Forma liniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Forma liniowa (funkcjonał liniowy, kowektor) – przekształcenie liniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli funkcjonał, który jest liniowy, tj. addytywny i jednorodny. Pojęcie to uogólnia się bez zmian na przypadek modułów nad pierścieniami.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem Przekształcenie nazywa się formą liniową (funkcjonałem liniowym, kowektorem), jeżeli jest ona

  • jednorodna,
  • addytywna,

równoważnie można powiedzieć, że jest liniowa, tj. spełnia

Przykład: Funkcjonały liniowe w Rn[edytuj | edytuj kod]

Niech wektory przestrzeni rzeczywistej są reprezentowane jako wektory kolumnowe

Wtedy każdy funkcjonał liniowy postaci

można wyrazić w postaci wektora wierszowego Działanie funkcjonału na wektor można wyrazić jako mnożenie skalarne wektora przez wektor :

Przykładowy funkcjonał[edytuj | edytuj kod]

Funkcjonał dany jest wzorem

Funkcjonał ten można przedstawić za pomocą wektora wierszowego, tj.

a wektory przestrzeni za pomocą wektorów kolumnowych

Przestrzeń liniowa funkcjonałów[edytuj | edytuj kod]

Zbiór wszystkich funkcjonałów tworzy przestrzeń liniową nad ciałem liczb rzeczywistych, gdyż dowolna kombinacja liniowa funkcjonałów jest funkcjonałem, np.

oraz

Przestrzeń metryczna funkcjonałów[edytuj | edytuj kod]

Działania na funkcjonałach można zastąpić działaniami na wektorach wierszowych i np. zdefiniować iloczyn skalarny funkcjonałów za pomocą iloczynu skalarnego odpowiadających im wektorów wierszowych. W ten sposób przestrzeń funkcjonałów staje się przestrzenią metryczną. Wymiar przestrzeni z przykładu jest równy 3: jest tak dlatego, że dowolny funkcjonał można przedstawić w bazie trzech liniowo niezależnych funkcjonałów; odpowiadają im trzy liniowo niezależne wektory wierszowe; jako bazę wybiera się standardowo funkcjonały reprezentowane przez wektory postaci

które są wzajemnie ortogonalne, przy tym wektorom odpowiadają funkcjonały dane wzorami:

Przestrzeń dualna. Kowektory[edytuj | edytuj kod]

Wymiar przestrzeni funkcjonałów jest tu równy 3 – czyli jest równy wymiarowi przestrzeni, na jakiej funkcjonały działają. Silna zależność przestrzeni funkcjonałów od przestrzeni, na jakiej działają powoduje, że przestrzeń tą nazywa się przestrzenią dualną lub sprzężoną do i oznacza w podanym przykładzie przestrzeń dualna jest przestrzenią rzeczywistą, tj. elementy przestrzeni dualnej nazywa się kowektorami.

Zauważmy, że podane wyżej kowektory odpowiadające funkcjonałom są unormowane do 1, jeżeli jako normę wprowadzi się standardowy iloczyn skalarny w przestrzeni dualnej Bazę tak unormowaną nazywa się bazą dualną ortonormalną.

Całkowanie jako funkcjonał[edytuj | edytuj kod]

Funkcjonały liniowe pojawiły się po raz pierwszy w analizie funkcjonalnej, która bada przestrzenie wektorowe funkcji, a typowym przykładem funkcjonału liniowego jest całkowanie.

Przykład: Całka Riemanna jest funkcjonałem z przestrzeni funkcji ciągłych na przedziale [ab] na zbiór liczb rzeczywistych, danym wzorem

Liniowość funkcjonału całkowego wynika z podstawowych własności całki:

Własności funkcjonałów[edytuj | edytuj kod]

Każda forma liniowa jest albo trywialna (równa zeru dla każdego wektora) albo „na” (ciało skalarów), co wynika wprost z uwagi, iż może być traktowana jako jednowymiarowa przestrzeń liniowa – jej jedynymi podprzestrzeniami są podprzestrzeń trywialna lub niewłaściwa Formy liniowe o tym samym jądrze są proporcjonalne.

Forma liniowa jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jej jądro jest domknięte. Wartość bezwzględna dowolnej formy liniowej jest półnormą na przestrzeni liniowej, na której została określona.

Przestrzeń funkcjonałów[edytuj | edytuj kod]

Zbiór wszystkich form liniowych z przestrzeni na ciało tworzy przestrzeń liniową (por. przestrzeń funkcyjna) z działaniami dodawania form liniowych, i mnożenia przez skalary, jeżeli jest wektorem przestrzeni a jest skalarem w to

oraz

Przestrzeń nazywa się przestrzenią dualną (lub sprzężoną) do przestrzeni i oznacza symbolem W przypadku, gdy jest przestrzenią liniową nieskończonego wymiaru (z dodatkową strukturą topologiczną, tj. przestrzenią liniowo-topologiczną) daleko bardziej produktywne bywa ograniczenie się do podprzestrzeni wszystkich tych form liniowych, które są ciągłe (zob. operator liniowy nieciągły).

Jeśli jest skończeniewymiarowa, to gdyż wszystkie formy liniowe są wtedy ciągłe; a ponadto przestrzenie oraz są równego wymiaru, co oznacza, iż są one izomorficzne (jako izomorficzne z tymi samymi przestrzeniami współrzędnych). Utożsamienie przestrzeni liniowej z jej przestrzenią dualną za pomocą formy dwuliniowej bądź formy półtoraliniowej (szczególnie, gdy ciałem skalarów są liczby rzeczywiste lub zespolone) umożliwia zdefiniowanie na niej geometrii. Np. standardowym sposobem tego rodzaju utożsamienia jest wprowadzenie iloczynu skalarnego. Ten naturalny krok tłumaczy alternatywną nazwę form liniowych: „kowektor”. Kowektory danej przestrzeni mają nieco inne własności niż wektory (zob. dualność i iloczyn skalarny w przestrzeniach współrzędnych).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Andrzej Birkholc: Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych. Warszawa: PWN, 1986.