Twierdzenie Landaua
Twierdzenie Landaua – klasyczne twierdzenie analizy matematycznej charakteryzujące ciągi należące do przestrzeni ℓp dla p > 1. Nazwa twierdzenia pochodzi o nazwiska matematyka Edmunda Landaua, który opublikował je w roku 1907[1].
Twierdzenie
[edytuj | edytuj kod]Niech oraz niech będzie takim ciągiem liczbowym, że
dla każdego ciągu gdzie
Wówczas tj.
- [2].
W przypadku, gdy na to by wystarcza, by
dla każdego ciągu zbieżnego do 0[3].
Dowód
[edytuj | edytuj kod]Niech Dla każdej liczby naturalnej wzór
definiuje ciągły funkcjonał liniowy na przestrzeni o normie
- [4].
Z twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że
To kończy dowód, gdyż
- [3].
Uwagi o dowodzie
[edytuj | edytuj kod]Powyższy dowód oparty jest o twierdzenie Banacha-Steinhausa, które wymaga w dowodzie użycia pewnej formy aksjomatu wyboru[5]. Josef Berger i Douglas Bridges wykazali[6], że istnieje całkowicie konstruktywny dowód twierdzenia Landaua.
Rozszerzenie twierdzenia na funkcje całkowalne
[edytuj | edytuj kod]- Osobny artykuł:
Istnieje analogiczna wersja twierdzenia Landaua dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a. Twierdzenie to mówi, że jeżeli funkcja jest mierzalna w sensie Lebesgue’a na przedziale oraz iloczyn jest całkowalny na dla każdej funkcji to gdzie oraz bądź oraz [7].
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ E. Landau, Über einen Konvergenzsatz, „Nachr. Königl. Ges. Wiss. Göttingen” 8 (1907), s. 25–27.
- ↑ Musielak 1989 ↓, s. 157–158.
- ↑ a b Alexiewicz 1969 ↓, s. 179.
- ↑ Alexiewicz 1969 ↓, s. 161.
- ↑ Adrian F.D. Fellhauer, On the relation of three theorems in analysis and the axiom of choice, „Journal of Logic & Analysis” 9:1 (2017), s. 1–23.
- ↑ J. Berger, D. Bridges. Constructive Study of Landau’s Summability Theorem, 6th Int’l Conf. on Computability and Complexity in Analysis (2009) Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik, 61–70.
- ↑ Musielak 1989 ↓, s. 158.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Andrzej Alexiewicz: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969.
- Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Wyd. 4. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989.