Ciągłość bezwzględna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciągłość bezwzględna, absolutna – jedno z uogólnień, obok całki Lebesgue'a, związku między dwoma centralnymi operacjami analizy matematycznejróżniczkowaniem i całkowaniem – wyrażonego podstawowym twierdzeniem rachunku całkowego. Dla funkcji o wartościach rzeczywistych określonych na prostej rzeczywistej wyróżnia się dwa powiązane ze sobą pojęcia: bezwzględną ciągłość funkcji oraz bezwzględną ciągłość miar, które uogólniane są w różnych kierunkach. Zwykła pochodna funkcji ma związek z pochodną Radona-Nikodýma', zwaną również gęstością miary.

Ciągłość bezwzględna funkcji[edytuj]

Może się zdarzyć, że funkcja ciągła jest różniczkowalna prawie wszędzie na jej pochodna jest całkowalna w sensie Lebesgue'a, ale całka różni się od przyrostu Dzieje się tak, na przykład, dla funkcji Cantora, co oznacza, że funkcja ta nie jest bezwzględnie ciągła. Tak więc bezwzględna ciągłość funkcji jest własnością gładkości silniejszą od ciągłości czy jednostajnej ciągłości.

Definicja[edytuj]

Niech będzie przedziałem na prostej Funkcja jest bezwzględnie ciągła na jeżeli dla każdej liczby dodatniej istnieje liczba dodatnia taka, że o ile skończony ciąg parami rozłącznych podprzedziałów przedziału spełnia[1]

to

Zbiór funkcji bezwzględnie ciągłych na przedziale oznacza się niekiedy (od ang. absolutely continuous) symbolem

Definicje równoważne[edytuj]

Dla funkcji o wartościach rzeczywistych określonej na zbiorze zwartym następujące warunki są równoważne[2]:

  1. jest bezwzględnie ciągła;
  2. ma pochodną prawie wszędzie, która jest całkowalna w sensie Lebesgue'a oraz dla wszystkich zachodzi
  3. istnieje na funkcja całkowalna w sensie Lebesgue'a taka, że dla wszystkich jest

Jeżeli powyższe równoważne warunki są spełnione, to musi zachodzić prawie wszędzie. Równoważność między 1. a 3. znana jest jako podstawowe twierdzenie rachunku całkowego Lebesgue'a udowodnionego przez Henriego Lebesgue'a[3]. Równoważna definicja w języku miar znajduje się w sekcji Związek między dwoma pojęciami ciągłości bezwzględnej.

Własności[edytuj]

  • Suma i różnica dwóch bezwzględnie ciągłych funkcji także jest bezwzględnie ciągła. Jeżeli dwie funkcje określone są na ograniczonym przedziale domkniętym, to ich iloczyn również jest ciągły bezwzględnie[4].
  • Jeżeli funkcja bezwzględnie ciągła jest określona na ograniczonym przedziale domkniętym i nigdzie nie przyjmuje zera, to jej odwrotność również jest bezwzględnie ciągła[5].
  • Każda funkcja bezwzględnie ciągła jest jednostajnie ciągła, a stąd ciągła. Każda funkcja ciągła lipschitzowsko jest bezwzględnie ciągła[6]. Żadnej z tych implikacji nie można odwrócić.
  • Jeżeli jest bezwzględnie ciągła, to ma ona ograniczone wahanie na przedziale [7].
  • Jeżeli jest bezwzględnie ciągła, to spełnia ona warunek Łuzina, tj. dla każdego takiego, że zachodzi gdzie oznacza miarę Lebesgue'a na
  • Funkcja jest bezwzględnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła, ma ograniczone wahanie i spełnia warunek Łuzina.

Przykłady[edytuj]

Następujące funkcje są wszędzie ciągłe, ale nie bezwzględnie ciągłe:

  • funkcja Cantora,
  • funkcja określona na skończonym przedziale zawierającym początek dana wzorem
  • funkcja na przedziale nieograniczonym.

Uogólnienia[edytuj]

Niech będzie przestrzenią metryczną, zaś będzie przedziałem na prostej rzeczywistej Funkcja jest bezwzględnie ciągła na jeżeli dla każdej liczby dodatniej istnieje liczba dodatnia taka, że o ile skończony ciąg parami rozłącznych podprzedziałów przedziału spełnia

to

Zbiór wszystkich funkcji bezwzględnie ciągłych w oznaczany jest symbolem Dalszym uogólnieniem jest przestrzeń krzywych takich, że[8]

dla pewnego w przestrzeni Lp(I).

