Równanie różniczkowe zwyczajne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie różniczkowe zwyczajnerównanie, w którym występują stałe, funkcje niewiadome oraz pochodne funkcji niewiadomych. W równaniach różniczkowych zwyczajnych funkcje niewiadome zależą od jednej zmiennej niezależnej.

Definicja[edytuj kod]

Równanie postaci: gdzie:

  • jest zadaną funkcją,
  • to kolejne pochodne szukanej funkcji

nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n.

Powyższe równanie daje się często zapisać w innej postaci:

gdzie

W praktyce bardzo często pomija się zapisywanie argumentu przy funkcji y tzn. zamiast pisze się tylko .

Przykłady[edytuj kod]

Tor kuli wystrzelonej z armaty naśladuje krzywą opisywaną przez zwyczajne równanie różniczkowe pochodne drugiemu prawu Newtona.

Prostym przykładem może być drugie prawo Newtona opisujące ruch ciała o stałej masie m:

gdzie siła F zależy od położenia ciała x(t) w czasie t, a nieznana funkcja x(t) pojawia się po obu stronach równania, co widać w zapisie F(x(t)).

Inne przykłady:

  • w zapisie alternatywnym:

Dodatkowe informacje[edytuj kod]

Proces znajdowania rozwiązań równań różniczkowych nazywa się całkowaniem. Całką nazywa się jedno lub kilka równań wiążących funkcje niewiadome ze zmiennymi niezależnymi w taki sposób, że po podstawieniu funkcji niewiadomych i ich pochodnych do danego równania różniczkowego jest ono tożsamościowo spełnione.

Rozwiązaniem równania różniczkowego nazywamy całkę wyrażającą w sposób jawny zależność funkcji niewiadomych od zmiennych niezależnych.

Zobacz też[edytuj kod]