Więzy skleronomiczne
Więzy skleronomiczne – więzy nałożone na układ mechaniczny, które można zapisać w postaci jednej lub większej liczby funkcji zależnych od położeń punktów materialnych, tworzących układ, ale nie zawierających jawnie czasu, tj. np. w postaci
lub
gdzie są wektorami wodzącymi określającymi położenia punktów materialnych w chwili przy czym w przypadku funkcji zawierających równości funkcje te definiują tzw. więzy skleronomiczne dwustronne, a gdy funkcje określające więzy mają postać nierówności, to funkcje te definiują tzw. więzy skleronomiczne jednostronne.
Przykład: Więzy nakładane na wahadło[edytuj | edytuj kod]
Poniższy zostanie omówiony ruchu wahadła prostego, które stanowi przykład układu złożonego z pojedynczego punktu materialnego; wektor wodzący ciała zawiera w ogólności trzy współrzędne zmienne w czasie; jeżeli jednak założy się odpowiednie warunki początkowe, to ruch będzie odbywał się w płaszczyźnie i wtedy
Wahadło jako układ skleronomiczny[edytuj | edytuj kod]
Wahadło proste składa się z ciężarka zawieszonego na nierozciągliwej nici. Podczas ruchu wahadła długość nici nie ulega zmianie, czyli równanie więzów ma postać:
gdzie jest wektorem położenia ciężarka zapisanym w układzie współrzędnych kartezjańskich, jest długością nici.
Powyższa funkcja definiuje więzy, które nie zależą jawnie od czasu, a więc są to więzy skleronomiczne (i dwustronne). Układ poddany takim więzom nazywamy układem skleronomicznym.
Wahadło jako układ reonomiczny[edytuj | edytuj kod]
Niech punkt zaczepienia wahadła o współrzędnych wykonuje ruch harmoniczny prosty w kierunku poziomym, tj.
gdzie oznacza amplitudę drgań, – częstość kołową, – czas.
Chociaż punkt zaczepienia wahadła nie jest unieruchomiony, to długość nierozciągliwej nici wahadła jest nadal stała. Dlatego odległość między punktem zaczepienia a ciężarkiem jest stała i omawiany układ podlega więzom o postaci
Są to więzy reonomiczne (i dwustronne), ponieważ powyższa funkcja definiująca więzy ma postać czyli zależy jawnie od czasu.
Ogólne wyrażenie na energię kinetyczną[edytuj | edytuj kod]
- Główny artykuł: Współrzędne uogólnione
Omówiony zostanie tu przypadek pojedynczego punktu materialnego. Uogólnienie na przypadek układu złożonego z wielu ciał jest analogiczne.
W przestrzeni 3-D cząstka o masie i prędkości ma energię kinetyczną
Prędkość jest pochodną wektora wodzącego ciała względem czasu. Używając reguły łańcuchowej dla kilku zmiennych, otrzymamy
Energię kinetyczną można więc w ogólnym przypadku zapisać w postaci:
Przemieniając składniki, otrzymamy[1]
gdzie są odpowiednio funkcjami jednorodnymi stopnia 0, 1, oraz 2 współrzędnych uogólnionych.
Energia kinetyczna układu skleronomicznego[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli układ jest skleronomiczny, to wektor położenia układu nie jest jawną funkcją czasu, czyli
Dlatego jedynie składnik nie zeruje się:
Energia kinetyczna układu skleronomicznego jest więc jednorodną funkcją II stopnia współrzędnych uogólnionych.
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Goldstein Herbert: Classical Mechanics. Wyd. 3. USA: Addison Wesley, 1980, s. 25. ISBN 0-201-65702-3.
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- Grzegorz Białkowski: Mechanika klasyczna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975.
- Jerzy Leyko, Mechanika Ogólna. Tom 2. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006.