Odwzorowanie logistyczne

Odwzorowanie logistyczne (ang. logistic map) – funkcja odwzorowująca przedział jednostkowy w siebie:

$f:[0,1]\to [0,1]$

dana przepisem:

$x\mapsto kx(1-x)$

gdy wartości parametru k spełniają warunek:

$0<k<4$

Funkcja ta jest klasycznym przykładem prostego układu dynamicznego zachowującego się chaotycznie. Znajduje zastosowanie np. w badaniach dynamiki liczebności populacji.

Niech x₀ będzie dowolnie wybraną liczbą z przedziału (0,1), zaś (x_n) ciągiem iteracji funkcji f na tej liczbie:

$x_{n}=f(x_{n-1})$

Dla różnych wartości początkowych x₀ otrzymuje się różne ciągi. Jednak okazuje się, że ogólny charakter ciągu nie ma związku z wartością początkową, ale zasadniczo zależy od wartości parametru k odwzorowania.

Dla parametru k<1 wartość funkcji jest mniejsza od argumentu co najmniej z czynnikiem k:

$x_{n}=f(x_{n-1})<kx_{n-1}$

zatem (x_n) jest ciągiem malejącym co najmniej tak szybko, jak ciąg geometryczny, i zbieżnym do zera. Wartość 0 „przyciąga” kolejne wyrazy ciągu (x_n), jest więc (jednopunktowym) atraktorem przekształcenia.

Dla parametru k=1 nadal każdy ciąg iteracji przekształcenia logistycznego jest malejący (i zbieżny do zera), ale zmienia się charakter tej zbieżności – stosunek kolejnych wyrazów ciągu dąży do jedności:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}=1$

a więc ze zbliżaniem się kolejnych wyrazów do zera zbieżność jest coraz wolniejsza. Punkt zero jest „na krawędzi” utraty charakteru atraktora.

Dla parametru 1<k≤2 liczba zero nadal jest punktem stałym przekształcenia logistycznego (niezależnie od wartości k jest f(0)=0), jednakże z atraktora zmienia się w repeler – zamiast „przyciągać” do siebie kolejne wartości, „odpycha” je. W sąsiedztwie zera ciąg iteracji staje się rosnący:

$x_{n-1}<1-{\tfrac {1}{k}}\implies x_{n}=f(x_{n-1})>x_{n-1}$

Równocześnie w pozostałej części dziedziny iteracje nadal dają ciąg malejący:

$x_{n-1}>1-{\tfrac {1}{k}}\implies x_{n}=f(x_{n-1})<x_{n-1}$

Punkt $x=1-{\tfrac {1}{k}}$ jest wspólną granicą wszystkich ciągów iteracji odwzorowania logistycznego, otrzymanych dla każdego punktu startowego x₀ – jest więc nowym atraktorem odwzorowania.

Iteracje odwzorowania

Dla parametru 2<k≤3 charakter ciągów (x_n) komplikuje się – przestają być monotoniczne. Na przykład dla parametru k=2,5 i punktu startowego x₀=0,1 otrzymuje się ciąg:

0,1; 0,225; ~0,43593; ~0,61474; ~0,59209; ~0,60380; ~0,59806; ~0,60096...

Granicą tego ciągu jest:

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=1-{\tfrac {1}{k}}=1-{\tfrac {1}{2.5}}=0.6$

Gdy parametr k przekracza wartość 3, punkt $1-{\tfrac {1}{k}}$ traci dotychczasowy charakter atraktora (podobnie jak stracił go punkt 0, gdy k przekroczył 1). Pojawiają się dwa nowe punkty przyciągania – atraktor przekształcenia staje się dwupunktowy z basenem przyciągania $x\in {(0,1)\setminus \left\{{\tfrac {1}{k}},1-{\tfrac {1}{k}}\right\}}.$ Rozdwojenie to nosi nazwę bifurkacji.

