Układ Lorenza

Układ Lorenza – przedstawiony przez Edwarda Lorenza w 1963 roku układ trzech nieliniowych równań różniczkowych zwyczajnych modelujący w możliwie najprostszy sposób zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze. Dla pewnego zbioru parametrów układ zachowuje się chaotycznie, a wykres zmiennych w przestrzeni fazowej przedstawia dziwny atraktor (tzw. atraktor Lorenza)

{\begin{cases}{\dot {x}}=\sigma y-\sigma x\\{\dot {y}}=-xz+rx-y\\{\dot {z}}=xy-bz\end{cases}}

gdzie:

\sigma

– liczba Prandtla, charakteryzująca lepkość ośrodka,

r

– liczba Rayleigha, charakteryzująca przewodnictwo cieplne ośrodka,

b

– stała charakteryzująca rozmiary obszaru, w którym odbywa się przepływ konwekcyjny.

Stałe $\sigma ,$ $r$ i $b$ są dodatnie, ale zwykle $\sigma =10,$ $b=8/3,$ a $r$ jest zmienne. Układ przejawia chaos dla $r=28,$ ale przejawia również splątane orbity okresowe dla innych wartości $r,$ np. dla $r=99{,}96$ układ staje się $T(3,2)$ węzłem torusowym.

Rozwiązania układu równań Lorentza są:

trójwymiarowe,
nieokresowe,
deterministyczne,
chaotyczne.

Poniżej znajduje się kod źródłowy napisany w środowisku MATLAB, który rozwiązuje omawiany układ równań oraz prezentuje wynik w postaci animacji:

% układ równań różniczkowych
sigma = 10;
r = 99.96;
b = 8/3;
dy = @(t,y)[sigma*(y(2)-y(1));
            -y(1)*y(3)+r*y(1)-y(2);
            y(1)*y(2)-b*y(3)];
% rozwiązanie układu
[t,y] = ode45(dy,[0 100],[0 0.5 1]);
% rysowanie wyniku
comet3(y(:,1),y(:,2),y(:,3))