Całka krzywoliniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Całka krzywoliniowacałka, w której całkowana funkcja przyjmuje wartości wzdłuż pewnej krzywej (regularnej). Gdy krzywa całkowania jest zamknięta, to całkę nazywa się niekiedy całką okrężną.

Funkcja podcałkowa może być polem skalarnym lub wektorowym; w pierwszym przypadku mówi się o całce krzywoliniowej nieskierowanej lub niezorientowanej, w drugim zaś o całce krzywoliniowej skierowanej bądź zorientowanej; nieco innym pojęciem jest opisana w dalszej części całka krzywoliniowa zespolona. Wartość całki krzywoliniowej można sobie wyobrażać jako sumę wartości pola (skalarnego lub wektorowego) we wszystkich punktach z wagą opisaną przez pewną funkcję skalarną na krzywej (w przypadku całki nieskierowanej waga ta jest powiązana z długością łuku, a w przypadku całki skierowanej – z jego parametryzacją, a dokładniej z jej składowymi, czyli rzutami tego łuku na osie współrzędnych). Wspomniana waga odróżnia całkę krzywoliniową od prostszych całek określonych na przedziałach. Wiele prostych wzorów fizycznych ma naturalne, ciągłe odpowiedniki wyrażone w języku całek krzywoliniowych, np.

odpowiada

gdzie całka krzywoliniowa skierowana opisuje pracę wykonaną przez obiekt poprzez przemieszczanie go w polu elektrycznym lub grawitacyjnym.

Całka nieskierowana[edytuj]

Dwuwymiarowe pole skalarne można przedstawić jako powierzchnię zanurzoną w trójwymiarowej przestrzeni (pokolorowana): całka krzywoliniowa z wzdłuż krzywej leżącej w płaszczyźnie może być przedstawiona jako pole powierzchni „kurtyny” (zacieniowanej na niebiesko) łączącej pionowo krzywą (zaznaczonej na czerwono) z powierzchnią które można wyznaczyć po wyprostowaniu krzywej za pomocą całki prostoliniowej.

Całkę nieskierowaną pola skalarnego wzdłuż krzywej regularnej (tzn. krzywej kawałkami gładkiej) definiuje się wzorem

gdzie jest dowolną wzajemnie jednoznaczną parametryzacją krzywej przy czym oraz opisują końce krzywej

Funkcję nazywa się funkcją podcałkową, krzywa to dziedzina całkowania, zaś symbol może być intuicyjnie rozumiany jako element długości krzywej. Całka krzywoliniowa pola skalarnego wzdłuż krzywej nie zależy od wybranej parametryzacji tej krzywej. W szczególności nie jest istotne, który z końców uznać za pierwszy, tzn.

gdzie oznacza dowolną parametryzację przeciwną do danej parametryzacji np. parametryzację dla parametryzacji krzywej gdzie

Całka funkcji dla zawierającej się w płaszczyźnie krzywej o parametryzacji gdzie przyjmuje postać

Konstrukcja[edytuj]

Całkę krzywoliniową pola skalarnego można skonstruować za pomocą sumy Riemanna korzystając z powyższych definicji oraz parametryzacji krzywej Można to uczynić poprzez podział przedziału na podprzedziałów długości wtedy oznacza pewien punkt, nazywany dalej punktem próbkowym, na krzywej Można wykorzystać zbiór punktów próbkowych do przybliżenia krzywej za pomocą łamanej przez połączenie odcinkiem każdej pary punktów próbkowych oraz Odległość między każdą parą sąsiednich punktów krzywych oznaczana będzie w dalszym ciągu przez Iloczyn można związać z polem zorientowanym prostokąta o wysokości i szerokości odpowiednio oraz Ponieważ

to biorąc granicę sumy wyrazów przy długości podziałów dążącej do zera,

otrzymuje się całkę Riemanna

Całka skierowana[edytuj]

Całkę z pola wektorowego wzdłuż krzywej regularnej w kierunku definiuje się jako

gdzie oznacza iloczyn skalarny, zaś jest wzajemnie jednoznaczną parametryzacją krzywej przy czym oraz wyznaczają końce

Całka nieskierowana pola skalarnego jest zatem całką skierowaną pola wektorowego, w którym wektory są zawsze styczne do krzywej.

Całki pól wektorowych są niezależne od parametryzacji w wartości bezwzględnej, jednak zależą one od jej orientacji: odwrócenie orientacji parametryzacji zmienia znak całki na przeciwny.

Jeżeli jest krzywą zamkniętą, tzn. jej punkty końcowe pokrywają się, to całkę nazywa się okrężną i czasami korzysta się z oznaczenia

Jeśli krzywa zawiera się w płaszczyźnie i jest przy tym opisana parametryzacją gdzie to całka z funkcji wyraża się wzorem

Konstrukcja[edytuj]

Cząsteczka (zaznaczona na czerwono) przemieszcza się z punktu do punktu wzdłuż krzywej w polu wektorowym W prawym dolnym rogu przedstawiono pole wektorowe „z punktu widzenia” cząsteczki: w układzie odniesienia cząsteczki wraz ze zmianą kierunku cząsteczki (czerwona strzałka) zmieniają się wektory osiowe (szare strzałki); niebieska strzałka to oddziaływanie pola wektorowego na cząstkę w jej bieżącym położeniu; rzut pola wektorowego na kierunek ruchu cząsteczki (ich iloczyn skalarny) zaznaczony kolorem zielonym jest więc miarą pracy jaką wykonuje pole wektorowe nad cząstką w danym punkcie. Wartość całki krzywoliniowej jest więc równa pracy pola wektorowego nad cząstką wzdłuż całej jej trajektorii.

