Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym - twierdzenie podające warunek wystarczający na to by ciągły operator liniowy działający między F-przestrzeniami (a więc w szczególności przestrzeniami Banacha) był odwzorowaniem otwartym.

Szczególny przypadek tego twierdzenia zwany jest twierdzeniem Banacha-Schaudera, a jednym z wniosków z tego twierdzenia jest twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym.

Twierdzenie[edytuj]

Niech będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi oraz będzie operatorem liniowym i ciągłym. Jeżeli jest F-przestrzenią oraz jest podzbiorem drugiej kategorii przestrzeni , to jest odwzorowaniem otwartym, oraz jest F-przestrzenią.

Wnioski[edytuj]

Niech będą F-przestrzeniami oraz będzie operatorem liniowym i ciągłym.

  • Twierdzenie Banacha-Schaudera
Jeśli , to jest odwzorowaniem otwartym.
  • Twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym
Jeżeli oraz jest odwzorowaniem różnowartościowym, to jest ciągłe.
  • Jeżeli i są przestrzeniami Banacha oraz jest bijekcją, to istnieją takie dodatnie stałe rzeczywiste , że
dla każdego .
  • Warunek wystarczający na równoważność norm zupełnych
Jeżeli są przestrzeniami Banacha oraz dla każdego ciągu punktów przestrzeni spełniony jest warunek
,
to normy i są równoważne.
  • Jeżeli są F-przestrzeniami oraz , to

Bibliografia[edytuj]

  1. Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.