Równanie różniczkowe zwyczajne

Równanie różniczkowe zwyczajne – równanie, w którym występują: jedna zmienna niezależna $t$ oraz jedna lub więcej funkcji niewiadomych i ich pochodne.

Równanie różniczkowe byłoby cząstkowe, gdyby występowały w nim pochodne po dwu lub większej liczbie zmiennych niezależnych.

Wśród równań różniczkowych zwyczajnych równania różniczkowe liniowe odgrywają szczególną rolę, gdyż większość równań fizyki i matematyki stosowanej ma taką postać. Ponadto, równania nieliniowe są trudniejsze do rozwiązania i dlatego często przybliża się je za pomocą równań liniowych.

Definicje

Oznaczenia

Niech $t$ oznacza zmienną niezależną, $x=x(t)$ zmienną zależną. Stosuje się różne oznaczenia na pochodne zmiennej zależnej $x=x(t)$ względem zmiennej $t$

• ${\frac {dx}{dt}},{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\dots ,{\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}$
• $x',x'',\dots ,x^{(n)}$
• ${\dot {x}},{\ddot {x}},{\overset {...}{x}}.$

W praktyce (jak wyżej) zazwyczaj pomija się zapisywanie argumentu przy funkcji $x$ i jej pochodnych, tzn. np. zamiast $x(t),\dots ,x^{(n)}(t)$ pisze się tylko $x,x'\dots ,x^{(n)}.$

Ogólna definicja

(1) Jeżeli $F$ jest funkcją zmiennej $t,$ zmiennej $x$ oraz pochodnych zmiennej $x,$ to równanie postaci

$F\left(t,x,x',\dots ,x^{(n-1)}\right)=x^{(n)}$

nazywa się jawnym równaniem różniczkowym rzędu $n.$

(2) Niejawnym równaniem różniczkowym rzędu $n$ nazywa się równanie postaci

$F\left(t,x,x',x'',\ \dots ,\ x^{(n)}\right)=0.$

Równanie różniczkowe liniowe rzędu n jednej zmiennej x(t)

Równanie różniczkowe nazywamy liniowym rzędu n zmiennej zależnej $x(t)$, gdy $F$ można zapisać w postaci kombinacji liniowej funkcji $x$ i jej pochodnych:

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}\,x^{(i)}+a_{0}\,x=b,$

gdzie $a_{i}\equiv a_{i}(t),i=0,1,\dots ,n$ oraz $b\equiv b(t)$ są różniczkowalnymi funkcjami zmiennej $t,$ niekoniecznie liniowymi. Innymi słowy: równanie jest liniowe, gdy zmienna zależna i jej pochodne występują tylko w 1-sze potędze i nie ma wyrazów z funkcjami zmiennej $x$ czy jej pochodnych, np. $\sin x(t),exp(x^{3}),$ itd.

Przy tym mamy dwa istotne przypadki:

• $b(t)=0$ – wtedy równanie nazywa się jednorodnym
• $b(t)\neq 0$ – wtedy równanie nazywa się niejednorodnym.

Przykłady:

(1) Równanie liniowe niejednorodne rzędu $n=1$

$x'-at=v$

np. równanie ruchu ciała ze stałym przyspieszeniem

(2) Równania liniowe niejednorodne rzędu $n=2$

a) $m\,x''+k\,x=0$

b) $m\,x''+k\,x=f(t)$

c) $m\,x''+b\,x'+k\,x=0$

np. równaniami a), b) oraz c) opisuje się ruch harmoniczny: a) swobodny b) z siłą wymuszającą $f(t),$ c) z tłumieniem.

Równanie różniczkowe nieliniowe rzędu n

– to równanie, które nie jest liniowe

Przykłady: Równania nieliniowe jednej zmiennej zależnej

(1) $x''+{\frac {g}{\ell }}\sin x(t)=0$

– opisuje drganie oscylatora anharmonicznego (np. wahadła matematycznego); aby równanie było liniowe, zmienna zależna powinna być w pierwszej potędze, nie w postaci funkcji $\sin x;$ dla małych drgań można dokonać przybliżenia $\sin x=x,$ dzięki czemu upraszcza się równanie do postaci liniowej

(2) $x'=3x^{2}-2t^{3}+4$

(3) $x''=x'+(2+e^{t})\,x+(1+t)\,x^{2}$

(4) $(x')^{2}=8t\,x'+5t\,x^{3}-t$

– równania (2)-(4) są nieliniowe, bo zmienna zależna nie jest w pierwszej potędze, ale w drugiej lub trzeciej; dodatkowo w równaniu (4) pochodna $x'$ jest w drugiej potędze.