Całkę krzywoliniową skierowaną pola wektorowego można skonstruować analogicznie do całki nieskierowanej pola skalarnego. Wykorzystując definicje oraz parametryzacji krzywej można skonstruować ją za pomocą sumy Riemanna. Dzieląc przedział na przedziałów długości oznaczając przez i-ty punkt na pozycja i-tego punktu na krzywej będzie dana przez Jednakże zamiast obliczać odległości między kolejnymi punktami należy wyznaczyć ich wektory przesunięcia Jak poprzednio, obliczenie we wszystkich punktach krzywej i wzięcie iloczynu skalarnego z każdym z wektorów przesunięcia daje nieskończenie mały przyrost każdego podziału na Przejście z długością podprzedziałów do granicy dążącej do zera daje sumę

Wektor przesunięcia między sąsiadującymi punktami krzywej jest dany jako

z tego powodu rozpatrywana całka jest równa

Niezależność od drogi[edytuj]

 Osobny artykuł: twierdzenie o gradiencie.

Jeżeli pole wektorowe jest gradientem pola skalarnego tzn.

to pochodna funkcji złożonej z oraz wyraża się przez

co pokrywa się z funkcją podcałkową całki krzywoliniowej względem Oznacza to, że dla danej drogi zachodzi

Innymi słowy całka wzdłuż zależy wyłącznie od wartości w punktach oraz i jest w ten sposób niezależna od drogi między nimi. Z tego powodu o całce krzywoliniowej pola wektorowego, które jest gradientem pola skalarnego, mówi się, że jest ona niezależna od drogi całkowania.

W szczególności, jeśli jest krzywą zamkniętą, tzn. to w rozpatrywanym przypadku

Całka zespolona[edytuj]

Całka krzywoliniowa jest zasadniczym narzędziem analizy zespolonej. Niech oznacza podzbiór otwarty płaszczyzny liczb zespolonych , przy tym dana będzie krzywa prostowalna oraz funkcja . Całka krzywoliniowa

może być zdefiniowana poprzez podział przedziału na

i rozważenie wyrażenia

.

Całka jest wówczas granicą tej sumy przy długościach podziałów dążących do zera.

Jeśli jest krzywą różniczkowalną w sposób ciągły, to całka krzywoliniowa może być wyznaczona jako całka funkcji zmiennej rzeczywistej:

.

Jeśli jest krzywą zamkniętą, tzn. jej punkt początkowy i końcowy pokrywają się, to stosuje się także zapis

.

Do zasadniczych własności tej całki należy oszacowanie

,

gdzie

oznacza długość krzywej , zaś jest oszacowaniem górnym na wartości , tzn.

.

Całki krzywoliniowe funkcji zespolonych można obliczać na wiele różnych sposobów: uprościć je za pomocą powyższego oszacowania, podzielić na części rzeczywistą i urojoną redukując problem do obliczenia dwóch całek krzywoliniowych o wartościach rzeczywistych bądź za pomocą wzoru całkowego Cauchy’ego. Jeśli całka krzywoliniowa dana jest wzdłuż krzywej zamkniętej w obszarze, gdzie funkcja jest holomorficzna i nie zawiera osobliwości, to wartością tej całki jest po prostu zero; jest to konsekwencja twierdzenia całkowego Cauchy’ego. Ze względu na twierdzenie o residuach można wykorzystać całkowanie po krzywej zamkniętej w płaszczyźnie zespolonej do znalezienia całek funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych (przykład w artykule o twierdzeniu).

Przykład[edytuj]

Niech dana będzie funkcja oraz krzywa zamknięta będąca okręgiem jednostkowym wokół zera, którą można sparametryzować za pomocą , gdzie . Podstawiając powyższe do definicji otrzymuje się

.

Wyżej, korzysta się z faktu, że dowolną liczbę zespoloną można zapisać w postaci , gdzie oznacza moduł , przy czym dla okręgu jednostkowego , tak więc jedyną zmienną wolną jest kąt oznaczany wyżej przez ,

Rezultat ten można porównać z wynikiem otrzymanym przez wzór całkowy Cauchy’ego.

Całka skierowana a zespolona[edytuj]

Postrzegając liczby zespolone jako dwuwymiarowe wektory można zauważyć, że całka krzywoliniowa dwuwymiarowego pola wektorowego odpowiada części rzeczywistej całki krzywoliniowej sprzężenia odpowiedniej funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Dokładniej, jeśli oraz to

przy założeniu, że obie całki po prawej stronie równości istnieją, a parametryzacje oraz krzywej są zgodne (mają tę samą orientację).

Ze względu na równania Cauchy'ego-Riemanna rotacja pola wektorowego odpowiadającego sprzężeniu funkcji holomorficznej wynosi zero. Twierdzenie Stokesa sprawia, że oba rodzaje całek dają zero.

Całka krzywoliniowa może być również obliczona przez zamianę zmiennych.