Twierdzenie Josefsona-Nissenzweiga

Twierdzenie Josefsona–Nissenzweiga - twierdzenie mówiące, że dla każdej nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha E można znaleźć ciąg $(x_{n}^{*})$ funkcjonałów liniowych i ciągłych na E, który jest zbieżny do 0 w sensie *-słabej topologii (tj. $\sigma (E^{*},E)$ ) oraz

\|x_{n}^{*}\|=1

dla każdej liczby naturalnej n. Innymi słowy, w przestrzeni sprzężonej do każdej nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha istnieje ciąg punktów ze sfery jednostkowej, który jest zbieżny do 0 w sensie *-słabej topologii (w szczególności, topologia pochodząca od normy jest różna od topologii *-słabej).

Twierdzenie to zostało udowodnione niezależnie w 1975 roku przez B. Josefsona^[1] i A. Nissenzweiga^[2]. Nowy dowód przedstawił E. Behrends^[3]. Istnieje wariant twierdzenia Josefsona–Nissenzweiga dla przestrzeni Frécheta^[4] charakteryzujący przestrzenie Schwarza.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

↑ B. Josefson, "Weak sequential convergence in the dual of a Banach space does not imply norm convergence", Ark. Mat. 13, 79–89.
↑ A. Nissenzweig, " $w^{*}$ sequential convergence", Israel J. Math. 22, 266–272.
↑ E. Behrends, "New proofs of Rosenthal's ℓ¹-theorem and the Josefson-Nissenzweig theorem". Bull. Pol. Acad. Sci., Math., 43 (1995), 283–295.
↑ M. Lindström, T. Schlumprecht, "A Josefson-Nissenzweig theorem for Fréchet spaces". Bull. London Math. Soc. 25 (1993), 55–58.

[1] B. Josefson, "Weak sequential convergence in the dual of a Banach space does not imply norm convergence", Ark. Mat. 13, 79–89.

[2] A. Nissenzweig, " $w^{*}$ sequential convergence", Israel J. Math. 22, 266–272.

[3] E. Behrends, "New proofs of Rosenthal's ℓ¹-theorem and the Josefson-Nissenzweig theorem". Bull. Pol. Acad. Sci., Math., 43 (1995), 283–295.

[4] M. Lindström, T. Schlumprecht, "A Josefson-Nissenzweig theorem for Fréchet spaces". Bull. London Math. Soc. 25 (1993), 55–58.

[1]

[2]

[3]

[4]