Równanie różniczkowe zwyczajne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie różniczkowe zwyczajnerównanie, w którym występują: jedna zmienna niezależna oraz jedna lub więcej funkcji niewiadomych i ich pochodne.

Równanie różniczkowe byłoby cząstkowe, gdyby występowały w nim pochodne po dwu lub większej liczbie zmiennych niezależnych.

Wśród równań różniczkowych zwyczajnych równania różniczkowe liniowe odgrywają szczególną rolę, gdyż większość równań fizyki i matematyki stosowanej ma taką postać. Ponadto, równania nieliniowe są trudniejsze do rozwiązania i dlatego często przybliża się je za pomocą równań liniowych.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Oznaczenia[edytuj | edytuj kod]

Niech oznacza zmienną niezależną, zmienną zależną. Stosuje się różne oznaczenia na pochodne zmiennej zależnej względem zmiennej

W praktyce (jak wyżej) zazwyczaj pomija się zapisywanie argumentu przy funkcji i jej pochodnych, tzn. np. zamiast pisze się tylko

Ogólna definicja[edytuj | edytuj kod]

(1) Jeżeli jest funkcją zmiennej zmiennej oraz pochodnych zmiennej to równanie postaci

nazywa się jawnym równaniem różniczkowym rzędu

(2) Niejawnym równaniem różniczkowym rzędu nazywa się równanie postaci

Równanie różniczkowe liniowe rzędu n jednej zmiennej x(t)[edytuj | edytuj kod]

Równanie różniczkowe nazywamy liniowym rzędu n zmiennej zależnej , gdy można zapisać w postaci kombinacji liniowej funkcji i jej pochodnych:

gdzie oraz są różniczkowalnymi funkcjami zmiennej niekoniecznie liniowymi. Innymi słowy: równanie jest liniowe, gdy zmienna zależna i jej pochodne występują tylko w 1-sze potędze i nie ma wyrazów z funkcjami zmiennej czy jej pochodnych, np. itd.

Przy tym mamy dwa istotne przypadki:

  • – wtedy równanie nazywa się jednorodnym
  • – wtedy równanie nazywa się niejednorodnym.

Przykłady:

(1) Równanie liniowe niejednorodne rzędu

np. równanie ruchu ciała ze stałym przyspieszeniem

(2) Równania liniowe niejednorodne rzędu

a)

b)

c)

np. równaniami a), b) oraz c) opisuje się ruch harmoniczny: a) swobodny b) z siłą wymuszającą c) z tłumieniem.

Równanie różniczkowe nieliniowe rzędu n[edytuj | edytuj kod]

– to równanie, które nie jest liniowe

Przykłady: Równania nieliniowe jednej zmiennej zależnej

(1)

– opisuje drganie oscylatora anharmonicznego (np. wahadła matematycznego); aby równanie było liniowe, zmienna zależna powinna być w pierwszej potędze, nie w postaci funkcji dla małych drgań można dokonać przybliżenia dzięki czemu upraszcza się równanie do postaci liniowej

(2)

(3)

(4)

– równania (2)-(4) są nieliniowe, bo zmienna zależna nie jest w pierwszej potędze, ale w drugiej lub trzeciej; dodatkowo w równaniu (4) pochodna jest w drugiej potędze.

Układ równań różniczkowych zwyczajnych (ODE)[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli mamy powiązanych ze sobą równań różniczkowych zwyczajnych, to tworzą one układ (ang. ordinary differential equations – ODE). Niech oznacza wektor, którego elementami są funkcje

zaś – funkcja, której wartościami są funkcje wektora i jego pochodnych, to

jest jawną postacią układu równań różniczkowych zwyczajnych wymiaru w postaci macierzowej mamy

Funkcje te niekoniecznie są liniowe. W postaci niejawnej mamy

gdzie – wektor zerowy. W postaci macierzowej mamy

Całkowanie równań różniczkowych. Całki[edytuj | edytuj kod]

Proces znajdowania rozwiązań równań różniczkowych nazywa się całkowaniem.

Całką nazywa się jedno równanie lub zespół równań wiążących funkcje niewiadome ze zmienną niezależną Po podstawieniu funkcji niewiadomych i ich pochodnych do danego równania różniczkowego jest ono tożsamościowo spełnione.

Uwaga: Nie należy tego pojęcia mylić z pojęciem całki, rozumianej jako pole powierzchni pod krzywą.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Równanie wektorowe drugiej zasady dynamiki[edytuj | edytuj kod]

Tor kuli wystrzelonej z armaty jest opisany krzywą będącą rozwiązaniem układu dwóch równań różniczkowych zwyczajnych, zadających współrzędne ciała na płaszczyźnie

Równanie opisujące drugą zasadę dynamiki Newtona w przypadku ruchu ciała w przestrzeni 3-wymiarowej o stałej masie w polu wektora siły zmiennej w czasie ma postać:

gdzie:

  • – wektor, określający położenia ciała w zależności od czasu

Jest to więc układ 3 równań różniczkowych liniowych rzędu trzech zmiennych które są współrzędnymi ciała w przestrzeni.

Układ Lorentza[edytuj | edytuj kod]

Układ Lorentza – to układ trzech nieliniowych równań różniczkowych zwyczajnych

gdzie: – stałe parametry; tutaj oznaczono: ma sens czasu.

Układ ten modeluje zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze; badanie tego układu doprowadziło do odkrycia zjawiska chaosu deterministycznego.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, PWN, Warszawa 2010.