Własności uogólnień[edytuj]

  • Każda funkcja bezwzględnie ciągła jest jednostajnie ciągła, a więc i ciągła. Każda funkcja ciągła lipschitzowsko jest bezwzględnie ciągła.
  • Jeżeli jest bezwzględnie ciągła, to ma ograniczone wahanie na
  • Dla jej pochodna metryczna istnieje dla -prawie wszędzie w a pochodna metryczna jest najmniejszym takim, że[9]

Ciągłość bezwzględna miar[edytuj]

Definicja[edytuj]

Miara określona na podzbiorach borelowskich prostej liczb rzeczywistych jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue'a (jest zmajoryzowana przez ), jeżeli dla każdego zbioru dla którego Własność tę zapisuje się symbolem

W większości zastosowań, jeżeli o mierze mówi się, że jest „bezwzględnie ciągła” (bez wskazywania miary względem której jest bezwzględnie ciągła), to ma się zwykle na myśli bezwzględną ciągłość względem miary Lebesgue'a. To samo tyczy się dla wszystkich

Równoważne definicje[edytuj]

Następujące warunki nałożone na skończoną miarę określone na podzbiorach borelowskich prostej rzeczywistej są równoważne[10]:

  1. miara jest bezwzględnie ciągła;
  2. dla każdej liczby dodatniej istnieje dodatnia liczba taka, że dla każdego zbioru borelowskiego miary Lebesgue'a mniejszej niż
  3. istnieje funkcja całkowalna w sensie Lebesgue'a na prostej rzeczywistej taka, że dla każdego podzbioru prostej rzeczywistej zachodzi

Równoważną definicję w języku funkcji można znaleźć w sekcji Związek między dwoma pojęciami ciągłości bezwzględnej. Każda inna funkcja spełniająca 3. jest równa prawie wszędzie. Funkcja taka nazywana jest pochodną Radona-Nikodýma lub gęstością bezwzględnie ciągłej miary Równoważności między 1., 2. a 3. są spełnione również dla dla wszystkich Miary bezwzględnie ciągłe na są zatem dokładnie tymi, które mają gęstości; w szczególności bezwzględnie ciągłe miary prawdopodobieństwa to dokładnie te miary, które mają gęstości.

Uogólnienia[edytuj]

Jeśli oraz są dwiema miarami określonymi na tej samej przestrzeni mierzalnej, to o mówi się, że jest bezwzględnie ciągła względem , lub zmajoryzowana przez , jeżeli dla każdego zbioru dla którego [11]. Własność tę zapisuje się symbolicznie jako

Wprost z tej definicji wynika, iż jeśli to nośnik miary zawiera się w nośniku miary

Bezwzględna ciągłość miar jest zwrotna i przechodnia, ale nie jest antysymetryczna, zatem jest ona praporządkiem, lecz nie porządkiem częściowym. Jeśli oraz to o miarach i mówi się, że są równoważne. W ten sposób bezwzględna ciągłość wprowadza porządek częściowy takich klas równoważności.

Jeżeli jest miarą ze znakiem lub zespoloną, to mówi się, że jest bezwzględnie ciągła względem jeśli jej wahanie spełnia równoważnie, gdy każdy zbiór dla którego jest zbiorem -miary zero.

Twierdzenie Radona-Nikodýma[12] zapewnia, że jeżeli jest bezwzględnie ciągła względem i obie miary są σ-skończone, to ma gęstość, lub pochodną Radona-Nikodýma, względem co oznacza, że istnieje -mierzalna funkcja przyjmująca wartości w oznaczana taka, że dla każdego zbioru -mierzalnego zachodzi

Miary osobliwe[edytuj]

 Zobacz też: miary wzajemnie osobliwe.

Zgodnie z twierdzeniem Lebesgue'a o rozkładzie[13] każda miara może być rozłożona na sumę miar bezwzględnie ciągłych i osobliwych.

