Twierdzenie Steinera (mechanika)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Steinera – twierdzenie mechaniki opisujące zależność momentu bezwładności bryły, powierzchni lub linii względem danej osi i osi równoległej do danej przechodzącej przez środek masy (dla stałej gęstości środek geometryczny) bryły, powierzchni lub linii.

Jego autorem jest Jakob Steiner.

Redakcja twierdzenia dla bryły jest następująca: moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami, co można wyrazić wzorem

gdzie:

  • – moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy,
  • – moment bezwładności względem osi równoległej do pierwszej osi,
  • – odległość między osiami,
  • – masa bryły.

Redakcje twierdzenia dla powierzchni i linii są podobne. Przy stałej gęstości analogami masy są: objętość bryły, pole powierzchni lub długość linii.

Moment bezwładności osiąga minimalną wartość, gdy oś przechodzi przez środek masy.

Dla tensora momentu bezwładności[edytuj]

W bardziej ogólnej postaci twierdzenie Steinera można sformułować dla tensora momentu bezwładności. Wynika ono z wpływu przesunięcia osi na momenty bezwładności i zboczenia (nazywane również momentami dewiacji lub odśrodkowymi). Zakłada się przy tym, że początek układu współrzędnych pokrywa się ze środkiem masy ciała, więc można pominąć moment statyczny. Obowiązuje wówczas zależność

gdzie:

  • – składowa tensora momentu bezwładności liczona w punkcie A,
  • – składowa tensora momentu bezwładności liczona w środku masy,
  • – odległość między punktem a środkiem masy,
  • – masa bryły,
  • delta Kroneckera.

Dowód[edytuj]

Pamiętając, że masa całkowita bryły to m oraz wiedząc, że r jest liczone w układzie środka, otrzymuje się

.

Jeśli d to odległość A od środka masy, to