Forma liniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Forma liniowa albo funkcjonał liniowy (kowektor) – przekształcenie liniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli funkcjonał, który jest liniowy, tj. addytywny i jednorodny. Pojęcie to uogólnia się bez zmian na przypadek modułów nad pierścieniami.

Definicja formalna[edytuj]

Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem Przekształcenie nazywa się formą liniową albo funkcjonałem liniowym (bądź kowektorem), jeżeli jest ona

  • jednorodna,
  • addytywna,

równoważnie można powiedzieć, że jest liniowa, tj. spełnia

Własności[edytuj]

Każda forma liniowa jest albo trywialna (równa zeru dla każdego wektora) albo „na” (ciało skalarów), co wynika wprost z uwagi, iż może być traktowana jako jednowymiarowa przestrzeń liniowa – jej jedynymi podprzestrzeniami są podprzestrzeń trywialna lub niewłaściwa Formy liniowe o tym samym jądrze są proporcjonalne.

Forma liniowa jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jej jądro jest domknięte. Wartość bezwzględna dowolnej formy liniowej jest półnormą na przestrzeni liniowej, na której została określona.

Przykłady[edytuj]

  • dana wzorem
  • dana wzorem
 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Przestrzeń funkcjonałów[edytuj]

Zbiór wszystkich form liniowych tworzy przestrzeń liniową (por. przestrzeń funkcyjna) z działaniami dodawania form liniowych, i ich mnożenia przez skalar, określonymi „punktowo”, tj.

oraz

Wspomnianą przestrzeń nazywa się przestrzenią dualną (lub sprzężoną) do przestrzeni i oznacza symbolem W przypadku, gdy jest przestrzenią liniową nieskończonego wymiaru (z dodatkową strukturą topologiczną, tj. przestrzenią liniowo-topologiczną) daleko bardziej produktywne bywa ograniczenie się do podprzestrzeni wszystkich tych form liniowych, które są ciągłe (zob. operator liniowy nieciągły).

Jeśli jest skończeniewymiarowa, to gdyż wszystkie formy liniowe są wtedy ciągłe; a ponadto przestrzenie oraz są równego wymiaru, co oznacza, iż są one izomorficzne (jako izomorficzne z tymi samymi przestrzeniami współrzędnych). Utożsamienie przestrzeni liniowej z jej dualną umożliwia za pomocą formy dwuliniowej bądź formy półtoraliniowej (szczególnie, gdy ciałem skalarów są liczby rzeczywiste lub zespolone) umożliwia uprawianie na niej geometrii – standardowym sposobem tego rodzaju utożsamienia jest wprowadzenie iloczynu skalarnego – ten naturalny krok tłumaczy alternatywną nazwę form liniowych: „kowektor”, wynika to z faktu, iż kowektory danej przestrzeni mają nieco inne własności niż wektory (zob. dualność i iloczyn skalarny w przestrzeniach współrzędnych).

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Andrzej Birkholc: Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych. Warszawa: PWN, 1986.