Twierdzenie Hahna o rozkładzie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Hahna o rozkładzie – twierdzenie teorii funkcji rzeczywistych, mówiące o możliwości rozbicia przestrzeni mierzalnej, na której określona jest przeliczalnie addytywna funkcja zbiorów na dwa zbiory o pewnych szczególnych własnościach. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska austriackiego matematyka, Hansa Hahna.

Twierdzenie[edytuj]

Jeśli jest σ-ciałem podzbiorów zbioru oraz jest przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów, to istnieje rozkład nazywany rozkładem Hahna dla funkcji , tzn. istnieją takie zbiory rozłączne, że

oraz, gdy to , a ponadto

Kanoniczny rozkład Jordana[edytuj]

Ważnym zastosowaniem istnienia rozkładu Hahna dla przeliczalnie addytywnych funkcji zbiorów jest tzw. twierdzenie o kanonicznym rozkładzie Jordana, mówiące o tym, że każda funkcja , taka jak w sformułowaniu twierdzenia o rozkładzie Hahna, daje się zapisać w postaci

gdzie funkcje , nazywane odpowiednio wahaniem górnym i dolnym funkcji , określone są wzorami:

dla

Funkcję daną wzorem

nazywamy wahaniem całkowitym funkcji . Każde z wahań jest miarą i przynajmniej jedno z wahań (górne lub dolne) jest miarą skończoną.

Jeżeli zbiory tworzą rozkład Hahna zbioru względem , to dla każdego :

Jeśli jest funkcją skończoną (σ-skończoną), to każde z wahań jest miarą skończoną (σ-skończoną). Kanoniczny rozkład Jordana funkcji jest w pewnym sensie minimalny. Dokładniej, jeśli daje się przedstawić w postaci różnicy dwóch funkcji i , tzn. dla pewnych i , to

oraz

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  1. Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 188-190.
  2. Paul R. Halmos: Measure theory. New York, Springer-Verlag [1974, c1950], s. 120-123. ISBN 0-387-90088-8.