Twierdzenie Radona-Nikodýma

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Radona-Nikodýma - twierdzenie teorii miary mówiące o reprezentacji pewnych σ-addytywnych funkcjonałów na przestrzeniach mierzalnych, czyli miar. Twierdzenie sformułowane przez Johanna Radona zostało uogólnione przez Ottona M. Nikodýma w 1930 roku.

David Fremlin[1] opisuje to twierdzenie oraz środki techniczne potrzebne do jego dowodu jako znajdujące się wśród sześciu najważniejszych wyników teorii miary.

Oznaczenia i podstawowe definicje[edytuj]

W niniejszym artykule jest dowolnym zbiorem, natomiast jest σ-ciałem jego podzbiorów. Na σ-ciele ustalone są z kolei pewne funkcje .

  • Funkcja nazywana jest σ-addytywną, jeśli dla każdego ciągu parami rozłącznych zbiorów spełniony jest warunek
.
  • Jeśli jest miarą oraz jest σ-addytywną funkcją zbiorów, to mówi się, że jest bezwzględnie (absolutnie) ciągła względem (ozn, ), gdy dla każdego spełniony jest warunek
.

Twierdzenie Radona-Nikodýma[edytuj]

Niech będzie σ-addytywną funkcją zbioru oraz będzie miarą σ-skończoną. Jeśli jest absolutnie ciągła względem , to istnieje taka funkcja (zob. przestrzeń Lp), że dla

Ilustracja konieczności założenia absolutnej ciągłości miar - nośniki miar są oznaczone jako Sμ i Sν. Miary mają wartość 0 na zbiorach poza swoimi nośnikami. Całka po zbiorze A względem miary μ jest równa 0, bo leży on poza jej nośnikiem; z kolei ν(A)>0, więc twierdzenie nie może być spełnione. Konieczne jest więc założenie Sν ⊆ Sμ, czyli po prostu
.

Funkcja wyznaczona -prawie wszędzie, nazywana jest pochodną Radona-Nikodýma funkcji względem i oznaczana jest symbolem

.

Własności[edytuj]

Jeżeli jest σ-addytywną funkcją zbiorów bezwzględnie ciągłą względem oraz , to

  • ,

o ile stale lub stale dla liczb rzeczywistych .

Twierdzenie o zamianie miary[edytuj]

Pod założeniami twierdzenia Radona-Nikodýma, jeżeli oraz , to oraz

.

Własność Radona-Nikodýma[edytuj]

Mówimy, że przestrzeń Banacha ma własność Radona-Nikodýma względem przestrzeni z miarą , gdy dla każdej miary wektorowej o ograniczonym wahaniu, bezwzględnie ciągłym względem istnieje funkcja całkowalna w sensie Bochnera taka, że

dla każdego . Mówimy, że przestrzeń Banacha ma własność Radona-Nikodýma, gdy ma własność Radona-Nikodýma względem każdej przestrzeni z miarą skończoną.

Przykłady[edytuj]

Wszystkie wymienione niżej klasy przestrzeni Banacha mają własność Radona-Nikodýma:

Wymienione niżej przestrzenie nie mają własności Radona-Nikodýma:

  • , gdy jest miarą, która nie jest czysto atomowa
  • przestrzenie
  • przestrzenie operatorów zwartych i przestrzenie operatorów liniowych i ciągłych na , gdy lub ,

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Fremlin, David H.: Measure Theory. T. 2: Broad Foundations. Torres Fremlin, s. 107. ISBN 0-9538129-2-8. Cytat: The Radon-Nikodym theorem must be on any list of the half-doze most important theorems of measure theory, and not only the theorem itself, but the techniques necessary to prove it, are at the heart of the subject. [1]

Bibliografia[edytuj]

  1. Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 202-207.
  2. Paul R. Halmos: Measure theory. New York, Springer-Verlag [1974, c1950], s. 128-136. ISBN 0-387-90088-8.
  3. Joseph Diestel, Jerry Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002. ISBN 978-0821815151.