Związek między dwoma pojęciami ciągłości bezwzględnej[edytuj]

Miara skończona określona na podzbiorach borelowskich prostej rzeczywistych jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue'a wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja

jest lokalnie rzeczywistą funkcją bezwzględnie ciągłą. Innymi słowy funkcja jest lokalnie bezwzględnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna dystrybucyjna jest miarą, która jest bezwzględnie ciągłą względem miary Lebesgue'a. Jeżeli miara jest bezwzględnie ciągłą, to pochodna Radon-Nikodýma jest prawie wszędzie równa pochodnej [14].

Ogólniej, o mierze zakłada się, że jest lokalnie skończona (zamiast tylko skończona), a jest dana jest wzorem

Wówczas jest miarą Lebesgue'a-Stieltjesa generowaną przez [15]. Nadal zachodzi związek między dwoma pojęciami bezwzględnej ciągłości[16].

Przypisy

  1. Royden 1988, rozdz. 5.4, strona 108; Nielsen 1997, definicja 15.6 na stronie 251; Athreya i Lahiri 2006, definicje 4.4.1, 4.4.2 na stronach 128, 129. W pierwszych dwóch książkach o przedziale zakłada się, że jest ograniczony i domknięty, ale nie czyni się tego w ostatniej.
  2. Nielsen 1997, twierdzenie 20.8 na stronie 354; także Royden 1988, rozdz. 5.4, strona 110 oraz Athreya i Lahiri 2006, twierdzenia 4.4.1, 4.4.2 na stronach 129, 130.
  3. Athreya i Lahiri 2006, przed twierdzeniem 4.4.1 na stronie 129.
  4. Royden 1988, zadanie 5.14(a, b) na stronie 111.
  5. Royden 1988, zadanie 5.14(c) na stronie 111.
  6. Royden 1988, zadanie 5.20(a) na stronie 112.
  7. Royden 1988, lemat 5.11 na stronie 108.
  8. Ambrosio, Gigli i Savaré 2005, definicja 1.1.1 na stronie 23.
  9. Ambrosio, Gigli i Savaré 2005, twierdzenie 1.1.2 na stronie 24.
  10. Równoważność między 1. a 2. jest przypadkiem szczególnym Nielsen 1997, stwierdzenie 15.5 na stronie 251; równoważność między 1. a 3. jest przypadkiem szczególnym twierdzenia Radona-Nikodýma, zob. Nielsen 1997, twierdzenie 15.4 na stronie 251, czy Athreya i Lahiri 2006, punkt (ii) twierdzenia 4.1.1 na stronie 115.
  11. Nielsen 1997, definicja 15.3 na stronie 250; Royden 1988, rozdz. 11.6, strona 276; Athreya i Lahiri 2006, definicja 4.1.1 na stronie 113.
  12. Royden 1988, twierdzenie 11.23 na stronie 276; Nielsen 1997, twierdzenie 15.4 na stronie 251; Athreya i Lahiri 2006, punkt (ii) twierdzenia 4.1.1 na stronie 115.
  13. Royden 1988, stwierdzenie 11.24 na stronie 278; Nielsen 1997, twierdzenie 15.14 na stronie 262; Athreya i Lahiri 2006, punkt (i) twierdzenia 4.1.1 na stronie 115.
  14. Royden 1988, zadanie 12.17(b) na stronie 303.
  15. Athreya i Lahiri 2006, rozdz. 1.3.2, strona 26.
  16. Nielsen 1997, stwierdzenie 15.7 na stronie 252; Athreya i Lahiri 2006, twierdzenie 4.4.3 na stronie 131; Royden 1988, zadanie 12.17(a) na stronie 303.

Bibliografia[edytuj]

  • Luigi Ambrosio, Nicola Gigli, Guiseppe Savaré: Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel, 2005. ISBN 3-7643-2428-7.
  • Krishna B. Athreya, Soumendra N. Lahiri: Measure theory and probability theory. Springer, 2006. ISBN 0-387-32903-X.
  • Ole A. Nielsen: An introduction to integration and measure theory. Wiley-Interscience, 1997. ISBN 0-471-59518-7.
  • H. L. Royden: Real Analysis. Wyd. III. Collier Macmillan, 1988. ISBN 0-02-404151-3.
  • V. I. Bogachev: Measure theory Vol. 1. Springer, 2007. ISBN 978-3-540-34513-8.
  • Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1976.