Dwupunktowy atraktor oznacza, że ciągi (x_n) powstające w iteracji odwzorowania logistycznego f przestają być zbieżne do ustalonej granicy. W zamian kolejne wyrazy każdego takiego ciągu zaczynają oscylować pomiędzy oboma punktami atraktora, zbliżając się coraz bardziej na przemian do każdego z nich.

Animacja przedstawiająca powstawanie diagramu bifurkacyjnego.

Przy dalszym zwiększaniu parametru k zachodzą dalsze komplikacje charakteru ciągów (x_n) i kolejne rozdwojenia punktów atraktora. Przy tym są one coraz częstsze – jeśli przez k_n oznaczyć wartości parametru k, odpowiadające kolejnym bifurkacjom, to różnice pomiędzy wyrazami ciągu (k_n) stają się coraz mniejsze:

$\lim _{n\to \infty }(k_{n+1}-k_{n})=0.$

Co więcej, przyrosty te maleją w sposób wyraźnie uporządkowany: stosunek kolejnych różnic zbieżny jest do pewnej stałej:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {k_{n+1}-k_{n}}{k_{n+2}-k_{n+1}}}=\delta \approx 4{,}66920160910299$

zwanej stałą Feigenbauma.

Kolejne różnice ciągu (k_n) zachowują się więc asymptotycznie jak wyrazy ciągu geometrycznego, zatem sam ciąg (k_n) zachowuje się (w granicy) jak pewien szereg geometryczny. W szczególności, ponieważ iloraz 1/δ jest mniejszy od jedności, szereg ten jest zbieżny – zatem ciąg (k_n) jest zbieżny. Jego granicą jest:

$K=\lim _{n\to \infty }k_{n}\approx 3{,}569945672.$

Gdy parametr k osiąga tę wartość, atraktor staje się dziwny: liczba punktów atraktora rośnie do nieskończoności, zaś sam atraktor staje się fraktalem (zbiorem samopodobnym). Równocześnie iteracje odwzorowania stają się chaotyczne, nie ma żadnego stałego wzorca w otrzymywanych ciągach (x_n).

Powyżej wartości K pojawia się tzw. okno stabilności, tj. przedział wartości parametru k, którym odpowiada zwyczajny atraktor (skończony stabilny cykl wartości x). Dowolny ciąg iteracji (x_n) zaczyna zbiegać się do tego cyklu. Przy dalszym zwiększaniu parametru k iteracje znów doznają bifurkacji, zwiększających liczbę punktów atraktora, co kończy się znowu przejściem w stan chaosu. Za nim znajdują się kolejne okna stabilności przedzielane krytycznymi wartościami k, którym odpowiadają dziwne atraktory i chaos.

Ostatnie okno stabilności rozpoczyna się od wartości parametru $k=1+2{\sqrt {2}}\approx 3{,}828427...$ W tym oknie odwzorowanie logistyczne ma stabilny cykl (atraktor) trzypunktowy, który – tak jak wszystkie poprzednie – ze wzrostem parametru k podwaja się, by w końcu przejść w chaos.

Dla parametru k=4 układ jest chaotyczny, dziwny atraktor pokrywa cały przedział (0;1).

Wszystkie opisane zjawiska przedstawia zbiorczo zamieszczony wyżej wykres bifurkacji. Na wykresie tym oś pozioma odpowiada wartościom parametru k zmieniającym się od 0 do 4, zaś oś pionowa wartościom x od 0 do 1. Zaczernione piksele przedstawiają punkty atraktora (cyklu stabilnego) iteracji odwzorowania logistycznego przy ustalonej wartości k. Dla wartości k, dla których punktów w atraktorze jest wiele, ich rozmieszczenie przedstawiono skalą szarości (im więcej punktów w obrębie piksela, tym piksel ciemniejszy).

Fragment diagramu bifurkacyjnego odwzorowania logistycznego, parametr r jest tożsamy z parametrem k opisanym w treści tego artykułu.

Linki zewnętrzne

• Complexity Explorables: The Logistic Map – The mother of deterministic chaos (Dirk Brockmann, 30 April, 2018)
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Logistic Map, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-30].