|
Ten artykuł od 2013-08 wymaga zweryfikowania podanych informacji: związki z formami różniczkowymi.Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Całka krzywoliniowa – całka, w której całkowana funkcja przyjmuje wartości wzdłuż pewnej krzywej (regularnej). Gdy krzywa całkowania jest zamknięta, to całkę nazywa się niekiedy całką okrężną.
Funkcja podcałkowa może być polem skalarnym lub wektorowym; w pierwszym przypadku mówi się o całce krzywoliniowej nieskierowanej lub niezorientowanej, w drugim zaś o całce krzywoliniowej skierowanej bądź zorientowanej; nieco innym pojęciem jest opisana w dalszej części całka krzywoliniowa zespolona. Wartość całki krzywoliniowej można sobie wyobrażać jako sumę wartości pola (skalarnego lub wektorowego) we wszystkich punktach z wagą opisaną przez pewną funkcję skalarną na krzywej (w przypadku całki nieskierowanej waga ta jest powiązana z długością łuku, a w przypadku całki skierowanej – z jego parametryzacją, a dokładniej z jej składowymi, czyli rzutami tego łuku na osie współrzędnych). Wspomniana waga odróżnia całkę krzywoliniową od prostszych całek określonych na przedziałach. Wiele prostych wzorów fizycznych ma naturalne, ciągłe odpowiedniki wyrażone w języku całek krzywoliniowych, np.

odpowiada

gdzie całka krzywoliniowa skierowana opisuje pracę wykonaną przez obiekt poprzez przemieszczanie go w polu elektrycznym lub grawitacyjnym.
Dwuwymiarowe
pole skalarne 
można przedstawić jako
powierzchnię
zanurzoną w
trójwymiarowej przestrzeni 
(pokolorowana): całka krzywoliniowa z

wzdłuż krzywej

leżącej w płaszczyźnie

może być przedstawiona jako pole powierzchni „kurtyny” (zacieniowanej na niebiesko) łączącej pionowo krzywą

(zaznaczonej na czerwono) z powierzchnią

które można wyznaczyć po
wyprostowaniu krzywej za pomocą całki prostoliniowej.
Całkę nieskierowaną pola skalarnego
wzdłuż krzywej regularnej (tzn. krzywej kawałkami gładkiej)
definiuje się wzorem

gdzie
jest dowolną wzajemnie jednoznaczną parametryzacją krzywej
przy czym
oraz
opisują końce krzywej
Funkcję
nazywa się funkcją podcałkową, krzywa
to dziedzina całkowania, zaś symbol
może być intuicyjnie rozumiany jako element długości krzywej. Całka krzywoliniowa pola skalarnego wzdłuż krzywej
nie zależy od wybranej parametryzacji
tej krzywej. W szczególności nie jest istotne, który z końców uznać za pierwszy, tzn.

gdzie
oznacza dowolną parametryzację przeciwną do danej parametryzacji
np. parametryzację
dla parametryzacji
krzywej
gdzie
Całka funkcji
dla zawierającej się w płaszczyźnie krzywej
o parametryzacji
gdzie
przyjmuje postać

Całkę krzywoliniową pola skalarnego można skonstruować za pomocą sumy Riemanna korzystając z powyższych definicji
oraz parametryzacji
krzywej
Można to uczynić poprzez podział przedziału
na
podprzedziałów
długości
wtedy
oznacza pewien punkt, nazywany dalej punktem próbkowym, na krzywej
Można wykorzystać zbiór punktów próbkowych
do przybliżenia krzywej
za pomocą łamanej przez połączenie odcinkiem każdej pary punktów próbkowych
oraz
Odległość między każdą parą sąsiednich punktów krzywych oznaczana będzie w dalszym ciągu przez
Iloczyn
można związać z polem zorientowanym prostokąta o wysokości i szerokości odpowiednio
oraz
Ponieważ

to biorąc granicę sumy wyrazów przy długości podziałów dążącej do zera,

otrzymuje się całkę Riemanna

Całkę z pola wektorowego
wzdłuż krzywej regularnej
w kierunku
definiuje się jako

gdzie
oznacza iloczyn skalarny, zaś
jest wzajemnie jednoznaczną parametryzacją krzywej
przy czym
oraz
wyznaczają końce
Całka nieskierowana pola skalarnego jest zatem całką skierowaną pola wektorowego, w którym wektory są zawsze styczne do krzywej.
Całki pól wektorowych są niezależne od parametryzacji
w wartości bezwzględnej, jednak zależą one od jej orientacji: odwrócenie orientacji parametryzacji zmienia znak całki na przeciwny.
Jeżeli
jest krzywą zamkniętą, tzn. jej punkty końcowe pokrywają się, to całkę nazywa się okrężną i czasami korzysta się z oznaczenia

Jeśli krzywa
zawiera się w płaszczyźnie i jest przy tym opisana parametryzacją
gdzie
to całka z funkcji
wyraża się wzorem

