Twierdzenie Morery

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Morerytwierdzenie analizy zespolonej mówiące, że jeśli funkcja f, określona na pewnym obszarze D płaszczyzny zespolonej o wartościach zespolonych jest ciągła oraz jeżeli dla dowolnego trójkąta ΔD całka krzywoliniowa po Δ z tej funkcji jest równa zeru, tj.

to funkcja ta jest holomorficzna w D[1].

Twierdzenie Morery jest w pewnym sensie odwróceniem lematu Goursata (twierdzenia całkowego Cauchy’ego).

Przykłady zastosowań[edytuj]

Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji holomorficznych (fn) określonych na pewnym obszarze D płaszczyzny zespolonej jest holomorficzna.

Dowód. Niech f będzie granicą jednostajnie zbieżnego ciągu (fn). Wówczas z twierdzenie Weierstrassa, f jest funkcją ciągłą. Niech ΔD będzie trójkątem oraz niech o(Δ) oznacza obwód Δ. Z twierdzenia całkowego Cauchy’ego wynika, że
dla każdego n. Wówczas
a więc
[2]

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

  1. Mats Andersson: Topics in Complex Analysis. New York: Springer-Verlag, 1997, seria: Universitext: Tracts in Mathematics. ISBN 978-0-387-94754-9.
  2. David C. Ullrich: Complex Made Simple. American Mathematical Society, 2008, seria: Graduate Studies in Mathematics 97. ISBN 978-0-8218-4479-3.