Mechanika Lagrange’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Mechanika Lagrange’a jest przeformułowaniem mechaniki klasycznej przy użyciu zasady najmniejszego działania Hamiltona[1]. Mechanika Lagrange’a stosuje się do układów, dla których istnieje potencjał lub potencjał uogólniony. W układach tych energia, pęd, moment pędu niekoniecznie są zachowane. Mechanika Lagrange’a podaje warunki, pozwalające łatwo określić, które spośród tych wielkości są zachowane[2]. Mechanika Lagrange’a została sformułowana przez włosko-francuskiego matematyka Josepha-Louisa Lagrange’a w 1788 roku.

Równania ruchu mechaniki Lagrange’a, których rozwiązanie daje trajektorię układu fizycznego, występują w dwóch postaciach:

a) równania Lagrange’a pierwszego rodzaju[3] – zapisuje się w nich wszystkie siły, jakie działają na układ, tj. zarówno siły pól fizycznych, działających na układ, jaki i siły reakcji więzów, ograniczających ruch układu; w równaniach tych używa się tzw. mnożników Lagrange’a[4][5]

b) równania Lagrange’a drugiego rodzaju – unika się tu uwzględniania sił reakcji więzów poprzez odpowiedni wybór układu współrzędnych uogólnionych[3][6].

Dla trajektorii, która jest rozwiązaniem równań Lagrange’a, działanie (czyli całka z lagrangianu obliczona w przedziale czasu między chwilą początkową ruchu a końcową) przyjmuje wartość stacjonarną. Własność ta wynika z zasady najmniejszego działania Hamiltona.

Użycie współrzędnych uogólnionych może znacznie uprościć analizę układu. Np. niech mały koralik porusza się bez tarcia wzdłuż krzywoliniowego rowka. Obliczenia ruchu koralika przy użyciu mechaniki Newtona wymagałyby znalezienia zmieniających się w czasie sił więzów, które utrzymują koralik w rowku. Zastosowanie dla tego problemu ujęcia Lagrange’a rozpoczyna się od wyboru najmniejszego zbioru niezależnych parametrów, ale takich które w pełni pozwalają opisać możliwy ruch koralika. Parametry te stanowią współrzędne uogólnione. Wybór ten eliminuje potrzebę używania w opisie sił ograniczających ruch (sił więzów). Dlatego jest mniej równań do rozwiązania.

Struktura konceptualna[edytuj]

Współrzędne uogólnione[edytuj]

Koncepcje i terminologia[edytuj]

dla jednej cząstki, na którą działają siły zewnętrzne, II zasada dynamiki Newtona daje zestaw trzech równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu, po jednym dla każdego wymiaru. A zatem, ruch cząstki może być całkowicie opisany przez 6 niezależnych zmiennych: 3 pozycje początkowe oraz 3 początkowe składowe prędkości. Mając je, ogólne rozwiązanie II zasady dynamiki Newtona staje się szczególnym rozwiązaniem określającym ewolucję zachowania cząstki w czasie po stanie początkowym (t = 0).

Najbardziej znanym zbiorem zmiennych dla pozycji r = (r1, r2, r3) oraz prędkości współrzędne kartezjańskie, oraz ich pochodne czasowe. Określenie sił w standardowych współrzędnych bywa skomplikowane i wymagające sporych nakładów.

Alternatywnym i efektywniejszym podejściem jest użycie tylko tylu współrzędnych, ile potrzeba na określenie pozycji cząstki, nałożenie na układ ograniczeń oraz określenie energii kinetycznych i potencjalnych. Innymi słowy, określamy liczbę stopni swobody cząstki, tj. liczbę możliwych dróg, jakimi układ może się poruszać do ograniczeń – sił powstrzymujących go przed poruszaniem się po określonych drogach. Energie są również łatwiejsze do zapisania i policzenia niż siły, jako że energia jest skalarem, podczas gdy siła – wektorem.

Owe współrzędne to współrzędne uogólnione, oznaczane są jako i występują po jednej na każdy stopień swobody. Ich pochodne po czasie są uogólnionymi prędkościami, . Liczba stopni swobody jest zazwyczaj inna od liczby wymiarów przestrzennych: układ z wieloma ciałami w przestrzeni 3D (np. wahadła Bartona, planety w Układzie Słonecznym czy atomy w cząsteczkach) może posiadać znacznie więcej stopni swobody, włączając w to obroty oraz przejścia. Jest to w kontraście do liczby wymiarów przestrzennych, używanych w prawach Newtona.

Przypisy

  1. H. Goldstein: Classical Mechanics. Addison-Wesley, 2001, s. 35.
  2. H. Goldstein: Classical Mechanics. Addison-Wesley, 2001, s. 54.
  3. a b § 3.2 Lagrange equations of the first kind. W: R. Dvorak, Florian Freistetter: Chaos and stability in planetary systems. Birkhäuser, 2005, s. 24. ISBN 3-540-28208-4.
  4. H Haken: Information and self-organization. Springer, 2006, s. 61. ISBN 3-540-33021-6.
  5. II §5 Auxiliary conditions: the Lagrangian λ-method. W: Cornelius Lanczos: The variational principles of mechanics. Courier Dover, 1986, s. 43. ISBN 0-486-65067-7.
  6. §1.4 Lagrange equations of the second kind. W: Henry Zatzkis: Fundamental formulas of physics. Courier Dover, 1960, s. 160. ISBN 0-486-60595-7.

Literatura dodatkowa[edytuj]

  • Landau, L.D. and Lifshitz, E.M.: Mechanics, Pergamon Press.
  • Gupta, Kiran Chandra: Classical mechanics of particles and rigid bodies (Wiley, 1988).
  • Goldstein, Herbert: Classical Mechanics, Addison Wesley.
  • Cassel, Kevin W.: Variational Methods with Applications in Science and Engineering, Cambridge University Press, 2013.

Linki zewnętrzne[edytuj]