedzina: teoria ergodyczna)

(X,\mathcal{F}, \mu) – przestrzeń z miarą (zwykle probabilistyczna), T\colon X\to Xodwzorowanie mierzalne, o którym często zakłada się, że zachowuje miarę, tzn. \mu(B)=\mu(T^{-1}B)\; dla B\in \mathcal{F}.

Przykładami takich odwzorowań są: przekształcenie piekarza[1][2][3][4][5] oraz przesunięcie w lewo dla uogólnionego schematu Bernoulliego (układu Bernoulliego), albo np.

Tx=2x \mod 1 dla x \in X=[0, 1].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Hiroshi H. Hasagawa and William C. Saphir, "Unitarity and irreversibility in chaotic systems", Physical Review A, 46, p7401 (1992)
  2. Ronald J. Fox, "Construction of the Jordan basis for the Baker map", Chaos, 7 p 254 (1997)
  3. Dean J. Driebe, Fully Chaotic Maps and Broken Time Symmetry, (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Netherlands ISBN 0-7923-5564-4 (Exposition of the eigenfunctions the Baker's map).
  4. Friedrich L. Bauer, Sekrety kryptografii, Helion, 2003, ISBN 83-7197-960-6.
  5. B. Schweizer and A. Sklar, Foundations of Physics, Vol. 20, No. 7, 1990, s. 873