Równanie różniczkowe zwyczajne
Równanie różniczkowe zwyczajne – równanie, w którym występują: jedna zmienna niezależna oraz jedna lub więcej funkcji niewiadomych i ich pochodne[1].
Równanie różniczkowe byłoby cząstkowe, gdyby występowały w nim pochodne po dwu lub większej liczbie zmiennych niezależnych.
Wśród równań różniczkowych zwyczajnych równania różniczkowe liniowe odgrywają szczególną rolę, gdyż większość równań fizyki i matematyki stosowanej ma taką postać. Ponadto, równania nieliniowe są trudniejsze do rozwiązania i dlatego często przybliża się je za pomocą równań liniowych.
Definicje[edytuj | edytuj kod]
Oznaczenia[edytuj | edytuj kod]
Niech oznacza zmienną niezależną, zmienną zależną. Stosuje się różne oznaczenia na pochodne zmiennej zależnej względem zmiennej
W praktyce (jak wyżej) zazwyczaj pomija się zapisywanie argumentu przy funkcji i jej pochodnych, tzn. np. zamiast pisze się tylko
Ogólna definicja[edytuj | edytuj kod]
(1) Jeżeli jest funkcją zmiennej zmiennej oraz pochodnych zmiennej to równanie postaci
nazywa się jawnym równaniem różniczkowym rzędu
(2) Niejawnym równaniem różniczkowym rzędu nazywa się równanie postaci
Równanie różniczkowe liniowe rzędu n jednej zmiennej x(t)[edytuj | edytuj kod]
Równanie różniczkowe nazywamy liniowym rzędu n zmiennej zależnej , gdy można zapisać w postaci kombinacji liniowej funkcji i jej pochodnych:
gdzie oraz są różniczkowalnymi funkcjami zmiennej niekoniecznie liniowymi. Innymi słowy: równanie jest liniowe, gdy zmienna zależna i jej pochodne występują tylko w 1-sze potędze i nie ma wyrazów z funkcjami zmiennej czy jej pochodnych, np. itd.
Przy tym mamy dwa istotne przypadki:
- – wtedy równanie nazywa się jednorodnym
- – wtedy równanie nazywa się niejednorodnym.
Przykłady:
(1) Równanie liniowe niejednorodne rzędu
np. równanie ruchu ciała ze stałym przyspieszeniem
(2) Równania liniowe niejednorodne rzędu
a)
b)
c)
np. równaniami a), b) oraz c) opisuje się ruch harmoniczny: a) swobodny b) z siłą wymuszającą c) z tłumieniem.
Równanie różniczkowe nieliniowe rzędu n[edytuj | edytuj kod]
– to równanie, które nie jest liniowe
Przykłady: Równania nieliniowe jednej zmiennej zależnej
(1)
– opisuje drganie oscylatora anharmonicznego (np. wahadła matematycznego); aby równanie było liniowe, zmienna zależna powinna być w pierwszej potędze, nie w postaci funkcji dla małych drgań można dokonać przybliżenia dzięki czemu upraszcza się równanie do postaci liniowej
(2)
(3)
(4)
– równania (2)-(4) są nieliniowe, bo zmienna zależna nie jest w pierwszej potędze, ale w drugiej lub trzeciej; dodatkowo w równaniu (4) pochodna jest w drugiej potędze.
Układ równań różniczkowych zwyczajnych (ODE)[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli mamy powiązanych ze sobą równań różniczkowych zwyczajnych, to tworzą one układ (ang. ordinary differential equations – ODE). Niech oznacza wektor, którego elementami są funkcje
zaś – funkcja, której wartościami są funkcje wektora i jego pochodnych, to
jest jawną postacią układu równań różniczkowych zwyczajnych wymiaru w postaci macierzowej mamy
Funkcje te niekoniecznie są liniowe. W postaci niejawnej mamy
gdzie – wektor zerowy. W postaci macierzowej mamy
Całkowanie równań różniczkowych. Całki[edytuj | edytuj kod]
Proces znajdowania rozwiązań równań różniczkowych nazywa się całkowaniem.
Całką nazywa się jedno równanie lub zespół równań wiążących funkcje niewiadome ze zmienną niezależną Po podstawieniu funkcji niewiadomych i ich pochodnych do danego równania różniczkowego jest ono tożsamościowo spełnione.
Uwaga: Nie należy tego pojęcia mylić z pojęciem całki, rozumianej jako pole powierzchni pod krzywą.
Przykłady[edytuj | edytuj kod]
Równanie wektorowe drugiej zasady dynamiki[edytuj | edytuj kod]
Równanie opisujące drugą zasadę dynamiki Newtona w przypadku ruchu ciała w przestrzeni 3-wymiarowej o stałej masie w polu wektora siły zmiennej w czasie ma postać:
gdzie:
- – wektor, określający położenia ciała w zależności od czasu
Jest to więc układ 3 równań różniczkowych liniowych rzędu trzech zmiennych które są współrzędnymi ciała w przestrzeni.
Układ Lorentza[edytuj | edytuj kod]
Układ Lorentza – to układ trzech nieliniowych równań różniczkowych zwyczajnych
gdzie: – stałe parametry; tutaj oznaczono: ma sens czasu.
Układ ten modeluje zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze; badanie tego układu doprowadziło do odkrycia zjawiska chaosu deterministycznego.
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ równania różniczkowe zwyczajne, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-01] .
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2010.