Cząsteczka (zaznaczona na czerwono) przemieszcza się z punktu

do punktu

wzdłuż krzywej

w polu wektorowym

W prawym dolnym rogu przedstawiono pole wektorowe „z punktu widzenia” cząsteczki: w układzie odniesienia cząsteczki wraz ze zmianą kierunku cząsteczki (czerwona strzałka) zmieniają się wektory osiowe (szare strzałki); niebieska strzałka to oddziaływanie pola wektorowego na cząstkę w jej bieżącym położeniu; rzut pola wektorowego na kierunek ruchu cząsteczki (ich iloczyn skalarny) zaznaczony kolorem zielonym jest więc miarą pracy jaką wykonuje pole wektorowe nad cząstką w danym punkcie. Wartość całki krzywoliniowej jest więc równa pracy pola wektorowego nad cząstką wzdłuż całej jej trajektorii.
Całkę krzywoliniową skierowaną pola wektorowego można skonstruować analogicznie do całki nieskierowanej pola skalarnego. Wykorzystując definicje
oraz parametryzacji
krzywej
można skonstruować ją za pomocą sumy Riemanna. Dzieląc przedział
na
przedziałów długości
oznaczając przez
i-ty punkt na
pozycja i-tego punktu na krzywej
będzie dana przez
Jednakże zamiast obliczać odległości między kolejnymi punktami należy wyznaczyć ich wektory przesunięcia
Jak poprzednio, obliczenie
we wszystkich punktach krzywej i wzięcie iloczynu skalarnego z każdym z wektorów przesunięcia daje nieskończenie mały przyrost każdego podziału
na
Przejście z długością podprzedziałów do granicy dążącej do zera daje sumę

Wektor przesunięcia między sąsiadującymi punktami krzywej jest dany jako

z tego powodu rozpatrywana całka jest równa

Jeżeli pole wektorowe
jest gradientem pola skalarnego
tzn.

to pochodna funkcji złożonej z
oraz
wyraża się przez

co pokrywa się z funkcją podcałkową całki krzywoliniowej
względem
Oznacza to, że dla danej drogi
zachodzi

Innymi słowy całka
wzdłuż
zależy wyłącznie od wartości
w punktach
oraz
i jest w ten sposób niezależna od drogi między nimi. Z tego powodu o całce krzywoliniowej pola wektorowego, które jest gradientem pola skalarnego, mówi się, że jest ona niezależna od drogi całkowania.
W szczególności, jeśli
jest krzywą zamkniętą, tzn.
to w rozpatrywanym przypadku

Całka krzywoliniowa jest zasadniczym narzędziem analizy zespolonej. Niech
oznacza podzbiór otwarty płaszczyzny liczb zespolonych
przy tym dana będzie krzywa prostowalna
oraz funkcja
Całka krzywoliniowa

może być zdefiniowana poprzez podział przedziału
na

i rozważenie wyrażenia

Całka jest wówczas granicą tej sumy przy długościach podziałów dążących do zera.
Jeśli
jest krzywą różniczkowalną w sposób ciągły, to całka krzywoliniowa może być wyznaczona jako całka funkcji zmiennej rzeczywistej:

Jeśli
jest krzywą zamkniętą, tzn. jej punkt początkowy i końcowy pokrywają się, to stosuje się także zapis

Do zasadniczych własności tej całki należy oszacowanie

gdzie:

oznacza długość krzywej
zaś
jest oszacowaniem górnym na wartości
tzn.

Całki krzywoliniowe funkcji zespolonych można obliczać na wiele różnych sposobów: uprościć je za pomocą powyższego oszacowania, podzielić na części rzeczywistą i urojoną redukując problem do obliczenia dwóch całek krzywoliniowych o wartościach rzeczywistych bądź za pomocą wzoru całkowego Cauchy’ego. Jeśli całka krzywoliniowa dana jest wzdłuż krzywej zamkniętej w obszarze, gdzie funkcja jest holomorficzna i nie zawiera osobliwości, to wartością tej całki jest po prostu zero; jest to konsekwencja twierdzenia całkowego Cauchy’ego. Ze względu na twierdzenie o residuach można wykorzystać całkowanie po krzywej zamkniętej w płaszczyźnie zespolonej do znalezienia całek funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych (przykład w artykule o twierdzeniu).
Niech dana będzie funkcja
oraz krzywa zamknięta
będąca okręgiem jednostkowym wokół zera, którą można sparametryzować za pomocą
gdzie
Podstawiając powyższe do definicji otrzymuje się

Wyżej, korzysta się z faktu, że dowolną liczbę zespoloną
można zapisać w postaci
gdzie
oznacza moduł
przy czym dla okręgu jednostkowego
tak więc jedyną zmienną wolną jest kąt oznaczany wyżej przez
Rezultat ten można porównać z wynikiem otrzymanym przez wzór całkowy Cauchy’ego.
Całka skierowana a zespolona[edytuj | edytuj kod]
Postrzegając liczby zespolone jako dwuwymiarowe wektory można zauważyć, że całka krzywoliniowa dwuwymiarowego pola wektorowego odpowiada części rzeczywistej całki krzywoliniowej sprzężenia odpowiedniej funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Dokładniej, jeśli
oraz
to

przy założeniu, że obie całki po prawej stronie równości istnieją, a parametryzacje
oraz
krzywej
są zgodne (mają tę samą orientację).
Ze względu na równania Cauchy’ego-Riemanna rotacja pola wektorowego odpowiadającego sprzężeniu funkcji holomorficznej wynosi zero. Twierdzenie Stokesa sprawia, że oba rodzaje całek dają zero.
Całka krzywoliniowa może być również obliczona przez zamianę zmiennych.