Twierdzenie Steinera (mechanika)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Steinera – twierdzenie mechaniki opisujące zależność momentu bezwładności bryły, powierzchni lub linii względem danej osi i osi równoległej do danej przechodzącej przez środek masy (dla stałej gęstości środek geometryczny) bryły, powierzchni lub linii.

Jego autorem jest Jakob Steiner.

Redakcja twierdzenia dla bryły jest następująca: moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami, co można wyrazić wzorem

I = I_0 + md^2\,

gdzie:

  • I_0\, – moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy,
  • I\, – moment bezwładności względem osi równoległej do pierwszej osi,
  • d\, – odległość między osiami,
  • m\, – masa bryły.

Redakcje twierdzenia dla powierzchni i linii są podobne. Przy stałej gęstości analogami masy są: objętość bryły, pole powierzchni lub długość linii.

Moment bezwładności osiąga minimalną wartość, gdy oś przechodzi przez środek masy.

Dla tensora momentu bezwładności[edytuj | edytuj kod]

W bardziej ogólnej postaci twierdzenie Steinera można sformułować dla tensora momentu bezwładności. Wynika ono z wpływu przesunięcia osi na momenty bezwładności i zboczenia (nazywane również momentami dewiacji lub odśrodkowymi). Zakłada się przy tym, że początek układu współrzędnych pokrywa się ze środkiem masy ciała, więc można pominąć moment statyczny. Obowiązuje wówczas zależność

\hat{I}_{ij}^A = \hat{I}_{ij}^{cm} + m(\delta_{ij} d^2 - d_i d_j),

gdzie:

  • \hat{I}_{ij}^A – składowa ij\, tensora momentu bezwładności liczona w punkcie A,
  • \hat{I}_{ij}^{cm} – składowa ij\, tensora momentu bezwładności liczona w środku masy,
  • d\, – odległość między punktem A\, a środkiem masy,
  • m\, – masa bryły,
  • \delta_{ij}\,delta Kroneckera.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Pamiętając, że masa całkowita bryły to m oraz wiedząc, że r jest liczone w układzie środka, otrzymuje się

\sum_{k}m_{k}=m\!
\sum_{k}m_{k}\mathbf{r}_k=0.

Jeśli d to odległość A od środka masy, to

\hat{I}_{ij}^A = \sum_{k} m_{k} ((\mathbf{r}+\mathbf{d})_k^{2}\delta_{ij} - (r_{ki}+d_{ki})(r_{kj}+d_{kj}))
= \sum_{k} m_{k} ((\mathbf{r}_k^2+2\mathbf{r}_k \mathbf{d}+d^2)\delta_{ij} -
r_{ki}r_{kj}-d_{i}r_{kj}-r_{ki}d_{j}-d_{i}d_{j})
= \sum_{k} m_{k}(r_k^2\delta_{ij}-r_{ki}r_{kj})
+\sum_{k}m_{k}(d^2\delta_{ij}-d_{i}d_{j})
+2\mathbf{d}\delta_{ij} \sum_{k}m_{k}\mathbf{r}_k
-d_i \sum_{k}m_{k}r_{kj}
-d_j \sum_{k}m_{k}r_{ki}
= \hat{I}_{ij}^{cm}+m(d^2\delta_{ij}-d_{i}d_{j})