Twierdzenie Winogradowa

Twierdzenie Winogradowa to wynik z zakresu analitycznej teorii liczb odpowiadający na pytanie, na ile sposobów każdą dostatecznie dużą liczbę nieparzystą można przedstawić jako sumę trzech liczb pierwszych. Prostym wnioskiem płynącym z twierdzenia jest fakt, że każda dostatecznie duża liczba nieparzysta spełnia słabą hipotezę Goldbacha.

Treść twierdzenia oraz dowód zostały sformułowane po raz pierwszy przez Iwana Winogradowa w 1937 r. Hardy i Littlewood udowodnili wcześniej, że twierdzenie jest wnioskiem z uogólnionej hipotezy Riemanna, Winogradow wykazał je bezwarunkowo.

Treść twierdzenia

Niech $A>0$ będzie pewną stałą. Zdefiniujmy

$r(N)=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=N}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3}),$

gdzie $\Lambda$ oznacza funkcję von Mangoldta. To znaczy, że $r(N)$ sumuje liczbę sposobów przedstawienia $N$ jako sumy trzech potęg liczb pierwszych o wykładnikach $\geqslant 1,$ zmodyfikowanych o pewne wagi (wynikające z postaci funkcji $\Lambda$). Wówczas

$r(N)={\frac {1}{2}}G(N)N^{2}+O\left({\frac {N^{2}}{(\log n)^{A}}}\right),$

gdzie $O$ oznacza notację dużego O, przy czym funkcja $G$ może być przedstawiona w postaci iloczynu Eulera

$G(N)=\left(\prod _{p|N}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\right)\left(\prod _{p\not \mid N}\left(1+{\frac {1}{(p-1)^{3}}}\right)\right).$

Wniosek

Ponieważ wartości $|G(N)|$ dla $N$ nieparzystych są ograniczone przez stałą, $r(N)>0$ dla dostatecznie dużych nieparzystych $N.$ Pokazując, że część $r(N),$ w której sumujemy po potęgach liczb pierwszych o wykładnikach $>1$ jest rzędu $O\left(N^{\frac {3}{2}}(\log N)^{2}\right),$ możemy wykazać, że

${\frac {N^{2}}{(\log N)^{3}}}\ll \left|\{(p_{1},p_{2},p_{3})\colon N=p_{1}+p_{2}+p_{3},\quad p_{1},p_{2},p_{3}\in \mathbb {P} \}\right|,$

gdzie $\ll$ oznacza notację Winogradowa. W efekcie wnioskiem płynącym z twierdzenia Winogradowa jest słabsza wersja słabej hipotezy Goldbacha.

Strategia dowodu

Winogradow swój dowód oparł przede wszystkim na metodzie łuków Hardy’ego-Littlewooda. Jednakże w odróżnieniu od szeregu potęgowego zastosowanego pierwotnie przez matematyków w kontekście problemu Waringa, Winogradow rozważa skończoną sumę eksponencjalną

$S(\alpha )=\sum _{k\leqslant N}\Lambda (k)e(k\alpha ),$

gdzie $e(x):=e^{2\pi ix},$ $\Lambda$ jest jak wyżej, a $N$ jest pewną ustaloną stałą. Ponieważ interesują nas sumy postaci $\sum \Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3}),$ podnosimy sumę do potęgi trzeciej,

$S(\alpha )^{3}=\sum _{n\leqslant 3N}\left(\sum _{\begin{array}{c}k_{1}+k_{2}+k_{3}=n\\k_{1},k_{2},k_{3}\leqslant N\end{array}}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3})\right)e(n\alpha ).$

Oznaczając powyższe współczynniki przez $r(n,N),$ widzimy, że $r(n,N)=r(n)$ dla $n\leqslant N.$ Wystarczy zatem, że podamy oszacowanie na $r(n,N).$

Skoro $S(\alpha )^{3}$ jest sumą trygonometryczną, jej współczynniki możemy wyrazić za pomocą całki

$r(n,N)=\int _{0}^{1}S(\alpha )^{3}e(-n\alpha )d\alpha .$

Stosując wspomnianą metodę łuków, przedział $[0,1]$ dzielimy na duże łuki (zbiory liczb o dobrych przybliżeniach wymiernych) i mniejsze łuki (pozostałe). Jako $B>0$ wybieramy pewną stałą, oznaczamy $P=(\log n)^{B}$ i $Q={\frac {n}{P^{2}}}.$ Dla liczb $(a,q)=1$ definiujmy

$M(a,q)=\left\{\alpha \in [0,1]\colon \left|\alpha -{\frac {a}{q}}\right|\leqslant {\frac {1}{Q}}\right\}$

oraz

$M=\bigcup _{\begin{array}{c}(a,q)=1\\q\leqslant Q\end{array}}M(a,q)$

– zbiór ten nazywamy zbiorem dużych łuków. Zbiór $m=[0,1]\setminus M$ nazywamy zbiorem mniejszych łuków. Stosując podział

$\int _{0}^{1}S(\alpha )^{3}e(-n\alpha )d\alpha =\int _{M}S(\alpha )^{3}e(-n\alpha )d\alpha +\int _{m}S(\alpha )^{3}e(-n\alpha )d\alpha$

możemy ostatecznie uzyskać postulowaną zależność dla $r(n,N).$ Konkretnie, stosując m.in. twierdzenie Siegela-Walfisza, sumy Gaussa i sumy Ramanujana możemy uzyskać

$\int _{M}S(\alpha )^{3}e(-N\alpha )d\alpha ={\frac {1}{2}}G(N)N^{2}+O\left({\frac {N^{2}}{(\log N)^{B-1}}}\right),$

gdzie $G(N)$ jest jak wyżej, oraz

$\int _{m}S(\alpha )^{3}e(-N\alpha )d\alpha =O\left({\frac {N^{2}}{(\log N)^{{\frac {B}{9}}-6}}}\right).$

W połączeniu, z obu powyższych zależności wynika treść twierdzenia.