Twierdzenie Hahna o rozkładzie

Twierdzenie Hahna o rozkładzie – twierdzenie teorii funkcji rzeczywistych, mówiące o możliwości rozbicia przestrzeni mierzalnej, na której określona jest przeliczalnie addytywna funkcja zbiorów na dwa zbiory o pewnych szczególnych własnościach. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska austriackiego matematyka, Hansa Hahna.

Twierdzenie

Jeśli ${\mathcal {A}}$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru $X$ oraz $\lambda \colon {\mathcal {A}}\to \mathbb {R}$ jest przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów, to istnieje rozkład nazywany rozkładem Hahna dla funkcji $\lambda ,$ tzn. istnieją takie zbiory $A,B$ rozłączne, że

$X=A\cup B$

oraz, gdy $E\in {\mathcal {A}}$ to $A\cap E,B\cap E\in {\mathcal {A}},$ a ponadto

$\lambda (A\cap E)\leqslant 0,\,\lambda (B\cap E)\geqslant 0.$

Kanoniczny rozkład Jordana

Ważnym zastosowaniem istnienia rozkładu Hahna dla przeliczalnie addytywnych funkcji zbiorów jest tzw. twierdzenie o kanonicznym rozkładzie Jordana, mówiące o tym, że każda funkcja $\lambda ,$ taka jak w sformułowaniu twierdzenia o rozkładzie Hahna, daje się zapisać w postaci

$\lambda =\lambda ^{+}-\lambda ^{-},$

gdzie funkcje $\lambda ^{+},\lambda ^{-},$ nazywane odpowiednio wahaniem górnym i dolnym funkcji $\lambda ,$ określone są wzorami:

$\lambda ^{+}(E)=\sup\{\lambda (F)\colon F\subseteq E,F\in {\mathcal {A}}\},$

$\lambda ^{-}(E)=\sup\{-\lambda (F)\colon F\subseteq E,F\in {\mathcal {A}}\}$

dla $E\in {\mathcal {A}}.$

Funkcję $|\lambda |$ daną wzorem

$|\lambda |=\lambda ^{+}+\lambda ^{-}$

nazywamy wahaniem całkowitym funkcji $\lambda .$ Każde z wahań $\lambda ^{+},\lambda ^{-},|\lambda |$ jest miarą i przynajmniej jedno z wahań (górne lub dolne) jest miarą skończoną.

Jeżeli zbiory $A,B\subset X$ tworzą rozkład Hahna zbioru $X$ względem $\lambda ,$ to dla każdego $E\in {\mathcal {A}}{:}$

$\lambda ^{+}(E)=\lambda (A\cap E),$

$\lambda ^{-}(E)=-\lambda (B\cap E).$

Jeśli $\lambda$ jest funkcją skończoną (σ-skończoną), to każde z wahań jest miarą skończoną (σ-skończoną). Kanoniczny rozkład Jordana funkcji $\lambda$ jest w pewnym sensie minimalny. Dokładniej, jeśli $\lambda$ daje się przedstawić w postaci różnicy dwóch funkcji $\mu$ i $\nu ,$ tzn. $\lambda =\mu -\nu$ dla pewnych $\mu$ i $\nu ,$ to

$\lambda ^{+}\leqslant \mu$ oraz $\lambda ^{-}\leqslant \nu .$

Zobacz też

• wahanie i półwahanie miary wektorowej
• norma Fortet-Mouriera
• twierdzenie Lebesgue’a o rozkładzie

Bibliografia

• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 188–190.
• Paul R. Halmos: Measure theory. New York, Springer-Verlag [1974, c1950], s. 120–123. ISBN 0-387-90088-8.