Układ równań różniczkowych zwyczajnych (ODE)

Jeżeli mamy powiązanych ze sobą $m$ równań różniczkowych zwyczajnych, to tworzą one układ (ang. ordinary differential equations – ODE). Niech $\mathbf {x} (t)$ oznacza wektor, którego elementami są funkcje

$\mathbf {x} (t)=[x_{1}(t),x_{2}(t),\dots ,x_{m}(t)],$

zaś $F$ – funkcja, której wartościami są funkcje wektora $\mathbf {x} (t)$ i jego pochodnych, to

$\mathbf {x} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n-1)}\right)$

jest jawną postacią układu równań różniczkowych zwyczajnych wymiaru $m;$ w postaci macierzowej mamy

${\begin{pmatrix}x_{1}^{(n)}\\x_{2}^{(n)}\\\vdots \\x_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}$

Funkcje te niekoniecznie są liniowe. W postaci niejawnej mamy

$\mathbf {F} \left(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n)}\right)={\boldsymbol {0}},$

gdzie $\mathbf {0} =(0,0,\dots ,0)$ – wektor zerowy. W postaci macierzowej mamy

${\begin{pmatrix}f_{1}(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n)})\\f_{2}(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n)})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}$

Całkowanie równań różniczkowych. Całki

Proces znajdowania rozwiązań równań różniczkowych nazywa się całkowaniem.

Całką nazywa się jedno równanie $x(t)$ lub zespół równań $x_{1}(t),x_{2}(t),\dots \,x_{m}(t)$ wiążących funkcje niewiadome ze zmienną niezależną $t.$ Po podstawieniu funkcji niewiadomych i ich pochodnych do danego równania różniczkowego jest ono tożsamościowo spełnione.

Uwaga: Nie należy tego pojęcia mylić z pojęciem całki, rozumianej jako pole powierzchni pod krzywą.

Przykłady

Równanie wektorowe drugiej zasady dynamiki

Tor kuli wystrzelonej z armaty jest opisany krzywą będącą rozwiązaniem układu dwóch równań różniczkowych zwyczajnych, zadających współrzędne ciała na płaszczyźnie $\mathbf {x} (t)=[x_{1}(t),x_{2}(t)].$

Równanie opisujące drugą zasadę dynamiki Newtona w przypadku ruchu ciała w przestrzeni 3-wymiarowej o stałej masie $m$ w polu wektora siły $\mathbf {F} (t)=[F_{1}(t),F_{2}(t),F_{3}(t)]$ zmiennej w czasie ma postać:

${\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\frac {\mathbf {F} }{m}},$

gdzie:

• $\mathbf {x} (t)=[x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t)]$ – wektor, określający położenia ciała w zależności od czasu $t.$

Jest to więc układ 3 równań różniczkowych liniowych rzędu $n=2$ trzech zmiennych $x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t),$ które są współrzędnymi ciała w przestrzeni.

Układ Lorentza

Układ Lorentza – to układ trzech nieliniowych równań różniczkowych zwyczajnych

${\begin{cases}{\dot {x}}=\sigma y-\sigma x\\{\dot {y}}=-xz+rx-y\\{\dot {z}}=xy-bz\end{cases}},$

gdzie: $\sigma ,$ $r,$ $b$ – stałe parametry; tutaj oznaczono: $x_{1}\equiv x(t),x_{2}\equiv y(t),x_{3}\equiv z(t);$ $t$ ma sens czasu.

Układ ten modeluje zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze; badanie tego układu doprowadziło do odkrycia zjawiska chaosu deterministycznego.

Zobacz też

• równanie różniczkowe

Bibliografia

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2010.