Słaba hipoteza Goldbacha

Słaba hipoteza Goldbacha to przypuszczenie w teorii liczb, które mówi, że każda liczba naturalna nieparzysta i większa od 7 jest sumą trzech nieparzystych liczb pierwszych (niekoniecznie różnych).

Na przykład: 11=3+3+5; 159 = 139+13+7.

Przymiotnik „słaba” odróżnia tę hipotezę od „mocnej” hipotezy Goldbacha, mówiącej że każda parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwóch nieparzystych liczb pierwszych. Gdyby słuszna była mocna hipoteza, słuszna byłaby również słaba – wystarczyłoby od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha.

Rozwój badań

W maju 2013 roku Harald Helfgott (część analityczna) i Platt (obliczeniowa) podali pełny dowód słabej hipotezy Goldbacha. Pierwszy z nich wykazał także, iż z prawdziwości słabej hipotezy Goldbacha wynika fakt, iż każdą dostatecznie dużą liczbę parzystą można zapisać jako sumę co najwyżej czterech liczb pierwszych.

W roku 1923 Hardy i Littlewood udowodnili, że przy założeniu uogólnionej hipotezy Riemanna słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich "dostatecznie dużych" liczb nieparzystych.

W roku 1937 sowiecki matematyk Iwan Winogradow udowodnił, że każda dostatecznie duża liczba nieparzysta daje się przedstawić jako suma trzech nieparzystych liczb pierwszych – jest to twierdzenie Winogradowa. Wynik Winogradowa poprawił jego uczeń Konstantin Borozdkin, który w 1956 roku udowodnił, że "dostatecznie duża" oznacza w tym przypadku "większa od $\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{16{,}038}}\approx 3^{3^{15}}$". Liczba ta ma 4008660 cyfr dziesiętnych.

W 2002 roku Liu Ming-Chit i Wang Tian-Ze poprawili oszacowanie Borozdkina dowodząc, że już każda liczba większa od $n>e^{3100}\approx 2\times 10^{1346}$ spełnia warunek słabej hipotezy Goldbacha.

Sprawdzenie komputerowe czy mniejsze liczby również spełniają hipotezę Goldbacha przy obecnym stanie technologii prowadzi do liczb rzędu $10^{18}$ dla mocnej hipotezy i niewiele większych dla słabej.

W 1997 roku Deshouillers, Effinger, Te Riele i Zinowiew wzmocnili wynik Hardy'ego i Littlewooda dowodząc, że uogólniona hipoteza Riemanna pociąga za sobą słabą hipotezę Goldbacha.