Twierdzenie Radona-Nikodýma

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Radona-Nikodýma - twierdzenie teorii miary mówiące o reprezentacji pewnych σ-addytywnych funkcjonałów na przestrzeniach mierzalnych, czyli miar. Twierdzenie sformułowane przez Johanna Radona zostało uogólnione przez Ottona M. Nikodýma w 1930 roku.

David Fremlin[1] opisuje to twierdzenie oraz środki techniczne potrzebne do jego dowodu jako znajdujące się wśród sześciu najważniejszych wyników teorii miary.

Oznaczenia i podstawowe definicje[edytuj | edytuj kod]

W niniejszym artykule \Omega jest dowolnym zbiorem, natomiast \mathcal{A} jest σ-ciałem jego podzbiorów. Na σ-ciele \mathcal{A} ustalone są z kolei pewne funkcje \mu\colon\mathcal{A}\longrightarrow[0,+\infty], \nu\colon \mathcal{A}\longrightarrow \mathbb{R}.

  • Funkcja \nu nazywana jest jest σ-addytywną, jeśli dla każdego ciągu parami rozłącznych zbiorów A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{A} spełniony jest warunek
\nu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) = \sum_{n=1}^\infty \nu(A_n).
\mu(A)=0 \Rightarrow \nu(A)=0.

Twierdzenie Radona-Nikodýma[edytuj | edytuj kod]

Niech \nu będzie σ-addytywną funkcją zbioru oraz \mu będzie miarą σ-skończoną. Jeśli \nu jest absolutnie ciągła względem \mu, to istnieje taka funkcja h\in L^1(\Omega, \mathcal{A}, \mu) (zob. przestrzeń Lp), że dla A\in\mathcal{A}

Ilustracja konieczności założenia absolutnej ciągłości miar - nośniki miar są oznaczone jako Sμ i Sν. Miary mają wartość 0 na zbiorach poza swoimi nośnikami. Całka po zbiorze A względem miary μ jest równa 0, bo leży on poza jej nośnikiem; z kolei ν(A)>0, więc twierdzenie nie może być spełnione. Konieczne jest więc założenie Sν ⊆ Sμ, czyli po prostu \color{blue}\nu \ll \mu.
\nu(A)=\int\limits_A h d\mu.

Funkcja h wyznaczona \mu-prawie wszędzie, nazywana jest pochodną Radona-Nikodýma funkcji \nu względem \mu i oznaczana jest symbolem

h=\tfrac{d\nu}{d\mu}.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli \lambda\colon \mathcal{A}\to\mathbb{R} jest σ-addytywną funkcją zbiorów bezwzględnie ciągłą względem \mu oraz \lambda \leqslant \nu, to

  • \tfrac{d\lambda}{d\mu}\leqslant \tfrac{d\nu}{d\mu},
  • \tfrac{d(a \lambda + b \nu)}{d\mu}=a\tfrac{d\lambda}{d\mu}+b\tfrac{d\nu}{d\mu}

o ile a\lambda, b\nu>-\infty stale lub a\lambda, b\nu<+\infty stale dla liczb rzeczywistych a,b.

Twierdzenie o zamianie miary[edytuj | edytuj kod]

Pod założeniami twierdzenia Radona-Nikodýma, jeżeli A\in\mathcal{A} oraz f\in L^1(A, \mathcal{A}|_A, \nu), to f\tfrac{d\nu}{d\mu}\in L^1(A, \mathcal{A}|_A, \mu) oraz

\int\limits_Af d\nu=\int\limits_A f \tfrac{d\nu}{d\mu}d\mu.

Własność Radona-Nikodýma[edytuj | edytuj kod]

Mówimy, że przestrzeń Banacha X ma własność Radona-Nikodýma względem przestrzeni z miarą (\Omega, \mathcal{A}, \mu), gdy dla każdej miary wektorowej \nu o ograniczonym wahaniu, bezwzględnie ciągłym względem \mu istnieje funkcja g\colon \Omega \to X całkowalna w sensie Bochnera taka, że

\nu(A)=\int\limits_Ag(x)\mu(dx)

dla każdego A\in \mathcal{A}. Mówimy, że przestrzeń Banacha ma własność Radona-Nikodýma, gdy ma własność Radona-Nikodýma względem każdej przestrzeni z miarą skończoną.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Wszystkie wymienione niżej klasy przestrzeni Banacha mają własność Radona-Nikodýma:

Wymienione niżej przestrzenie nie mają własności Radona-Nikodýma:

  • L^1([0,1])
  • L^1(\mu), gdy \mu jest miarą, która nie jest czysto atomowa
  • przestrzenie c, c_0, \ell^\infty, L^\infty([0,1])
  • przestrzenie operatorów zwartych i przestrzenie operatorów liniowych i ciągłych na X, gdy X=L^p lub X=C(\Omega),

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Fremlin, David H.: Measure Theory. T. 2: Broad Foundations. Torres Fremlin, s. 107. ISBN 0-9538129-2-8. Cytat: The Radon-Nikodym theorem must be on any list of the half-doze most important theorems of measure theory, and not only the theorem itself, but the techniques necessary to prove it, are at the heart of the subject. [1]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 202-207.
  2. Paul R. Halmos: Measure theory. New York, Springer-Verlag [1974, c1950], s. 128-136. ISBN 0-387-90088-8.
  3. Joseph Diestel, Jerry Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002. ISBN 978-0821815151.