Twierdzenie Morery

Twierdzenie Morery – twierdzenie analizy zespolonej mówiące, że jeśli funkcja $f,$ określona na pewnym obszarze $D$ płaszczyzny zespolonej o wartościach zespolonych jest ciągła oraz jeżeli dla dowolnego trójkąta $\Delta \subseteq D$ całka krzywoliniowa po $\Delta$ z tej funkcji jest równa zeru, tj.

$\oint \limits _{\Delta }f(z)\ \mathrm {d} z=0,$

to funkcja ta jest holomorficzna w $D$.

Twierdzenie Morery jest w pewnym sensie odwróceniem lematu Goursata (twierdzenia całkowego Cauchy’ego).

Przykłady zastosowań

Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji holomorficznych $(f_{n})$ określonych na pewnym obszarze $D$ płaszczyzny zespolonej jest holomorficzna.

Dowód. Niech $f$ będzie granicą jednostajnie zbieżnego ciągu $(f_{n}).$ Wówczas z twierdzenia Weierstrassa, $f$ jest funkcją ciągłą. Niech $\Delta \subseteq D$ będzie trójkątem oraz niech $o(\Delta )$ oznacza obwód $\Delta .$ Z twierdzenia całkowego Cauchy’ego wynika, że

$\oint \limits _{\Delta }f_{n}(z)\ \mathrm {d} z=0$

dla każdego $n.$ Wówczas

$\left|\oint \limits _{\Delta }f(z)\ \mathrm {d} z\right|=\left|\oint \limits _{\Delta }(f(z)-f_{n}(z))\ \mathrm {d} z\right|\leqslant o(\Delta )\cdot \sup _{z\in \Delta }|f(z)-f_{n}(z)|\;{\stackrel {n\to \infty }{\longrightarrow }}\;0,$

a więc

$\oint \limits _{\Delta }f(z)\ \mathrm {d} z=0$.

Bibliografia

• Mats Andersson: Topics in Complex Analysis. New York: Springer-Verlag, 1997, seria: Universitext: Tracts in Mathematics. ISBN 978-0-387-94754-9.
• David C. Ullrich: Complex Made Simple. American Mathematical Society, 2008, seria: Graduate Studies in Mathematics 97. ISBN 978-0-8218-4479-3.